1、2021/6/161第六章第六章 截面的幾何性質截面的幾何性質 靜矩和形心 慣性矩和慣性積 慣性矩和慣性積的 平行移軸和轉軸公式 主慣性軸和主慣性矩 組合截面慣性矩的計算 小結2021/6/162第六章第六章 截面的幾何性質截面的幾何性質 第一節 靜矩和形心一、靜矩(面積矩）定義： 微面積dA對z軸和y軸的靜矩分別為 和dAydAz 截面（面積A)對z軸和y軸的靜矩分別為：;AydAzS;AzdAyS 靜矩為代數值。靜矩單位：;33mmm 不同截面對同一坐標軸的靜矩不同；同一截面對不同坐標軸的靜矩也不同。 若截面形心坐標為zc、yc，將面積視為平行力（即看作等厚、均質薄板的重力），由合力矩定理

2、可得：;cAzyAdAyS;cAyzAdAzS 當Sz=0或Sy=0時，必有yc=0或zc=0，可知截面對某軸的靜矩為零時，該軸必通過截面形心；反之，若某軸通過形心，則截面對該軸的靜矩為零。2021/6/163 二、形心公式：.;ASzASyyczc 三、組合截面的靜矩：n個簡單圖形組成的截面，其靜矩為：;1niciizyAS;1niciiyzAS四、組合截面形心公式：;11niiniciicAyAy;11niiniciicAzAz 例5-1 求圖示T形截面形心位置。 解：取參考坐標軸y、z,由對稱圖形,zc=0。 分解圖形為、兩個矩形，則;2 . 1,48. 0;46. 2,072. 022

3、2121mymAmymA;36. 148. 0072. 02 . 148. 046. 2072. 0212211mAAyAyAyc若分解為、三個矩形，則;16. 04 . 22 . 0252. 26 . 0)2 . 126. 1 (52. 26 . 0myc2021/6/164第二節 慣性矩和慣性積一、極慣性矩： 定義：平面圖形中任一微面積dA與它到坐標原點的距離平方的乘積2dA,稱為該面積dA對于坐標原點o的極慣性矩。 截面對坐標原點o的極慣性矩為：APdAI;2 簡單圖形的極慣性矩可由定義式積分計算。 實心圓截面：;3224202DdAIDP 空心圓截面：)();1 (3244DdDIP

4、二、慣性矩： 定義：平面圖形中任一微面積dA對z軸、y軸的慣性矩分別為：y2dA和Z2dA；則整個圖形（面積為A)對z軸、y軸的慣性矩分別為：;2AzdAyI;2AydAzI2021/6/165 定義:平面圖形內，微面積dA與其兩個坐標z、y的乘積zydA在整個圖形內的積分稱為該圖形對z、y軸的慣性積。;AzydAyzI 特點：慣性積是截面對某兩個正交坐標軸而言。不同截面對同一對軸或同一截面對不同軸的慣性積均不同。慣性積是代數值。 單位：;,44mmm 若截面有一根為對稱軸,則該截面對包括此對稱軸在內的一對正交坐標軸的慣性積必為零。 慣性矩是對某軸而言的，同一截面對不同軸的慣性矩值不同。 慣性

5、矩單位：m4或mm4； 慣性矩恒為正值。 簡單圖形對軸的慣性矩由定義式積分計算。三、慣性積：2021/6/166 例5-2 求矩形截面對其對稱軸的慣性矩和慣性積。 解：取yoz坐標系。取微面積dA=bdy,則：;1232/2/22bhbdyydAyIhhAz;1232/2/22hbhdzzdAzIbbAy取微面積dA=hdz,則：例5-3 圓形截面對其形心軸的慣性矩。 解：取yoz坐標系。取微面積dA=2zdy,則：;6442442222DRdyyRydAyIRRAz;644DIIzy由對稱性：,222zy 由幾何關系：.)(222yZAAPIIdAzydAI取微面積dA=dzdy，則：; 0

6、zyI2021/6/167第三節 慣性矩和慣性積的平行移軸和轉軸公式 一、平行移軸公式：dAaydAadAydAaydAyAz222112)(;21Abyy;11abAIIzyyz;21AaIzz注意：y、z軸必須是形心軸。二、轉軸公式：;2sin2cos221zyyzyzzIIIIII;2sin2cos221zyyzyzyIIIIII;2cos2sin211zyyzyzIIII;)sincos(2211AAzdAzydAyI2021/6/168 第四節 主慣性軸和主慣性矩： 主慣性軸（主軸）使截面對zo、yo軸的慣性積 的這對正交坐標軸；特點：特點：兩個形心主慣性矩是截面對過形心所有各軸的慣

7、性矩中的極大值和極小值； 有一根對稱軸的截面，形心主軸是對稱軸和與之垂直的形心軸； 有兩根對稱軸的截面，形心主軸是兩根對稱軸； 無對稱軸的截面，由轉軸公式求對形心的慣性積為零的 角，即 形心主慣性軸。0ooyzI 主慣性矩（主慣矩）截面對主慣性軸的慣性矩； 形心主慣性軸（形心主軸）通過形心的主慣性軸； 形心主慣性矩（形心主慣矩）截面對形心主軸的慣性矩。o第五節 組合截面慣性矩的計算 工程中常遇到組合截面。計算其形心主慣性矩時，應先確定形心位置、形心主軸，再求形心主慣性矩。2021/6/169例例54:試計算圖示T形截面的形心主慣性矩。解解:(1)確定形心坐標yc. ;2050050025105

8、005500212211cmyyyc;1017. 25002035125010;1017. 1500520121050452322222452312111cmacmazzzz;1034. 31017217145521cmzzz (2)計算形心主慣性矩： (z、y軸即形心主軸）2021/6/1610小小 結結一、靜矩：;cAzyAdAyS;cAyzAdAzS性質：截面對某軸的靜矩為零時，該軸必通過截面形心；APdAI;2;324DIP)();1 (3244DdDIP 二、極慣性矩：實心圓截面： 空心圓截面：三、慣性矩：;2AzdAyI;2AydAzI;AzydAyzI 四、慣性積：矩形截面： 圓形截面：;123bhIz;123hbIy;644DIIzy.)(222yZAAPIIdAzydAI幾何關系：五、平行移軸公式：;21Abyy;11abAIIzyyz;21AaIzz2021/6/1611 六、主慣性軸和主慣性矩： 形心主慣性軸（形心主軸）通過形心的主慣性軸； 形心主慣性矩（形心主慣矩）截面對形心主軸的慣性矩。 主慣性軸（主軸）使 的這對正交坐標軸； 主慣性矩（主慣矩）截面對主慣性軸的慣性矩；0ooyzI七、平面圖形幾何性質的幾何意義： 1. 靜矩：圖形的形心相對于指定坐標軸之間距離的遠近程