高三數學知識點匯總（1）

撰稿人：王道順

（必修1）第一章集合與函數概念

一、集合有關概念

1、集合的含義：某些指定的對象集在一起就成為一個集合，其中每一個對象叫元素。

2、集合的中元素的三個特性：

L元素的確定性；2.元素的互異性；3.元素的無序性

說明：（1）對于一個給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個對象或者是或者不

是這個給定的集合的元素。

（2）任何一個給定的集合中，任何兩個元素都是不同的對象，相同的對象歸入一個集

合時，僅算一個元素。

（3）集合中的元素是平等的，沒有先后順序，因此判定兩個集合是否一樣，僅需比較

它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。

（4）集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性.

3、集合的表示：｛…｝如（我校的籃球隊員），（太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋）

1.用拉丁字母表示集合：A=｛我校的籃球隊員｝,B=｛1,2,3,4,5｝

2.集合的表示方法：列舉法與描述法。

非負整數集（即自然數集）記作：N

正整數集N*或N+整數集Z有理數集Q實數集R

關于“屬于”的概念

集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就說a屬于集合A記

作a€A,相反，a不屬于集合A記作aeA

列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，然后用一個大括號括上。

描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合的方法。用確

定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法。

①語言描述法：例：（不是直角三角形的三角形｝

②數學式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是｛x￡R|x-3>2｝或｛x|x-3>2）

4、集合的分類：

（1）.有限集含有有限個元素的集合

（2）.無限集含有無限個元素的集合

（3）.空集不含任何元素的集合例：｛x\x2=-5｝

二、集合間的基本關系

1.“包含”關系一子集

注意：有兩種可能（1）A是B的一部分,；（2）A與B是同一集合。

反之：集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA

2.“相等”關系（5》5,且545,則5=5）

實例：設A={xlx2-1=0}B={-1,1}“元素相同”

結論：對于兩個集合A與B,如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時，集

合B的任何一個元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B,即：A=B

任何一個集合是它本身的子集。AcA

②真子集：如果AuB,且B<ZA那就說集合A是集合B的真子集，記作A=B（或B=A）

③如果AuB,BuC，那么AcC

④如果AuB同時BuA那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，記為中

規定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

三、集合的運算

1.交集的定義：一般地，由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合，叫做A,B的交

集.記作ADB（讀作”A交B”）,即ADB=（x|xBA,且x￡B}.

2、并集的定義：一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A,B

的并集.記作：AUB（讀作"A并B"），即AUB={x|x€A,或x￡B}.

3、交集與并集的性質：APIA=A,AH巾=巾，AflB=BHA,AUA=A,

AU<|）=A,AUB=BUA.

4、全集與補集

（1）補集：設S是一個集合，A是S的一個子集（即）,由S中所有不屬于A的元素

組成的集合，叫做S中子集A的補集（或余集）

（2）全集：如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看

作一個全集。通常用U來表示.

四、函數的有關概念

1.函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f,使對于集合A

中的任意一個數x,在集合B中都有唯一確定的數f（x）和它對應，那么就稱f：A-B為從集合

A到集合B的一個函數.記作：y=f（x）,x€A.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函

數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f（x）|x￡A）叫做函數的值

域.

注意：如果只給出解析式y=f（x）,而沒有指明它的定義域，則函數的定義域即是指能使

這個式子有意義的實數的集合；函數的定義域、值域要寫成集合或區間的形式.

定義域補充

能使函數式有意義的實數x的集合稱為函數的定義域，求函數的定義域時列不等式組的主

要依據是：（1）分式的分母不等于零；（2）偶次方根的被開方數不小于零；（3）對數式的真數

必須大于零；（4）指數、對數式的底必須大于零且不等于1.（5）如果函數是由一些基本函數

通過四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.（6）指

數為零底不可以等于零⑹實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義.

