1、第六講 三重積分在柱坐標和球坐標系下的計算1;.三重積分在柱坐標和球坐標系下的計算三重積分在柱坐標和球坐標系下的計算一、三重積分在柱坐標系下的計算二、三重積分在球坐標系下的計算2;.三重積分在柱坐標和球坐標系下的計算三重積分在柱坐標和球坐標系下的計算一、三重積分在柱坐標系下的計算二、三重積分在球坐標系下的計算3;.一、三重積分在柱坐標系下的計算一、三重積分在柱坐標系下的計算（一）柱坐標系（二）柱坐標系的適用條件（三）三重積分計算公式（四）化為累次積分的方法4;.一、三重積分在柱坐標系下的計算一、三重積分在柱坐標系下的計算（一）柱坐標系（二）柱坐標系的適用條件（三）三重積分計算公式（四）化為累次

2、積分的方法5;.oxyz,R),(3zyxM設sinyzz cosx常數在柱坐標系下在柱坐標系下圓柱面圓柱面常數半平面半平面常數z平面平面oz),(zyxM)0 ,(yx柱坐標系柱坐標系平面極坐標系添加平面極坐標系添加oz軸得到的空間坐標系軸得到的空間坐標系柱坐標柱坐標, , x y, ,x y z, ,z 點點M的柱坐標的柱坐標直角坐標與柱坐標的關系直角坐標與柱坐標的關系規定規定0,02,z 6;.一、三重積分在柱坐標系下的計算一、三重積分在柱坐標系下的計算（一）柱坐標系（二）柱坐標系的適用條件（三）三重積分計算公式（四）化為累次積分的方法7;.一、三重積分在柱坐標系下的計算一、三重積分在柱

3、坐標系下的計算（一）柱坐標系（二）柱坐標系的適用條件（三）三重積分計算公式（四）化為累次積分的方法8;.一般地一般地若若在在xoy面的投影面的投影為圓或圓的一部分為圓或圓的一部分則可以考慮用柱坐標計算三重積分則可以考慮用柱坐標計算三重積分在在( , , )df x y zv中中f(x,y,z)中含有中含有22xy或或arctanyx的項的項為圓柱體為圓柱體9;.一、三重積分在柱坐標系下的計算一、三重積分在柱坐標系下的計算（一）柱坐標系（二）柱坐標系的適用條件（三）三重積分計算公式（四）化為累次積分的方法10;.一、三重積分在柱坐標系下的計算一、三重積分在柱坐標系下的計算（一）柱坐標系（二）柱坐

4、標系的適用條件（三）三重積分計算公式（四）化為累次積分的方法11;.zzdddzvddddxyzodd將直角坐標系下三重積分化為柱坐標系下三重積分將直角坐標系下三重積分化為柱坐標系下三重積分1 1體積元素的變化體積元素的變化2 2被積函數的變化被積函數的變化, ,fx y zcos ,sin ,fz 3 3積分區域的變化積分區域的變化將將的邊界曲面用柱坐標表示的邊界曲面用柱坐標表示柱坐標系下三重積分計算公式柱坐標系下三重積分計算公式( , , )d(cos ,sin , ) d d df x y zvfzz 12;.一、三重積分在柱坐標系下的計算一、三重積分在柱坐標系下的計算（一）柱坐標系（二

5、）柱坐標系的適用條件（三）三重積分計算公式（四）化為累次積分的方法13;.一、三重積分在柱坐標系下的計算一、三重積分在柱坐標系下的計算（一）柱坐標系（二）柱坐標系的適用條件（三）三重積分計算公式（四）化為累次積分的方法14;.將柱坐標系下的三重積分化為累次積分將柱坐標系下的三重積分化為累次積分1 1積分次序的選擇：積分次序的選擇：一般選擇先一般選擇先z、后、后、再、再的次序的次序2 2積分限的確定：積分限的確定：Dzzzzfddzzf),(),(21d),sin,cos(ddd),sin,cos(1)(1)畫出區域畫出區域的草圖的草圖( (或或的一部分的一部分).).(2)(2)求區域求區域在

6、在xoy面的投影面的投影D .(3)(3)定出定出z的上限和下限的上限和下限. .xyzo在在D內作平行于內作平行于z 軸的直線軸的直線,穿入區域時穿入區域時, , 的邊界曲面的邊界曲面F( (, , ,z)=0)=0確定的確定的z= =z1( (, ,) )為為z的下的下限限. .),(1zz 穿出區域時穿出區域時, , 的邊界曲面的邊界曲面G( (, , ,z)=0)=0確定的確定的z= =z2( (, ,) )為為z z的下的下限限. .),(2zz (4)(4)將二重積分化為極坐標系下的累次積分將二重積分化為極坐標系下的累次積分. .15;.利用柱坐標計算三重積分的步驟利用柱坐標計算三

