1、 第五章 函數的應用（二） 4.5.3 函數模型的應用本節課選自普通高中課程標準實驗教科書數學必修1本（A版）的第五章的4.5.3函數模型的應用。函數模型及其應用是中學重要內容之一，又是數學與生活實踐相互銜接的樞紐，特別在應用意識日益加深的今天，函數模型的應用實質是揭示了客觀世界中量的相互依存有互有制約的關系，因而函數模型的應用舉例有著不可替代的重要位置，又有重要的現實意義。本節課要求學生利用給定的函數模型或建立函數模型解決實際問題，并對給定的函數模型進行簡單的分析評價,發展學生數學建模、數學直觀、數學抽象、邏輯推理的核心素養。課程目標學科素養1. 能建立函數模型解決實際問題2.了解擬合函數模

2、型并解決實際問題3.通過本節內容的學習，使學生認識函數模型的作用，提高學生數學建模，數據分析的能力a.數學抽象：由實際問題建立函數模型；b.邏輯推理：選擇合適的函數模型；c.數學運算：運用函數模型解決實際問題；d.直觀想象：運用函數圖像分析問題；e.數學建模：由實際問題建立函模型；f.數據分析：通過數據分析對應的函數模型；教學重點：利用給定的函數模型或建立確定性函數模型解決實際問題教學難點： 利用給定的函數模型或建立確定性函數模型解決實際問題，并對給定的函數模型進行簡單的分析評價多媒體教學過程設計意圖核心教學素養目標（一）創設問題情境 1常見函數模型常用函數模型(1)一次函數模型ykxb(k，

3、b為常數，k0)(2)二次函數模擬yax2bxc(a，b，c為常數，a0)(3)指數函數模型ybaxc(a，b，c為常數，b0，a0且a1)(4)對數函數模型ymlogaxn(m，a，n為常數，m0，a0且a1)(5)冪函數模型yaxnb(a，b為常數，a0)2.建立函數模型解決問題的基本過程（二）問題探究我們知道 ， 函數是描述客觀世界變化規律的數學模型 ， 不同的變化規律需要用不同的函數模型來刻畫 面臨一個實際問題 ， 該如何選擇恰當的函數模型來刻畫它呢？典例解析例3.人口問題是當今世界各國普遍關注的問題 認識人口數量的變化規律 ， 可以為制定一系列相關政策提供依據 早在 1978 年 ，

4、 英國經濟學家馬爾薩斯 （ T.R.Malthas ，1766 1834） 就提出了自然狀態下的人口增長模型y=y0ert ，其中 t 表示經過的時間 ，y0 表示 t 時的人口數 ， r 表示人口的年平均增長率 下表 是 19501959 年我國的人口數據資料 （1） 如果以各年人口增長率的平均值作為我國這一時期的人口增長率 （ 精確到 0.0001），用馬爾薩斯人口增長模型建立我國在這一時期的具體人口增長模型 ， 并檢驗所得模型與實際人口數據是否相符 ；（2） 如果按上表 的增長趨勢 ， 那么大約在哪一年我國的人口數達到 13 億？分析 ： 用馬爾薩斯人口增長模型建立具體人口增長模型 ，

5、就是要確定其中的初始量y0 和年平均增長率 r解 ：（ 1） 設19511959 年我國各年的人口增長率分別為 r1,r2，,r9 由 551961+r1=56300,可得 1951年的人口增長率 r10.0200同理可得 ， r20.0210, r30.0229 , r40.0250, r50.0197 ， r60.0223，r70.0276,r80.0222,r90.0154于是 ， 19511959 年期間 ， 我國人口的年平均增長率為:r=(r1+r2+r9)90.0221,令 y0=55196， 則我國在 19501959年期間的人口增長模型為y=55196e0.0221t，t N根

6、據表 中的數據畫出散點圖 ， 并畫出函數y=55196e0.0221t （t N ） 的圖象 由圖 可以看出 ， 所得模型與 19501959 年的實際人口數據基本吻合 事實上 ， 我國 1989年的人口數為 11.27億 ， 直到 2005年才突破13 億 對由函數模型所得的結果與實際情況不符 ， 你有何看法 ？ 因為人口基數較大 ， 人口增長過快 ， 與我國經濟發展水平產生了較大矛盾 ， 所以我國從 世紀 年代逐步實施了計劃生育政策 因此這一階段的人口增長條件并不符合馬爾薩斯人口增長模型的條件 ， 自然就出現了依模型得到的結果與實際不符的情況 例4. 2010年 ,考古學家對良渚古城水利系