（又注意：求出不等式組的解集即為函數的定義域。）

構成函數的三要素：定義域、對應關系和值域

注意：（1）構成函數三個要素是定義域、對應關系和值域.由于值域是由定義域和對應關

系決定的，所以，如果兩個函數的定義域和對應關系完全一致，即稱這兩個函數相等（或為同

一函數)(2)兩個函數相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全一致，而與表示自變量和函

數值的字母無關。相同函數的判斷方法：①表達式相同；②定義域一致(兩點必須同時具備)

(見課本21頁相關例2)

值域補充

(1)、函數的值域取決于定義域和對應法則，不論采取什么方法求函數的值域都應先考慮

其定義域.(2).應熟悉掌握一次函數、二次函數、指數、對數函數及各三角函數的值

域，它是求解復雜函數值域的基礎。

3.函數圖象知識歸納

(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數y=f(x),(x￡A)中的x為橫坐標，函數值y為

縱坐標的點P(x,y)的集合C,叫做函數y=f(x),(x￡A)的圖象.

集合C上每一點的坐標(x,y)均滿足函數關系y=f(x),反過來，以滿足y=f(x)的每一組有

序實數對x、y為坐標的點(x,y),均在C上.即記為C={P(x,y)Iy=f(x),x€A},圖象

C一般的是一條光滑的連續曲線(或直線)，也可能是由與任意平行與Y軸的直線最多只有一個交

點的若干條曲線或離散點組成.

(2)畫法

A、描點法：根據函數解析式和定義域，求出x,y的一些對應值并列表，以(x,y)為坐標在

坐標系內描出相應的點P(x,y),最后用平滑的曲線將這些點連接起來.

B、圖象變換法(請參考必修4三角函數)

常用變換方法有三種，即平移變換、伸縮變換和對稱變換

⑶作用:

1、直觀的看出函數的性質；2、利用數形結合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。

發現解題中的錯誤。

4.了解區間的概念

(1)區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間；(2)無窮區間；(3)區間的數軸表示.

5.什么叫做映射

一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f,使對于集合A中的

任意一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：A-B為從

集合A到集合B的一個映射。記作“f:A-B”

給定一個集合A到B的映射，如果a￡A,bSB.且元素a和元素b對應，那么，我們把元素

b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象

說明：函數是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應，①集合A、B及對應法則f是確定

的；②對應法則有“方向性”，即強調從集合A到集合B的對應，它與從B到A的對應關系一

般是不同的；③對于映射f：A-B來說，則應滿足：(I)集合A中的每一個元素，在集合B

中都有象，并且象是唯一的；(口)集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個；

(III)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。

常用的函數表示法及各自的優點：

1函數圖象既可以是連續的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，注意判斷一個圖

形是否是函數圖象的依據；2解析法：必須注明函數的定義域；3圖象法：描點法作圖要注

意：確定函數的定義域；化簡函數的解析式；觀察函數的特征；4列表法：選取的自變量要有

代表性，應能反映定義域的特征.

解析法：便于算出函數值。列表法：便于查出函數值。圖象法：便于量出函數值.

補充一：分段函數(參見課本P24-25)

在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。在不同的范圍里求函數值時必須把自

變量代入相應的表達式。分段函數的解析式不能寫成幾個不同的方程，而就寫函數值幾種不同

的表達式并用一個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況.(1)分段函數是

一個函數，不要把它誤認為是幾個函數；(2)分段函數的定義域是各段定義域的并集，值域是

各段值域的并集.

補充二：復合函數

如果y=f(u),(uEM),u=g(x),(x￡A),則y=f[g(x)]=F(x),(x€A)稱為f、g的復合函

數。

例如：y=2sinxy=2cos(2x+l)

7.函數單調性

(1).增函數

設函數y=f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量a,

b,當a<b時，都有f(a)<f(b),那么就說f(x)在區間D上是增函數。區間D稱為y=f(x)的單

調增區間(睇清楚課本單調區間的概念)

如果對于區間D上的任意兩個自變量的值a,b,當a<b時，都有f(a)>f(b),那么就說

f(x)在這個區間上是減函數.區間D稱為y=f(x)的單調減區間.

注意：1函數的單調性是在定義域內的某個區間上的性質，是函數的局部性質；

2必須是對于區間D內的任意兩個自變量a,b;當a<b時，總有f(a)<f(b)。

(2)圖象的特點

如果函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數，那么說函數y=f(x)在這一區間上具有(嚴

格的)單調性，在單調區間上增函數的圖象從左到右是上升的，減函數的圖象從左到右是下降

的.

(3).函數單調區間與單調性的判定方法

(A)定義法：任取a,b€D,且a<b;2作差f(a)-f(b);3變形(通常是因式分解和配

方)；4定號(即判斷差f(a)-f(b)的正負)；5下結論(指出函數f(x)在給定的區間D上的

單調性).