7、重積分的步驟考慮是否用柱坐標計算考慮是否用柱坐標計算化為柱坐標系下化為柱坐標系下三重積分三重積分積分次序：積分次序：定限方法：定限方法：化為累次積分化為累次積分計算累次積分計算累次積分注意注意對一個變量積分時，將其余變量視為常數對一個變量積分時，將其余變量視為常數的投影的投影為圓或圓的一部分為圓或圓的一部分f(x,y,z)中含有中含有22xy或或arctanyx( , , )d d df x y zx y z三變、一勿忘三變、一勿忘( , , )f x y z積分區域積分區域柱坐標表示柱坐標表示被積函數被積函數(cos ,sin , )fz 體積元素體積元素d d dx y zd d dz 一

8、個勿忘一個勿忘一般先一般先z后后再再投影、發射投影、發射(cos ,sin , ) d d dfzz 16;.2axyzocos2u例例1 1o oxyzhu例例2 2zyx422)0( hhz所圍成所圍成 . .與平面與平面其中其中 由拋物面由拋物面計算三重積分計算三重積分,1ddd22yxzyx所圍成的半圓柱體所圍成的半圓柱體. .其中其中 為由柱面為由柱面,ddd22zyxyxz xyx2220),0(, 0yaazz及平面及平面計算三重積分計算三重積分17;.三重積分在柱坐標和球坐標系下的計算三重積分在柱坐標和球坐標系下的計算一、三重積分在柱坐標系下的計算二、三重積分在球坐標系下的計算

9、18;.三重積分在柱坐標和球坐標系下的計算三重積分在柱坐標和球坐標系下的計算一、三重積分在柱坐標系下的計算二、三重積分在球坐標系下的計算19;.二、三重積分在球坐標系下的計算二、三重積分在球坐標系下的計算（一）球坐標系（二）球坐標系的適用條件（三）三重積分計算公式（四）化為累次積分的方法20;.二、三重積分在球坐標系下的計算二、三重積分在球坐標系下的計算（一）球坐標系（二）球坐標系的適用條件（三）三重積分計算公式（四）化為累次積分的方法21;.直角坐標與球面坐標的關系直角坐標與球面坐標的關系Moxyzzrcossinrx sinsinry cosrz 在球坐標系下在球坐標系下常數r球面球面常數

10、半平面半平面常數錐面錐面),(rM球坐標球坐標rOMOM與與z軸正方向所夾的角軸正方向所夾的角x軸逆時針轉到軸逆時針轉到OP的角的角),(rM的球坐標的球坐標規定規定20 ,0,0 rP22;.二、三重積分在球坐標系下的計算二、三重積分在球坐標系下的計算（一）球坐標系（二）球坐標系的適用條件（三）三重積分計算公式（四）化為累次積分的方法23;.二、三重積分在球坐標系下的計算二、三重積分在球坐標系下的計算（一）球坐標系（二）球坐標系的適用條件（三）三重積分計算公式（四）化為累次積分的方法24;.一般地一般地若若為球或球為球或球的一部分的一部分則可以考慮用球坐標計算三重積分則可以考慮用球坐標計算三

11、重積分在在( , , )df x y zv中中f(x,y,z)中含有中含有222xyz的項的項25;.二、三重積分在球坐標系下的計算二、三重積分在球坐標系下的計算（一）球坐標系（二）球坐標系的適用條件（三）三重積分計算公式（四）化為累次積分的方法26;.二、三重積分在球坐標系下的計算二、三重積分在球坐標系下的計算（一）球坐標系（二）球坐標系的適用條件（三）三重積分計算公式（四）化為累次積分的方法27;.xyzoddrrdddddsind2rrv 將直角坐標系下三重積分化為球坐標系下三重積分將直角坐標系下三重積分化為球坐標系下三重積分1 1體積元素的變化體積元素的變化2 2被積函數的變化被積函數

12、的變化, ,fx y zsincos , sinsin , cosf rrr3 3積分區域的變化積分區域的變化將將的邊界曲面用球坐標表示的邊界曲面用球坐標表示球坐標系下三重積分計算公式球坐標系下三重積分計算公式2( , , )d( sincos , sinsin , cos )sin d d df x y zvf rrrrr 28;.二、三重積分在球坐標系下的計算二、三重積分在球坐標系下的計算（一）球坐標系（二）球坐標系的適用條件（三）三重積分計算公式（四）化為累次積分的方法29;.二、三重積分在球坐標系下的計算二、三重積分在球坐標系下的計算（一）球坐標系（二）球坐標系的適用條件（三）三重積分

13、計算公式（四）化為累次積分的方法30;.將球坐標系下的三重積分化為累次積分將球坐標系下的三重積分化為累次積分1 1積分次序的選擇：積分次序的選擇：一般選擇先一般選擇先r、后、后、再、再的次序的次序2 2積分限的確定：積分限的確定：觀察、想象觀察、想象31;.利用球坐標計算三重積分的步驟利用球坐標計算三重積分的步驟考慮是否用球坐標計算考慮是否用球坐標計算化為球坐標系下化為球坐標系下三重積分三重積分積分次序：積分次序：定限方法：定限方法：化為累次積分化為累次積分計算累次積分計算累次積分注意注意對一個變量積分時，將其余變量視為常數對一個變量積分時，將其余變量視為常數的球的球或球的一部分或球的一部分f(x,y,z)中含有中含有222xyz( , , )d d df x y zx y z三變、一勿忘三變、一勿忘( , , )f x y z積分區域積分區域球坐標表示球坐標表示被積函數被積