1、第六講 三重積分在柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)系下的計(jì)算1;.三重積分在柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)系下的計(jì)算三重積分在柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)系下的計(jì)算一、三重積分在柱坐標(biāo)系下的計(jì)算二、三重積分在球坐標(biāo)系下的計(jì)算2;.三重積分在柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)系下的計(jì)算三重積分在柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)系下的計(jì)算一、三重積分在柱坐標(biāo)系下的計(jì)算二、三重積分在球坐標(biāo)系下的計(jì)算3;.一、三重積分在柱坐標(biāo)系下的計(jì)算一、三重積分在柱坐標(biāo)系下的計(jì)算（一）柱坐標(biāo)系（二）柱坐標(biāo)系的適用條件（三）三重積分計(jì)算公式（四）化為累次積分的方法4;.一、三重積分在柱坐標(biāo)系下的計(jì)算一、三重積分在柱坐標(biāo)系下的計(jì)算（一）柱坐標(biāo)系（二）柱坐標(biāo)系的適用條件（三）三重積分計(jì)算公式（四）化為累次

2、積分的方法5;.oxyz,R),(3zyxM設(shè)sinyzz cosx常數(shù)在柱坐標(biāo)系下在柱坐標(biāo)系下圓柱面圓柱面常數(shù)半平面半平面常數(shù)z平面平面oz),(zyxM)0 ,(yx柱坐標(biāo)系柱坐標(biāo)系平面極坐標(biāo)系添加平面極坐標(biāo)系添加oz軸得到的空間坐標(biāo)系軸得到的空間坐標(biāo)系柱坐標(biāo)柱坐標(biāo), , x y, ,x y z, ,z 點(diǎn)點(diǎn)M的柱坐標(biāo)的柱坐標(biāo)直角坐標(biāo)與柱坐標(biāo)的關(guān)系直角坐標(biāo)與柱坐標(biāo)的關(guān)系規(guī)定規(guī)定0,02,z 6;.一、三重積分在柱坐標(biāo)系下的計(jì)算一、三重積分在柱坐標(biāo)系下的計(jì)算（一）柱坐標(biāo)系（二）柱坐標(biāo)系的適用條件（三）三重積分計(jì)算公式（四）化為累次積分的方法7;.一、三重積分在柱坐標(biāo)系下的計(jì)算一、三重積分在柱

3、坐標(biāo)系下的計(jì)算（一）柱坐標(biāo)系（二）柱坐標(biāo)系的適用條件（三）三重積分計(jì)算公式（四）化為累次積分的方法8;.一般地一般地若若在在xoy面的投影面的投影為圓或圓的一部分為圓或圓的一部分則可以考慮用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分則可以考慮用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分在在( , , )df x y zv中中f(x,y,z)中含有中含有22xy或或arctanyx的項(xiàng)的項(xiàng)為圓柱體為圓柱體9;.一、三重積分在柱坐標(biāo)系下的計(jì)算一、三重積分在柱坐標(biāo)系下的計(jì)算（一）柱坐標(biāo)系（二）柱坐標(biāo)系的適用條件（三）三重積分計(jì)算公式（四）化為累次積分的方法10;.一、三重積分在柱坐標(biāo)系下的計(jì)算一、三重積分在柱坐標(biāo)系下的計(jì)算（一）柱坐標(biāo)系（二）柱坐

4、標(biāo)系的適用條件（三）三重積分計(jì)算公式（四）化為累次積分的方法11;.zzdddzvddddxyzodd將直角坐標(biāo)系下三重積分化為柱坐標(biāo)系下三重積分將直角坐標(biāo)系下三重積分化為柱坐標(biāo)系下三重積分1 1體積元素的變化體積元素的變化2 2被積函數(shù)的變化被積函數(shù)的變化, ,fx y zcos ,sin ,fz 3 3積分區(qū)域的變化積分區(qū)域的變化將將的邊界曲面用柱坐標(biāo)表示的邊界曲面用柱坐標(biāo)表示柱坐標(biāo)系下三重積分計(jì)算公式柱坐標(biāo)系下三重積分計(jì)算公式( , , )d(cos ,sin , ) d d df x y zvfzz 12;.一、三重積分在柱坐標(biāo)系下的計(jì)算一、三重積分在柱坐標(biāo)系下的計(jì)算（一）柱坐標(biāo)系（二