(B)圖象法(從圖象上看升降)一(C)復合函數的單調性

復合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x),y=f(u)的單調性密切相關

注意：1、函數的單調區間只能是其定義域的子區間，不能把單調性相同的區間和在一起

寫成其并集.2、還記得我們在選修里學習簡單易行的導數法判定單調性嗎？

8.函數的奇偶性

(1)偶函數

一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個X,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶

函數.

(2).奇函數

一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個X,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做

奇函數.

注意：1、函數是奇函數或是偶函數稱為函數的奇偶性，函數的奇偶性是函數的整體性

質；函數可能沒有奇偶性，也可能既是奇函數又是偶函數。

2、由函數的奇偶性定義可知，函數具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內的任意

一個x,則-x也一定是定義域內的一個自變量(即定義域關于原點對稱).

3、具有奇偶性的函數的圖象的特征

偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱.

總結：利用定義判斷函數奇偶性的格式步驟：1首先確定函數的定義域，并判斷其定義域

是否關于原點對稱；2確定f(-x)與f(x)的關系；3作出相應結論：若f(-x)=f(x)或

f(-X)-f(x)=0,則f(x)是偶函數；若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,則f(x)是

奇函數.

注意：函數定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件.首先看函數的定義域是否

關于原點對稱，若不對稱則函數是非奇非偶函數.若對稱，(1)再根據定義判定；(2)有時判定

f(-x)=±f(x)比較困難，可考慮根據是否有f(-X)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來判定；⑶利

用定理，或借助函數的圖象判定.

9、函數的解析表達式

(1).函數的解析式是函數的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數關系時，一是要求

出它們之間的對應法則，二是要求出函數的定義域.

(2).求函數的解析式的主要方法有：待定系數法、換元法、消參法等，如果已知函數解

析式的構造時，可用待定系數法；已知復合函數f［g(x)］的表達式時，可用換元法，這時要注

意元的取值范圍；當已知表達式莪簡單時，也可用湊配法；若已知抽象函數表達式，則常用解

方程組消參的方法求出f(x)

10.函數最大(小)值(定義見課本)

(1)、利用二次函數的性質(配方法)求函數的最大(小)值.

(2)、利用圖象求函數的最大(小)值

(3)、利用函數單調性的判斷函數的最大(小)值：如果函數y=f(x)在區間［a,b］上單

調遞增，在區間［b,c］上單調遞減則函數y=f(x)在x=b處有最大值f(b);如果函數y=f(x)在

區間［a,b］上單調遞減，在區間［b,c］上單調遞增則函數y=f(在在x=b處有最小值f(b);

第二章基本初等函數

一、指數函數

(一)指數與指數嘉的運算

1.根式的概念：一般地，如果/=。，那么X叫做。的〃次方根(nthroot),其中

n>1,且〃￡N;

當〃是奇數時，正數的"次方根是一個正數，負數的〃次方根是一個負數.此時，。的

〃次方根用符號〃'表示.式子"Z叫做根式(radical),這里〃叫做根指數(radica1

exponent),e叫做被開方數(radicand).

當〃是偶數時，正數的〃次方根有兩個，這兩個數互為相反數.此時，正數。的正的〃

次方根用符號后表示，負的〃次方根用符號-標表示.正的〃次方根與負的〃次方根可

以合并成±"7(。>0).由此可得:負數沒有偶次方根;0的任何次方根都是0,記作強=0。

注意：當〃是奇數時，后=a，當〃是偶數時，(°-0)

[-a(a<0)

2.分數指數幕

正數的分數指數寡的意義，規定：

m____%1]

an=\la,n(a>0,e>1),ci"=—=,——>(a>0,m,neN,n>1)

..ya

an

0的正分數指數得等于0,。的負分數指數暴沒有意義

指出：規定了分數指數嘉的意義后，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數，

那么整數指數累的運算性質也同樣可以推廣到有理數指數基.

3.實數指數寡的運算性質

(1)a，?優=a"'(a>0,r,s￡R);

(2)(a〉0,r,seR);

(3)(")'=優優(a>O,r,seR).

(-)指數函數及其性質

1、指數函數的概念：一般地，函數y=a*(a〉0,且aW1)叫做指數函數(exponential

function),其中x是自變量，函數的定義域為R.

