1、 波形估計(jì)波形估計(jì) 信號(hào)的被估計(jì)參量是隨機(jī)過(guò)程或隨機(jī)的信號(hào)的被估計(jì)參量是隨機(jī)過(guò)程或隨機(jī)的未知過(guò)程，則為波形估計(jì)。未知過(guò)程，則為波形估計(jì)。 波形估計(jì)是動(dòng)態(tài)估計(jì)，信號(hào)的參數(shù)是隨波形估計(jì)是動(dòng)態(tài)估計(jì)，信號(hào)的參數(shù)是隨時(shí)間變化的。時(shí)間變化的。 給定有用信號(hào)的加性噪聲的混合波形，給定有用信號(hào)的加性噪聲的混合波形，尋求一種線性運(yùn)算作用于此混合波形，得到尋求一種線性運(yùn)算作用于此混合波形，得到的結(jié)果是信號(hào)與噪聲的最佳分離，最佳的含的結(jié)果是信號(hào)與噪聲的最佳分離，最佳的含義就是使估計(jì)的均方誤差最小。義就是使估計(jì)的均方誤差最小。線性濾波器線性濾波器)( tx)()( tsty)()()(tntstx )0(tt 1)

2、=0，則為濾波。，則為濾波。2) 0，則為預(yù)測(cè)（外推）。，則為預(yù)測(cè)（外推）。 3) 0，則為平滑（內(nèi)插）。，則為平滑（內(nèi)插）。例例1: 設(shè)信號(hào)為設(shè)信號(hào)為s(t)為均值為零的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。為均值為零的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。求求 的估計(jì)的估計(jì))()(tasts解解: 采用線性最小均方誤差估計(jì)采用線性最小均方誤差估計(jì))()(2tastse0),(ts0),(ts)0()(),0()(ssssrraarr最小最小0)()()(tstastse由正交原理由正交原理)()0()()(tsrrtsss則則估計(jì)誤差的方差為估計(jì)誤差的方差為)0()()0()()0()()()()0()()()(var22sssssss

3、rrrtsrrtsetsrrtsets例例2: 設(shè)信號(hào)為設(shè)信號(hào)為s(t)為均值為零的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。為均值為零的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。用用 及其導(dǎo)數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 對(duì)對(duì) 進(jìn)行預(yù)測(cè)。進(jìn)行預(yù)測(cè)。)()()(/tbstasts解解:)(ts)(/ts0)()()()(0)()()()(/tstbstastsetstbstastse由線性最小均方誤差估計(jì)和正交原理由線性最小均方誤差估計(jì)和正交原理0),(ts)()(/ssssrr由于由于0)0()0()(0)0()0()(/ssssssssssbrarrbrarr由于由于0| )(0/ssr)0()(,)0()(/ssssssrrbrra)()0()()()0()()

4、(/tsrrtsrrtsssssss)0()()0()()0()()()0()()()0()()()(var/22/sssssssssssssrrrrrtstsrrtsrrtsets例例3： 考慮平滑問(wèn)題，已知觀測(cè)波形在兩個(gè)端點(diǎn)的數(shù)據(jù)考慮平滑問(wèn)題，已知觀測(cè)波形在兩個(gè)端點(diǎn)的數(shù)據(jù)s(0)和和s(t)，估計(jì)（，估計(jì)（0，t）區(qū)間內(nèi)任意時(shí)刻）區(qū)間內(nèi)任意時(shí)刻t的信號(hào)的信號(hào)s(t)。), 0(),()0()(tttbsasts解解:由線性最小均方誤差估計(jì)和正交原理由線性最小均方誤差估計(jì)和正交原理0)()()0()(0)0()()0()(tstbsastsestbsastse0)0()()(0)()0()(

5、ssssssbrtarttrtbrartr)()0()()()()0(,)()0()()()()0(2222trrtrtrttrrbtrrttrtrtrrassssssssssss)()0()(tbsasts)()()0()()()0()()(varttbrtarrtstbsastsetssss一、維納濾波一、維納濾波 維納濾波器就是在最小均方誤差標(biāo)準(zhǔn)下維納濾波器就是在最小均方誤差標(biāo)準(zhǔn)下的最佳濾波器。的最佳濾波器。 tdxthty0)(),()( tdtxtgty0)(),()(或或式中式中),(th為沖擊響應(yīng)。為沖擊響應(yīng)。),(tg 為加權(quán)函數(shù)。為加權(quán)函數(shù)。),(),(ttgth ),(),

6、( tthtg在寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程情況下：在寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程情況下： duutxugty)()()(我們考慮的是我們考慮的是lti（線性時(shí)不變系統(tǒng)），系統(tǒng)（線性時(shí)不變系統(tǒng)），系統(tǒng)參數(shù)與時(shí)間無(wú)關(guān)。即參數(shù)與時(shí)間無(wú)關(guān)。即)()(),(hgtg duutnutsug)()()(誤差誤差)()()(tytste 均方誤差均方誤差)()()(22tytsetee duutxtseugtse)()()(2)(2 dudvvtxutxevgug)()()()( duurugrxsss)()(2) 0( dudvvurvgugxx)()()(尋求維納濾波器的問(wèn)題就歸結(jié)為求使尋求維納濾波器的問(wèn)題就歸結(jié)為求使 達(dá)到最小值

