1、初中到高中學習函數概念的體會初中的函數知識從映射開始，一個x值有且只對應一個y值，然后提到了一次函數，直角坐標系，從此又學到一個函數式就有一個函數圖象，接著是二次函數、反比例函數，過度到高中時則提出了指數函數，對數函數，冪函數，在高中的課程中函數的增減性、奇偶性是重點， 初中時學函數是從表達式開始的，例如2a-3b這樣的式子，因為初中的思維是習慣常量的，所以對這些表達式表現得難以理解，引入等式后，似乎能理解自變量與因變量間的對應關系，特別是以映射的方式。由此根據函數圖象可連接到函數上，建立為這么一種關系，有一種直觀的感覺。不過到了高中，函數的內容要深多了，提到增減性和奇偶性、最值等概念，當然都

2、有自己的學習方法和理解方式。函數概念的發展歷程函數就是在某變化過程中有兩個變量X和Y，變量Y隨著變量X一起變化，而且依賴于X。如果變量X取某個特定的值，Y依確定的關系取相應的值，那么稱Y是X的函數。這一要領是由法國數學家黎曼在19世紀提出來的，但是最早產生于德國的數學家菜布尼茨。他和牛頓是微積分的發明者。17世紀末，在他的文章中，首先使用了“function一詞。翻譯成漢語的意思就是“函數。不過，它和我們今天使用的函數一詞的內涵并不一樣，它表示”冪”、“坐標”、“切線長”等概念。 1 / 6直到18世紀，法國數學家達朗貝爾在進行研究中，給函數重新下了一個定義，他認為，所謂變量的函數，就是指由這

3、些變量和常量所組成的解析表達式，即用解析式表達函數關系。后來瑞士的數學家歐拉又把函數的定義作了進一步的規范，他認為函數是能描畫出的一條曲線。我們常見到的一次函數的圖像、二次函數的圖像、正比例函數的圖像、反比例的圖像等都是用圖像法表示函數關系的。如果用達朗貝爾和歐拉的方法來表達函數關系，各自有它們的優點，但是如果作為函數的定義，還有欠缺。因為這兩種方法都還停留在表面現象上，而沒有提示出函數的本質來。 19世紀中期，法國數學家黎緊吸收了萊布尼茨、達朗貝爾和歐拉的成果，第一次準確地提出了函數的定義：如果某一個量依賴于另一個量，使后一個量變化時，前一個量也隨著變化，那么就把前一個量叫做后一個量的函數。

4、黎曼定義的最大特點在于它突出了就是之間的依賴、變化的關系，反映了函數概念的本質屬性。 數學家與函數函數概念是全部數學概念中最重要的概念之一，縱觀300年來函數概念的發展，眾多數學家從集合、代數、直至對應、集合的角度不斷賦予函數概念以新的思想，從而推動了整個數學的發展。本文擬通過對函數概念的發展與比較的研究，對函數概念的教學進行一些探索。 1、函數概念的縱向發展 11 早期函數概念幾何觀念下的函數 十七世紀伽俐略(GGalileo，意，15641642)在兩門新科學一書中，幾乎從頭到尾包含著函數或稱為變量的關系這一概念，用文字和比例的語言表達函數的關系。1673年前后笛卡爾(Descartes，

5、法，15961650)在他的解析幾何中，已經注意到了一個變量對于另一個變量的依賴關系，但由于當時尚未意識到需要提煉一般的函數概念，因此直到17世紀后期牛頓、萊布尼茲建立微積分的時候，數學家還沒有明確函數的一般意義，絕大部分函數是被當作曲線來研究的。 12 十八世紀函數概念代數觀念下的函數 1718年約翰貝努利(BernoulliJohann，瑞，16671748)才在萊布尼茲函數概念的基礎上，對函數概念進行了明確定義：由任一變量和常數的任一形式所構成的量，貝努利把變量x和常量按任何方式構成的量叫“x的函數”，表示為，其在函數概念中所說的任一形式，包括代數式子和超越式子。 18世紀中葉歐拉(LE

6、uler，瑞，17071783)就給出了非常形象的，一直沿用至今的函數符號。歐拉給出的定義是：一個變量的函數是由這個變量和一些數即常數以任何方式組成的解析表達式。他把約翰貝努利給出的函數定義稱為解析函數，并進一步把它區分為代數函數（只有自變量間的代數運算）和超越函數（三角函數、對數函數以及變量的無理數冪所表示的函數），還考慮了“隨意函數”（表示任意畫出曲線的函數），不難看出，歐拉給出的函數定義比約翰貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義。 13 十九世紀函數概念對應關系下的函數 1822年傅里葉(Fourier，法，17681830)發現某些函數可用曲線表示，也可用一個式子表示，或用多個式子表示，

7、從而結束了函數概念是否以唯一一個式子表示的爭論，把對函數的認識又推進了一個新的層次。1823年柯西(Cauchy，法，17891857)從定義變量開始給出了函數的定義，同時指出，雖然無窮級數是規定函數的一種有效方法，但是對函數來說不一定要有解析表達式，不過他仍然認為函數關系可以用多個解析式來表示，這是一個很大的局限，突破這一局限的是杰出數學家狄利克雷。 1837年狄利克雷(Dirichlet，德，18051859)認為怎樣去建立x與y之間的關系無關緊要，他拓廣了函數概念，指出：“對于在某區間上的每一個確定的x值，y都有一個或多個確定的值，那么y叫做x的函數。”狄利克雷的函數定義，出色地避免了以

8、往函數定義中所有的關于依賴關系的描述，簡明精確，以完全清晰的方式為所有數學家無條件地接受。至此，我們已可以說，函數概念、函數的本質定義已經形成，這就是人們常說的經典函數定義。 等到康托爾(Cantor，德，18451918)創立的集合論在數學中占有重要地位之后，維布倫(Veblen，美，18801960)用“集合”和“對應”的概念給出了近代函數定義，通過集合概念，把函數的對應關系、定義域及值域進一步具體化了，且打破了“變量是數”的極限，變量可以是數，也可以是其它對象（點、線、面、體、向量、矩陣等）。 14 現代函數概念集合論下的函數 1914年豪斯道夫(FHausdorff)在集合論綱要中用“

9、序偶”來定義函數。其優點是避開了意義不明確的“變量”、“對應”概念，其不足之處是又引入了不明確的概念“序偶”。庫拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念來定義“序偶”，即序偶(a，b)為集合a，b，這樣，就使豪斯道夫的定義很嚴謹了。1930年新的現代函數定義為，若對集合M的任意元素x，總有集合N確定的元素y與之對應，則稱在集合M上定義一個函數，記為y=f(x)。元素x稱為自變元，元素y稱為因變元。 函數概念的定義經過三百多年的錘煉、變革，形成了函數的現代定義形式，但這并不意味著函數概念發展的歷史終結，20世紀40年代，物理學研究的需要發現了一種叫做Dirac函數，它只在一點處不為零，而它在全直線上的積分卻等于1