注意：指數函數的底數的取值范圍，底數不能是負數、零和1.

2、指數函數的圖象和性質

函數圖象都過定點(0,1)a°=1

自左向右自左向右

看，看，

增函數減函數

圖象逐漸圖象逐漸

上升下降

在第一象在第一象

x>0,ax>1x>0,ax<1

限內的圖象縱限內的圖象縱

坐標都大于1坐標都小于1

在第二象在第二象

x<0,ax<1x<0,ax>1

限內的圖象縱限內的圖象縱

坐標都小于1坐標都大于1

函數值開函數值開

圖象上升圖象上升

始增長較慢，到始減小極快，到

趨勢是越來越趨勢是越來越

了某一值后增了某一值后減

陡緩

長速度極快；小速度較慢；

注意：利用函數的單調性，結合圖象還可以看出:

(1)在[a,b]±,其*)=2*伯>0且2/1)值域是了5)』也)]或任(1))』9)];

(2)若XHO,則f(x)wl;f(x)取遍所有正數當且僅當XGR;

(3)對于指數函數f(x)=aX(a>0且avl),總有其l)=a;

(4)當a〉l時，若X]<X2，則f(X|)<f(X2)；

二、對數函數

(一)對數

1.對數的概念：一般地，如果屋=N(a>O,awl),那么數x叫做?。為用N的對

數，記作：x=log(,N(a-底數，N—真數，log“N一對數式)

說明：①注意底數的限制。〉0,且

<2)a*=Nolog“N=x:

③注意對數的書寫格式.

兩個重要對數：

O常用對數：以10為底的對數IgN;

<2>自然對數：以無理數e=2.71828…為底的對數的對數InN.

對數式與指數式的互化

log（,N=x=a'=N

對數式。指數式

對數底數一a-嘉底數

對數一x-指數

真數-N一嘉

（二）對數的運算性質

如果。〉0,且M>0,N〉0,那么：（1）log“（〃-N）=log?M+log?N;

(2)log,一=log”M-log,N;(3)logMn=nlog,M(ne/?).

(N(a(

注意：換底公式log"b=(a>0,且aHl;c>0,且CHI;b>Q).

log.a

利用換底公式推導下面的結論

n

(1)log"">"=—log”。；

m

（二）對數函數

1、對數函數的概念：函數y=log,,x（a>0,且。#1）叫做對數函數，其中x是自變

量，函數的定義域是（0,+8）.

注意：①對數函數的定義與指數函數類似，都是形式定義，注意辨別。

Y

如：y=21og2x,y=log5-都不是對數函數，而只能稱其為對數型函數.

<2>對數函數對底數的限制：（a>0,且awl）.

2、對數函數的性質：

a>l0<a<l

1

?

Q/10

/

-

圖象特征函數性質

0<a<1

a>1a>10<a<1

函數圖象都在y軸右側函數的定義域為（0,+8）

圖象關于原點和y軸不對稱非奇非偶函數

向y軸正負方向無限延伸函數的值域為R

函數圖象都過定點（1,0）log01=0

自左向自左向

右看，右看，

增函數減函數

圖象逐圖象逐

漸上升漸下降

第一象第一象

x>l,logx>00<x<l,logx>

限的圖象縱限的圖象縱flfl

坐標都大于0坐標都大于0

第二象第二象

0<x<l,logx<(x>l』og〃x<0

限的圖象縱限的圖象縱z

坐標都小于0坐標都小于0

三、母函數

1、嘉函數定義：一般地，形如），=》"（〃€夫）的函數稱為嘉函數，其中a為常數.

2、寡函數性質歸納.

（1）所有的募函數在（0,+8）都有定義，并且圖象都過點（1,1）；

（2）a＞0時，嘉函數的圖象通過原點，并且在區間［0,+oo）上是增函數.特別地，當

二＞1時，嘉函數的圖象下凸；當0＜。＜1時，幕函數的圖象上凸；

（3）a＜0時，嘉函數的圖象在區間（0,+8）上是減函數.在第一象限內，當x從右

邊趨向原點時，圖象在y軸右方無限地逼近y軸正半軸，當x趨于+8時，圖象在x軸上

方無限地逼近x軸正半軸.