7、統中一條水壩的建筑材料上提取的草莖遺存進行碳 14年代學檢測 ，檢測出碳 14的殘留量約為初始量的 55.2 ， 能否以此推斷此水壩大概是什么年代建成的？分析 ： 因為死亡生物機體內碳 的初始量按確定的衰減率衰減 ， 屬于指數衰減 ， 所以應選擇函數y=kax（ kR ， 且 k ； a ， 且 a ） 建立數學模型 解 ： 設樣本中碳 的初始量為k ， 衰減率為 p（ 0 p 1）， 經過 x年后 ， 殘余量為y 根據問題的實際意義 ， 可選擇如下模型 ：y=k(1-p)x（k R ， 且 k ； p ； x ） 由碳 的半衰期為 5730年 ， 得k(1-p)5730=12k,于是 1-P

8、=573012，所以 y=k(573012)x由樣本中碳14 的殘余量約為初始量的 55.2 可知 ，即 0.552k=k(573012)x,解得 x=log5730120.552由計算工具得 x4912因為 2010年之前的 4912年是公元前 2902年 ， 所以推斷此水壩大概是公元前 2902年建成的 歸納總結規律方法已知函數模型解決實際問題，往往給出的函數解析式含有參數，需要將題中的數據代入函數模型，求得函數模型中的參數，再將問題轉化為已知函數解析式求函數值或自變量的值.典例解析例5.假設你有一筆資金用于投資 ， 現有三種投資方案供你選擇 ， 這三種方案的回報如下 ：方案一 ： 每天回

9、報40元 ；方案二 ： 第一天回報10元 ， 以后每天比前一天多回報10元 ；方案三 ： 第一天回報0.4元 ， 以后每天的回報比前一天翻一番 請問 ， 你會選擇哪種投資方案？ 問題中涉及哪些數量關系？投資天數、回報金額 如何用函數描述這些數量關系？分析 ： 我們可以先建立三種投資方案所對應的函數模型 ， 再通過比較它們的增長情況 ， 為選擇投資方案提供依據解 ： 設第x天所得回報是y元 ， 則方案一可以用函數 y 40(xN*) 進行描述 ； 方案二可以用函數 y 10x(xN*)進行描述 ；方案三可以用函數y=0.42x-1(xN*)進行描述 三個模型中 ， 第一個是常數函數 ， 后兩個都

10、是增函數 要對三個方案作出選擇 ， 就要對它們的增長情況進行分析 我們先用信息技術計算一下三種方案所得回報的增長情況三種方案每天回報表方案一的函數是常數函數 ， 方案二 、 方案三的函數都是增函數 ， 但方案三的函數與方案二的函數的增長情況很不相同 可以看到 ， 盡管方案一 、 方案二在第 天所得回報分別是方案三的100倍和25倍 ， 但它們的增長量固定不變 ， 而方案三是 “ 指數增長 ”，其 “ 增長量 ” 是成倍增加的 ， 從第7天開始 ， 方案三比其他兩個方案增長得快得多 ， 這種增長速度是方案一 、 方案二所無法企及的 從每天所得回報看 ， 在第 天 ， 方案一最多 ； 在第 天 ，

11、 方案一和方案二一樣多 ， 方案三最少 ； 在第 天 ， 方案二最多 ； 第9天開始 ， 方案三比其他兩個方案所得回報多得多 ， 到第30天 ， 所得回報已超過2億元 下面再看累計的回報數 通過信息技術列表如下投資16天，應選擇方案一；投資7天，應選擇方案一或方案二；投資810天，應選擇方案二；投資11天（含11天）以上，應選擇方案三。 假如某公司每天給你投資1萬元，共投資30天。公司要求你給他的回報是：第一天給公司1分錢，第二天給公司2分錢，以后每天給的錢都是前一天的2倍，共30天，你認為這樣的交易對你有利嗎？解答如下：公司30天內為你的總投資為: 30萬元你30天內給公司的回報為:0.01

12、+0.012+0.0122+0.01229=10737418.231074(萬元)上述例子只是一種假想情況 ， 但從中可以看到 ， 不同的函數增長模型 ， 增長變化存在很大差異例6. 某公司為了實現1000萬元利潤的目標，準備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：在銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金y (單位：萬元)隨銷售利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎金總數不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%?，F有三個獎勵模型：y=0.25x, y=log7x+1, y=1.002x,其中哪個模型能符合公司的要求？例6涉及了哪幾類函數模型？一次函數，對數型函數，指數函數。你能用數學語言描

13、述符合公司獎勵方案的條件嗎?分析 ： 本例提供了三個不同增長方式的獎勵模型 ， 按要求選擇其中一個函數作為刻畫獎金總數與銷售利潤的關系 由于公司總的利潤目標為 1000萬元 ， 所以銷售人員的銷售利潤一般不會超過公司總的利潤 于是 ， 只需在區間 10 ，1000 上 ， 尋找并驗證所選函數是否滿足兩條要求 ： 第一 ， 獎金總數不超過 萬元 ， 即最大值不大于 ；第二 ， 獎金不超過利潤的 ， 即 Y0.25X 不妨先畫出函數圖象 ，通過觀察函數圖象 ， 得到初步的結論 ， 再通過具體計算 ， 確認結果 解 ： 借助信息技術畫出函數 y ， y=0.25x, y=log7x+1, y=1.0