5、）柱坐標(biāo)系的適用條件（三）三重積分計(jì)算公式（四）化為累次積分的方法13;.一、三重積分在柱坐標(biāo)系下的計(jì)算一、三重積分在柱坐標(biāo)系下的計(jì)算（一）柱坐標(biāo)系（二）柱坐標(biāo)系的適用條件（三）三重積分計(jì)算公式（四）化為累次積分的方法14;.將柱坐標(biāo)系下的三重積分化為累次積分將柱坐標(biāo)系下的三重積分化為累次積分1 1積分次序的選擇：積分次序的選擇：一般選擇先一般選擇先z、后、后、再、再的次序的次序2 2積分限的確定：積分限的確定：Dzzzzfddzzf),(),(21d),sin,cos(ddd),sin,cos(1)(1)畫出區(qū)域畫出區(qū)域的草圖的草圖( (或或的一部分的一部分).).(2)(2)求區(qū)域求區(qū)域在

6、在xoy面的投影面的投影D .(3)(3)定出定出z的上限和下限的上限和下限. .xyzo在在D內(nèi)作平行于內(nèi)作平行于z 軸的直線軸的直線,穿入?yún)^(qū)域時(shí)穿入?yún)^(qū)域時(shí), , 的邊界曲面的邊界曲面F( (, , ,z)=0)=0確定的確定的z= =z1( (, ,) )為為z的下的下限限. .),(1zz 穿出區(qū)域時(shí)穿出區(qū)域時(shí), , 的邊界曲面的邊界曲面G( (, , ,z)=0)=0確定的確定的z= =z2( (, ,) )為為z z的下的下限限. .),(2zz (4)(4)將二重積分化為極坐標(biāo)系下的累次積分將二重積分化為極坐標(biāo)系下的累次積分. .15;.利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分的步驟利用柱坐標(biāo)計(jì)算三

7、重積分的步驟考慮是否用柱坐標(biāo)計(jì)算考慮是否用柱坐標(biāo)計(jì)算化為柱坐標(biāo)系下化為柱坐標(biāo)系下三重積分三重積分積分次序：積分次序：定限方法：定限方法：化為累次積分化為累次積分計(jì)算累次積分計(jì)算累次積分注意注意對(duì)一個(gè)變量積分時(shí)，將其余變量視為常數(shù)對(duì)一個(gè)變量積分時(shí)，將其余變量視為常數(shù)的投影的投影為圓或圓的一部分為圓或圓的一部分f(x,y,z)中含有中含有22xy或或arctanyx( , , )d d df x y zx y z三變、一勿忘三變、一勿忘( , , )f x y z積分區(qū)域積分區(qū)域柱坐標(biāo)表示柱坐標(biāo)表示被積函數(shù)被積函數(shù)(cos ,sin , )fz 體積元素體積元素d d dx y zd d dz 一

8、個(gè)勿忘一個(gè)勿忘一般先一般先z后后再再投影、發(fā)射投影、發(fā)射(cos ,sin , ) d d dfzz 16;.2axyzocos2u例例1 1o oxyzhu例例2 2zyx422)0( hhz所圍成所圍成 . .與平面與平面其中其中 由拋物面由拋物面計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分,1ddd22yxzyx所圍成的半圓柱體所圍成的半圓柱體. .其中其中 為由柱面為由柱面,ddd22zyxyxz xyx2220),0(, 0yaazz及平面及平面計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分17;.三重積分在柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)系下的計(jì)算三重積分在柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)系下的計(jì)算一、三重積分在柱坐標(biāo)系下的計(jì)算二、三重積分在球坐標(biāo)系下的計(jì)算

9、18;.三重積分在柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)系下的計(jì)算三重積分在柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)系下的計(jì)算一、三重積分在柱坐標(biāo)系下的計(jì)算二、三重積分在球坐標(biāo)系下的計(jì)算19;.二、三重積分在球坐標(biāo)系下的計(jì)算二、三重積分在球坐標(biāo)系下的計(jì)算（一）球坐標(biāo)系（二）球坐標(biāo)系的適用條件（三）三重積分計(jì)算公式（四）化為累次積分的方法20;.二、三重積分在球坐標(biāo)系下的計(jì)算二、三重積分在球坐標(biāo)系下的計(jì)算（一）球坐標(biāo)系（二）球坐標(biāo)系的適用條件（三）三重積分計(jì)算公式（四）化為累次積分的方法21;.直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系Moxyzzrcossinrx sinsinry cosrz 在球坐標(biāo)系下在球坐標(biāo)系下常數(shù)r球面球面常數(shù)