7、的線性系統(tǒng)的加權(quán)函數(shù)達(dá)到最小值的線性系統(tǒng)的加權(quán)函數(shù) 。)(2tee)(tg用變分法解決：用變分法解決：以受擾加權(quán)函數(shù)以受擾加權(quán)函數(shù) 代替代替)(ug)()(uug duuruugrteexsss)()()(2) 0()(2 dudvvurvvguugxx)()()()()( 對(duì)對(duì) 求導(dǎo)，并令求導(dǎo)，并令 時(shí)該導(dǎo)數(shù)為時(shí)該導(dǎo)數(shù)為0。)(2tee0 得得0)()()()( dvduvurugvrvxxxs非因果解：非因果解：duurugrxxxs )()()(作拉普拉斯變換作拉普拉斯變換)()()(sssgessxxsxs )()()(ssesssgxxsxs 當(dāng)信號(hào)與噪聲不相關(guān)：當(dāng)信號(hào)與噪聲不相關(guān)：

8、)()()(ssesssgxxsss ),(ssxsnnssxxrrrrr 最小均方誤差為：最小均方誤差為： duurugreeixsss)()()0(min2 dejsjgjsjxsss)()()(21當(dāng)信號(hào)與噪聲不相關(guān)，且當(dāng)信號(hào)與噪聲不相關(guān)，且 =0時(shí)時(shí)： )()()()(21min2jsjsjsjseeinnssnnss 信號(hào)與噪聲的功率譜在頻域上重疊越信號(hào)與噪聲的功率譜在頻域上重疊越少少,濾波效果就越好。濾波效果就越好。例例1、如信號(hào)譜為、如信號(hào)譜為1/2)(2 sss噪聲譜為噪聲譜為1)( nns求出最佳的非因果濾波器（求出最佳的非因果濾波器（ =0 ）。）。解：解：13112)()

9、()(222 sssssssssnnssxx12)()(2 sssssssxs32)()()(2 sssesssgxxsss33/ 133/ 132)(2 ssssg tteetg333131)() 0() 0( tt577. 0min2 eei例例2、)()()(tntstx )(tx 與與 均值為零，互不相關(guān)均值為零，互不相關(guān))(ts|)(asser )0( a|)(bnner )0( b設(shè)計(jì)一個(gè)維納濾波器設(shè)計(jì)一個(gè)維納濾波器 的沖擊響應(yīng)的沖擊響應(yīng))()()(xxxsssh )(h解：解：22|2)()( aaserssass22|2)()( bbsernnbnn)(1 )()()()()(

10、)(2ababbbaassssshnnssssxxxs 2)()()(|abeababbbaah )()()()(min2nnssnnsssssseeibaabdabbaab 2122因果解：因果解：0)()()( xsxxrduurug)0( )()()()(arduurugxsxx 頻域解法：頻域解法：)( )()()()(saesssssgsxsxx 0)()()()( dvduvurugvrvxxxs已知輸入和輸出譜函數(shù)已知輸入和輸出譜函數(shù))(| )(|)(2jsjgjsxxy 或或)()()()(sssgsgssxxy 而功率譜而功率譜 與相關(guān)函數(shù)與相關(guān)函數(shù) 的關(guān)系為：的關(guān)系為：)(

11、 jsy)(rderjsjyy )()(dejssjyy )(21)(如如)()()(ssssssyyy 則則)()()()()(saesssssssgsxsxxxx )()()()()()(ssesssssasssgxxsxsxxxx對(duì)對(duì) 的解，應(yīng)有的解，應(yīng)有0 )()()(1)(ssesssssgxxsxsxxdsssesssstgxxtxsxx )()()(121)()0( t0)( tg)0( tdsssesssssssseeixxtxsxxxxss )()()()()(min2例例3、如信號(hào)譜為、如信號(hào)譜為1/2)(2 sss噪聲譜為噪聲譜為1)( nns求出最佳的因果濾波器（求出最

12、佳的因果濾波器（ =0 ）。）。解：解：13112)()()(222 sssssssssnnssxx12)()(2 sssssssxs1313)()()( ssssssssssxxxxxx313113) 1)(3(2)()( ssssssssxxxs313113131)()()(1)( ssssssesssssgxxsxsxx 0) 13()(3tetg) 0() 0( tt732. 0min2 eei二、卡爾曼濾波二、卡爾曼濾波特點(diǎn)：特點(diǎn)：1、采用最小均方誤差準(zhǔn)則。、采用最小均方誤差準(zhǔn)則。 2、放棄用沖擊響應(yīng)和系統(tǒng)函數(shù)描述線、放棄用沖擊響應(yīng)和系統(tǒng)函數(shù)描述線性系統(tǒng)。性系統(tǒng)。 3、用狀態(tài)變量描述線性系統(tǒng)。、用狀態(tài)變量描述線性系統(tǒng)。 4、用正交原理代替維納、用正交原理代替維納-霍夫方程。霍夫方程。 5、用遞推快速求解。、用遞推快速求解。 卡爾曼濾波不需要全部過(guò)去的觀測(cè)數(shù)據(jù)，卡爾曼濾波不需要全部過(guò)去的