1、歡迎光臨歡迎光臨中中學學數數學學信息網信息網 中中學學數數學學信息網信息網系列資料 www.zxsx.com 版權所有中中學學數數學學信息網信息網2012 年高考數學試題分類匯編年高考數學試題分類匯編函數函數若實數x、y、m滿足xmym，則稱x比y接近m.（1）若21x 比 3 接近 0，求x的取值范圍；（2）對任意兩個不相等的正數a、b，證明：22a bab比33ab接近2ab ab；（3）已知函數( )f x的定義域,d x xkkz xr.任取xd，( )f x等于1 sin x和1 sin x中接近 0 的那個值.寫出函數( )f x的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調

2、性（結論不要求證明）.解析：(1) x(2,2)；(2) 對任意兩個不相等的正數 a、b，有222a babab ab，332abab ab，因為22332|2|2|()()0a babab ababab abab ab ，所以2233|2| |2|a babab ababab ab，即 a2bab2比 a3b3接近2ab ab；(3) 1sin ,(2,2)( )1 |sin|,1sin ,(2,2)xxkkf xx xkxxkk ,kz，f(x)是偶函數，f(x)是周期函數，最小正周期 t，函數 f(x)的最小值為 0，函數 f(x)在區間,)2kk單調遞增，在區間(,2kk單調遞減，kz

3、（2010 湖南文數）湖南文數）21 （本小題滿分 13 分）已知函數( )(1)ln15 ,af xxaxax其中 a0,且 a-1.（）討論函數( )f x的單調性；（）設函數332( 23646 ),1( ),1( )xxaxaxaa exe fx xg x（e 是自然數的底數） 。是否存在 a，使( )g x在a,-a上為減函數？若存在，求 a 的取值范圍；若不存在，請說明理由。歡迎光臨歡迎光臨中中學學數數學學信息網信息網 中中學學數數學學信息網信息網系列資料 www.zxsx.com 版權所有中中學學數數學學信息網信息網歡迎光臨歡迎光臨中中學學數數學學信息網信息網 中中學學數數學學信

4、息網信息網系列資料 www.zxsx.com 版權所有中中學學數數學學信息網信息網（2010 浙江理數）浙江理數） (22)(本題滿分 14 分)已知a是給定的實常數，設函數22( )() ()f xxaxb e，br，xa是( )f x的一個極大值點 ()求b的取值范圍；()設123,x x x是( )f x的 3 個極值點，問是否存在實數b，可找到4xr，使得1234,x x x x的某種排列1234,iiiixxxx(其中1234, , ,i i i i=1,2,3,4)依次成等差數列?若存在，求所有的b及相應的4x；若不存在，說明理由解析：本題主要考查函數極值的概念、導數運算法則、導數

5、應用及等差數列等基礎知識，同時考查推理論證能力、分類討論等綜合解題能力和創新意識。（）解：f(x)=ex(x-a) 2(3)2,xab xbaba令222( )(3)2,=(3-a+b)4(2)(1)80,g xxab xbabababaab則于是，假設1212,( )0.x xg xxx是的兩個實根，且（1）當 x1=a 或 x2=a 時，則 x=a 不是 f(x)的極值點，此時不合題意。（2）當 x1a 且 x2a 時，由于 x=a 是 f(x)的極大值點，故 x1a0),由已知得 x=alnx，12 x=ax， 解德 a=2e,x=e2,兩條曲線交點的坐標為（e2,e） 切線的斜率為 k

6、=f(e2)= 12e,切線的方程為 y-e=12e(x- e2). （2）由條件知 當 a.0 時，令h (x)=0,解得 x=24a,所以當 0 x 24a時 h (x)24a時，h (x)0，h(x)在（0，24a）上遞增。所以x24a是h(x)在（0， + ）上的唯一極致點，且是極小值點，從而也是h(x)的最小值點。所以 （a）=h(24a)= 2a-aln24a=2當 a 0 時，h(x)=(1/2-2a) /2x0,h(x)在（0，+）遞增，無最小值。故 h(x) 的最小值 （a）的解析式為 2a(1-ln2a) (ao)（3）由（2）知 （a）=2a(1-ln2a) 則 1（a