14、02x 的圖象 觀察圖象發現 ， 在區間 10， 1000 上 ， 模型 y=0.25x, y=1.002x的圖象都有一部分在直線 y 的上方 ， 只有模型 y=log7x+1的圖象始終在 y 的下方 ， 這說明只有按模型 y=log7x+1進行獎勵時才符合公司的要求 下面通過計算確認上述判斷 先計算哪個模型的獎金總數不超過 萬元 對于模型 y 0.25x， 它在區間 10，1000 上單調遞增 ， 而且當 x 時 ， y ，因此 ， 當 x 時 ， y ， 所以該模型不符合要求 ；對于模型, y=1.002x ， 由函數圖象 ， 并利用信息技術 ， 可知在區間 （805 ，806 ） 內有一

15、個點x0 滿足 1.002x0 ， 由于它在區間 10 ，1000 上單調遞增 ， 因此當 x x0時 ， y ，所以該模型也不符合要求 ；對于模型 y=log7x+1， 它在區間 10 ，1000 上單調遞增 ， 而且當 x1000 時 ，y=log71000+14.55 ， 所以它符合獎金總數不超過 萬元的要求 再計算按模型 y=log7x+1獎勵時 ， 獎金是否不超過利潤的25 ， 即當 x 10 ，1000 時 ， 是否有 y 0.25x， 即y=log7x+1 0.25x成立 令 f(x) y=log7x+1-0.25x， x 10 ，1000 , 利用信息技術畫出它的圖象由圖象可知

16、函數 f(x)在區間10 ，1000 上單調遞減 ， 因此f(x) f(10)0.3167 ，即y=log7x+10.25x所以 ， 當 x 10 ，1000 時 ， y 0.25x， 說明按模型y=log7x+1 獎勵 ， 獎金不會超過利潤的 25綜上所述 ， 模型 y=log7x+1確實能符合公司要求 規律方法自建模型時主要抓住四個關鍵：“求什么，設什么，列什么，限制什么”.求什么就是弄清楚要解決什么問題，完成什么任務.設什么就是弄清楚這個問題有哪些因素，誰是核心因素，通常設核心因素為自變量.列什么就是把問題已知條件用所設變量表示出來，可以是方程、函數、不等式等.限制什么主要是指自變量所應

17、滿足的限制條件，在實際問題中，除了要使函數式有意義外，還要考慮變量的實際含義，如人不能是半個等.通過對常見函數模型的回顧，提出新的問題，提出運用函數模型分析解決實際問題，培養和發展數據分析、數學建模和數學抽象、直觀想象的核心素養。通過對具體問題的分析建模，解模的過程，發展學生數學建模、數據分析、邏輯推理，直觀想象、數學抽象、數學運算等核心素養；通過對具體問題的分析建模，解模的過程，發展學生數學建模、數據分析、邏輯推理，直觀想象、數學抽象、數學運算等核心素養；三、當堂達標1 一輛汽車在某段路程中的行駛路程s關于時間t變化的圖象如圖所示，那么圖象所對應的函數模型是()A分段函數 B二次函數 C指數

18、函數 D對數函數【答案】A由圖可知，該圖象所對應的函數模型是分段函數模型2若鐳經過100年后剩留原來質量的95.76%，設質量為1的鐳經過x年后剩留量為y，則x，y的函數關系是() Ay0.957 6 By(0.957 6)100xCy x Dy10.042 4【答案】A由題意可知y(95.76%)，即y0.9576.3 若一根蠟燭長20 cm，點燃后每小時燃燒5 cm，則燃燒剩下的高度h(cm)與燃燒時間t(h)的函數關系用圖象表示為()【答案】B由題意h205t(0t4)，其圖象為B.4某工廠生產某種產品固定成本為2 000萬元，并且每生產一單位產品，成本增加10萬元又知總收入K是單位產品

19、數Q的函數，K(Q)40QQ2，則總利潤L(Q)的最大值是_萬元. 【答案】2 500每生產一單位產品，成本增加10萬元，單位產品數Q時的總成本為2 00010Q萬元K(Q)40QQ2，利潤L(Q)40QQ210Q2 000Q230Q2 000(Q300)22 500，Q300時，利潤L(Q)的最大值是2 500萬元5已知A，B兩地相距150 km，某人開汽車以60 km/h的速度從A地到達B地，在B地停留1小時后再以50 km/h的速度返回A地(1)把汽車離開A地的距離s表示為時間t的函數(從A地出發時開始)，并畫出函數的圖象；(2)把車速v(km/h)表示為時間t(h)的函數，并畫出函數的