10、半平面半平面常數(shù)錐面錐面),(rM球坐標(biāo)球坐標(biāo)rOMOM與與z軸正方向所夾的角軸正方向所夾的角x軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)到軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)到OP的角的角),(rM的球坐標(biāo)的球坐標(biāo)規(guī)定規(guī)定20 ,0,0 rP22;.二、三重積分在球坐標(biāo)系下的計(jì)算二、三重積分在球坐標(biāo)系下的計(jì)算（一）球坐標(biāo)系（二）球坐標(biāo)系的適用條件（三）三重積分計(jì)算公式（四）化為累次積分的方法23;.二、三重積分在球坐標(biāo)系下的計(jì)算二、三重積分在球坐標(biāo)系下的計(jì)算（一）球坐標(biāo)系（二）球坐標(biāo)系的適用條件（三）三重積分計(jì)算公式（四）化為累次積分的方法24;.一般地一般地若若為球或球?yàn)榍蚧蚯虻囊徊糠值囊徊糠謩t可以考慮用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分則可以考慮用球坐標(biāo)計(jì)算三

11、重積分在在( , , )df x y zv中中f(x,y,z)中含有中含有222xyz的項(xiàng)的項(xiàng)25;.二、三重積分在球坐標(biāo)系下的計(jì)算二、三重積分在球坐標(biāo)系下的計(jì)算（一）球坐標(biāo)系（二）球坐標(biāo)系的適用條件（三）三重積分計(jì)算公式（四）化為累次積分的方法26;.二、三重積分在球坐標(biāo)系下的計(jì)算二、三重積分在球坐標(biāo)系下的計(jì)算（一）球坐標(biāo)系（二）球坐標(biāo)系的適用條件（三）三重積分計(jì)算公式（四）化為累次積分的方法27;.xyzoddrrdddddsind2rrv 將直角坐標(biāo)系下三重積分化為球坐標(biāo)系下三重積分將直角坐標(biāo)系下三重積分化為球坐標(biāo)系下三重積分1 1體積元素的變化體積元素的變化2 2被積函數(shù)的變化被積函數(shù)

12、的變化, ,fx y zsincos , sinsin , cosf rrr3 3積分區(qū)域的變化積分區(qū)域的變化將將的邊界曲面用球坐標(biāo)表示的邊界曲面用球坐標(biāo)表示球坐標(biāo)系下三重積分計(jì)算公式球坐標(biāo)系下三重積分計(jì)算公式2( , , )d( sincos , sinsin , cos )sin d d df x y zvf rrrrr 28;.二、三重積分在球坐標(biāo)系下的計(jì)算二、三重積分在球坐標(biāo)系下的計(jì)算（一）球坐標(biāo)系（二）球坐標(biāo)系的適用條件（三）三重積分計(jì)算公式（四）化為累次積分的方法29;.二、三重積分在球坐標(biāo)系下的計(jì)算二、三重積分在球坐標(biāo)系下的計(jì)算（一）球坐標(biāo)系（二）球坐標(biāo)系的適用條件（三）三重積分

13、計(jì)算公式（四）化為累次積分的方法30;.將球坐標(biāo)系下的三重積分化為累次積分將球坐標(biāo)系下的三重積分化為累次積分1 1積分次序的選擇：積分次序的選擇：一般選擇先一般選擇先r、后、后、再、再的次序的次序2 2積分限的確定：積分限的確定：觀察、想象觀察、想象31;.利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分的步驟利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分的步驟考慮是否用球坐標(biāo)計(jì)算考慮是否用球坐標(biāo)計(jì)算化為球坐標(biāo)系下化為球坐標(biāo)系下三重積分三重積分積分次序：積分次序：定限方法：定限方法：化為累次積分化為累次積分計(jì)算累次積分計(jì)算累次積分注意注意對(duì)一個(gè)變量積分時(shí)，將其余變量視為常數(shù)對(duì)一個(gè)變量積分時(shí)，將其余變量視為常數(shù)的球的球或球的一部分或球的一部分f(x,y,z)中含有中含有222xyz( , , )d d df x y zx y z三變、一勿忘三變、一勿忘( , , )f x y z積分區(qū)域積分區(qū)域球坐標(biāo)表示球坐標(biāo)表示被積函數(shù)被積