7、）=-2ln2a，令 1（a ）=0 解得 a =1/2當 0a0，所以 （a ） 在(0,1/2) 上遞增當 a1/2 時， 1（a ）0，為單調遞增區間。最大值在右端點取到。max1(1)2ffa。（2010 安徽文數）安徽文數）20.（本小題滿分 12 分）設函數 sincos1f xxxx，02x，求函數 f x的單調區間與極值。【命題意圖】本題考查導數的運算，利用導數研究函數的單調性與極值的方法，考查綜合應用數學知識解決問題的能力.【解題指導】 （1）對函數 sincos1f xxxx求導，對導函數用輔助角公式變形，利用導數等于 0 得極值點，通過列表的方法考查極值點的兩側導數的正負

8、，判斷區間的單調性，求極值.歡迎光臨歡迎光臨中中學學數數學學信息網信息網 中中學學數數學學信息網信息網系列資料 www.zxsx.com 版權所有中中學學數數學學信息網信息網,( )12().423( )0()422( )xxxxxxxx 解：由f (x)=si nx-cosx+x+1, 0 x2 , 知fsi n令f，從面si n，得，或，當變化時，f，f (x)變化情況如下表：3223332222因此，由上表知f (x)的單調遞增區間是（0，）與（，），單調遞增區間是（，），極小值為f ()=，極大值為f ()=【思維總結】對于函數解答題，一般情況下都是利用導數來研究單調性或極值，利用導數

9、為 0 得可能的極值點，通過列表得每個區間導數的正負判斷函數的單調性，進而得出極值點.（2010 重慶文數）(19) (本小題滿分 12 分), ()小問 5 分，()小問 7 分.)已知函數32( )f xaxxbx(其中常數 a,br),( )( )( )g xf xfx是奇函數.()求( )f x的表達式;()討論( )g x的單調性，并求( )g x在區間1,2上的最大值和最小值.歡迎光臨歡迎光臨中中學學數數學學信息網信息網 中中學學數數學學信息網信息網系列資料 www.zxsx.com 版權所有中中學學數數學學信息網信息網（2010 浙江文數）浙江文數） （21） （本題滿分 15

10、分）已知函數2( )()f xxa（a-b）( ,a br a0. （）若 a=1，求曲線 y=f（x）在點（2，f（2） ）處的切線方程；（）若在區間1 1,2 2上，f（x）0 恒成立，求 a 的取值范圍.【解析】本小題主要考查曲線的切線方程、利用導數研究函數的單調性與極值、解不等式等基礎知識，考查運算能力及分類討論的思想方法.滿分 12 分.歡迎光臨歡迎光臨中中學學數數學學信息網信息網 中中學學數數學學信息網信息網系列資料 www.zxsx.com 版權所有中中學學數數學學信息網信息網（）解：當 a=1 時，f（x）=323xx12，f（2）=3；f(x)=233xx, f(2)=6.所

11、以曲線 y=f（x）在點（2，f（2） ）處的切線方程為 y-3=6（x-2） ，即 y=6x-9.（）解：f(x)=2333 (1)axxx ax.令 f(x)=0，解得 x=0 或 x=1a.以下分兩種情況討論：（1）若110a2a2，則，當 x 變化時，f(x)，f（x）的變化情況如下表：x102，0120，f(x)+0-f(x)極大值 當1 1xfx2 2 ，時，（）0等價于5a10,()0,8215a( )0,0.28ff即 解不等式組得-5a2，則110a2.當 x 變化時，f(x),f（x）的變化情況如下表：x102，01a0，1a1 1a 2，f(x)+0-0+f(x)極大值極

12、小值當1 1x2 2 ，時，f（x）0 等價于1f(-)21f()0,a0,即25811-0.2aa0,解不等式組得252a或22a .因此 2a5. 綜合（1）和（2） ，可知 a 的取值范圍為 0a1 時，2x-20,從而2x-2e10,0,fxe 又所以(x)0,從而函數 f（x）在1,+)是增函數。又 f(1)=-1-1ee0 ，所以x1時，有f(x)f(1)=0,即 f(x)g(x).)證明：（1）若121212(1)(1)0,),1.xxxxxx12由（）及f (xf (x則與矛盾。（2）若121212(1)(1)0,),.xxxxxx12由（）及f (xf (x得與矛盾。歡迎光臨

13、歡迎光臨中中學學數數學學信息網信息網 中中學學數數學學信息網信息網系列資料 www.zxsx.com 版權所有中中學學數數學學信息網信息網根據（1） （2）得1212(1)(1)0,1,1.xxxx不妨設由（）可知，)2f (x)2g(x,則)2g(x=)2f (2-x，所以)2f (x)2f (2-x,從而)1f (x)2f (2-x.因為21x ，所以221x，又由（）可知函數 f(x)在區間（-，1）內事增函數，所以1x22x,即12xx2.（20102010 福建文數）福建文數）22 （本小題滿分 14 分） 已知函數 f（x）=3213xxaxb的圖像在點 p（0,f(0)）處的切線

14、方程為 y=3x-2()求實數 a,b 的值；()設 g（x）=f(x)+1mx是2,上的增函數。 （i）求實數 m 的最大值； (ii)當 m 取最大值時，是否存在點 q，使得過點 q 的直線若能與曲線 y=g(x)圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積總相等?若存在，求出點 q 的坐標；若不存在，說明理由。歡迎光臨歡迎光臨中中學學數數學學信息網信息網 中中學學數數學學信息網信息網系列資料 www.zxsx.com 版權所有中中學學數數學學信息網信息網（20102010 福建文數）福建文數）21(本小題滿分 12 分)某港口o要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發時，輪

15、船位于港口o北偏西 30且與該港口相距 20 海里的a處，并正以 30 海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛。假設該小艇沿直線方向以海里/小時的航行速度勻速行駛，經過t小時與輪船相遇。()若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應為多少？()為保證小艇在 30 分鐘內(含 30 分鐘)能與輪船相遇，試確定小艇航行速度的最小值；()是否存在，使得小艇以海里/小時的航行速度行駛，總能有兩種不同的航行方向與輪船歡迎光臨歡迎光臨中中學學數數學學信息網信息網 中中學學數數學學信息網信息網系列資料 www.zxsx.com 版權所有中中學學數數學學信息網信息網相遇？若存在，試確定的取值范圍；

16、若不存在，請說明理由。歡迎光臨歡迎光臨中中學學數數學學信息網信息網 中中學學數數學學信息網信息網系列資料 www.zxsx.com 版權所有中中學學數數學學信息網信息網（20102010 全國卷全國卷 1 1 理數）理數）(20)(本小題滿分 12 分) 已知函數( )(1)ln1f xxxx.（）若2( )1xfxxax，求a的取值范圍；（）證明：(1) ( )0 xf x .（2010 四川文數）四川文數） （22） （本小題滿分 14 分）歡迎光臨歡迎光臨中中學學數數學學信息網信息網 中中學學數數學學信息網信息網系列資料 www.zxsx.com 版權所有中中學學數數學學信息網信息網設1

17、1xxaf( x)a（0a 且1a ） ，g(x)是 f(x)的反函數.（）求( )g x；（）當2,6x時，恒有2( )log(1)(7)atg xxx成立，求 t 的取值范圍；（）當 0a 時，試比較 f(1)+f(2)+f(n)與4n的大小，并說明理由.12歡迎光臨歡迎光臨中中學學數數學學信息網信息網 中中學學數數學學信息網信息網系列資料 www.zxsx.com 版權所有中中學學數數學學信息網信息網（2010 湖北文數）湖北文數）21.（本小題滿分 14 分）設函數321axxbxc32f（x）=，其中 a0，曲線xyf （）在點 p（0，0f （）處的切線方程為 y=1（）確定 b、

18、c 的值（）設曲線xyf （）在點（11xxf，（）及（22xxf，（）處的切線都過點（0,2）證明：當12xx時，12()()fxfx（）若過點（0,2）可作曲線xyf （）的三條不同切線，求 a 的取值范圍。（2010 湖北文數）湖北文數）19.（本小題滿分 12 分）已知某地今年年初擁有居民住房的總面積為 a（單位：m2） ，其中有部分舊住房需要拆除。當地有關部門決定每年以當年年初住房面積的 10%建設新住房，同事也拆除面積為 b（單位：歡迎光臨歡迎光臨中中學學數數學學信息網信息網 中中學學數數學學信息網信息網系列資料 www.zxsx.com 版權所有中中學學數數學學信息網信息網m2）

19、的舊住房。（）分別寫出第一年末和第二年末的實際住房面積的表達式：（）如果第五年末該地的住房面積正好比今年年初的住房面積增加了 30%，則每年拆除的舊住房面積 b 是多少？（計算時取 1.15=1.6）（20102010 山東理數）山東理數）(22)(本小題滿分 14 分)已知函數1( )ln1af xxaxx()ar.()當12a 時，討論( )f x的單調性；（）設2( )24.g xxbx當14a 時，若對任意1(0,2)x ，存在21,2x ，使12()()f xg x，求實數b取值范圍.歡迎光臨歡迎光臨中中學學數數學學信息網信息網 中中學學數數學學信息網信息網系列資料 www.zxsx

20、.com 版權所有中中學學數數學學信息網信息網（）當14a 時，f(x)在（0，1）上是減函數，在（1，2）上是增函數，所以對任意1(0,2)x ，有11f(x )f(1)=-2，又已知存在21,2x ，使12()()f xg x，所以21()2g x，21,2x ，即存在1,2x，使21( )242g xxbx ，即2922bxx，即922bxx11 17,24，所以1122b ，解得114b ，即實數b取值范圍是11,)4。【命題意圖】本題將導數、二次函數、不等式知識有機的結合在一起，考查了利用導數研究函數的單調性、利用導數求函數的最值以及二次函數的最值問題，考查了同學們分類討論的數學思想

21、歡迎光臨歡迎光臨中中學學數數學學信息網信息網 中中學學數數學學信息網信息網系列資料 www.zxsx.com 版權所有中中學學數數學學信息網信息網以及解不等式的能力；考查了學生綜合運用所學知識分析問題、解決問題的能力。（1）直接利用函數與導數的關系討論函數的單調性；（2）利用導數求出( )f x的最小值、利用二次函數知識或分離常數法求出( )g x在閉區間1,2上的最大值，然后解不等式求參數。（2010 湖南理數）湖南理數）20.（本小題滿分 13 分）已知函數2( )( ,),f xxbxc b cr對任意的xr，恒有( )fx( )f x。（）證明：當0 x 時，2( )()f xxc；（

22、）若對滿足題設條件的任意 b，c，不等式22( )( )()f cf bm cb恒成立，求 m 的最小值。解析：解析：（2010 湖北理數）17 （本小題滿分 12 分） 為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層。某幢建筑歡迎光臨歡迎光臨中中學學數數學學信息網信息網 中中學學數數學學信息網信息網系列資料 www.zxsx.com 版權所有中中學學數數學學信息網信息網物要建造可使用 20 年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為 6 萬元。該建筑物每年的能源消耗費用 c（單位：萬元）與隔熱層厚度 x（單位：cm）滿足關系：c（x）=(010),35kxx若不建隔熱層，

23、每年能源消耗費用為 8 萬元。設 f（x）為隔熱層建造費用與20 年的能源消耗費用之和。（）求 k 的值及 f(x)的表達式。（）隔熱層修建多厚時，總費用 f(x)達到最小，并求最小值。（20102010 福建理數）福建理數）20 （本小題滿分 14 分）（）已知函數3(x)=x -xf，其圖象記為曲線c。（i）求函數(x)f的單調區間；（ii）證明：若對于任意非零實數1x，曲線 c 與其在點111p (x ,f(x )處的切線交于另一點222p (x ,f(x )，曲線 c 與其在點222p (x ,f(x )處的切線交于另一點333p (x ,f(x )，線段11223122pp ,p p

24、,s ,scs與曲線所圍成封閉圖形的面積分別記為s則為定值；（）對于一般的三次函數32g(x)=ax +bx +cx+d(a0),請給出類似于（） （ii）的正確命題，并予以證明。【命題意圖】本小題主要考查函數、導數、定積分等基礎知識，考查抽象概括能力、運算求解能力、推理論證能力，考查函數與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想、特殊與一般思想。歡迎光臨歡迎光臨中中學學數數學學信息網信息網 中中學學數數學學信息網信息網系列資料 www.zxsx.com 版權所有中中學學數數學學信息網信息網【解析】 （） （i）由3(x)=x -xf得2(x)=3x -1f=333(x-)(x+)33，當3x(- ,-)3 和33（，）時，(x)0f；當3x(-,33)3時，(x)0，使得) 1)()( 2axxxhxf，則稱函數)(xf具有性質)(ap。(1)設函數)(xf2ln(1)1bxxx，其中b為實數。(i)求證：函數)(xf具有性質)(bp； (ii)求函數)(xf的單調