第三章函數的應用

一、方程的根與函數的零點

1、函數零點的概念：對于函數y=/(x)(xe￡>),把使/(x)=0成立的實數x叫做

函數y=/(x)(xe。)的零點。

2、函數零點的意義：函數y=/(x)的零點就是方程/(x)=0實數根，亦即函數

y=/(x)的圖象與x軸交點的橫坐標。即：

方程/(幻=0有實數根=函數y=/(x)的圖象與x軸有交點=函數y=/(x)有零

點.

3、函數零點的求法：求函數y=/(x)的零點：

①(代數法)求方程/(x)=0的實數根；

<2>(幾何法)對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數y=/(x)的圖象聯系起

來，并利用函數的性質找出零點.

4、二次函數的零點：

二次函數>,=ax2+bx+c(a+0).

1)△>0,方程a/+8x+c=o有兩不等實根，二次函數的圖象與x軸有兩個交點,

二次函數有兩個零點.

2)△=0,方程a/+bx+c=0有兩相等實根(二重根)，二次函數的圖象與x軸

有一個交點，二次函數有一個二重零點或二階零點.

3)△<0,方程ax?+"+c=0無實根，二次函數的圖象與*軸無交點，二次函數

無零點.

(必修2)立體幾何初步

1.特殊幾何體表面積公式(C為底面周長，h為高，"為斜高，1為母線)

S直棱柱側面積=ch

5正棱錐惻面積=/c〃'

SJE枝臺(M積+c2)h'

S圓柱側=271rhS圓柱表=2m(r+/)

S圓錐側面積二口1S圓錐表="（r+1）

5圓臺AM面積=（「+R）6S圓臺表="（廣+”+即+R~）

2.柱體、錐體、臺體的體積公式

%=S/z

%小

嗅=1（5'+VS7+S）〃

丫圓柱=Sh=Tvrh

%健=；勿%

唳臺=g（S+炳+SM=；%+水+R2）6

43

3.球體的表面積和體積公式：求3；S球而=4成2

4.空間幾何體的三視圖

定義三視圖：正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影）；側視圖（從左向右）、

俯視圖（從上向下）

注：正視圖反映了物體的高度和長度；俯視圖反映了物體的長度和寬度；側視圖反映了物

體的高度和寬度。

3、空間幾何體的直觀圖一一斜二測畫法

斜二測畫法特點：①原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長度不變；

②原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長度為原來的一半。

第二章直線與平面的位置關系

2.1空間點、直線、平面之間的位置關系

1平面含義：平面是無限延展的

2三個公理：

(1)公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內.

符號表示為

A€L]/----------------7

B€L[=>LCa(Z?/

A€aJ

B€a

公理]作用：判斷直線是否在平面內.

(2)公理2:過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。/B一7

符號表示為：A、B、C三點不共線=>有且只有一個平面a,/,C?/

使A￡a、B￡a、C￡a。乙---------/

公理2作用：確定一個平面的依據，

(3)公理3:如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共

直線。

符號表示為：P€aAp=>aClp=L,且PEL<\

公理3作用：判定兩個平面是否相交的依據./

2.1.2空間中直線與直線之間的位置關系N—X)/

1空間的兩條直線有如下三種關系：\/

共面直線(相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；V

平行直線：1同一平面內，沒有公共點；

異面直線：不同在任何一個平面內，沒有公共點。

2公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

符號表示為：設a、b、c是三條直線

a"b=>a〃c

cIIb」

強調：公理4實質上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質都適用。

公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據。

3等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.

4注意點：

①〃與卜所成的角的大小只由a、b的相互位置來確定，與0的選擇無關，

為了簡便，點0一般取在兩直線中的一條上；

②兩條異面直線所成的角6E(0,乃)；

③當兩條異面直線所成的角是直囪時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作a_Lb;

④兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；

⑤計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線所成的角。

2.1.3-2.1.4空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關系

1、直線與平面有三種位置關系：

(1)直線在平面內一一有無數個公共點

(2)直線與平面相交一一有且只有一個公共點

(3)直線在平面平行一一沒有公共點

指出：直線與平面相交或平行的情況統稱為直線在平面外，可《aa來表示

2.2.1直線與平面平行的判定

1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與

此平面平行。

簡記為：線線平行，則線面平行.

符號表示：

aCa

bUa—1=>aIIa

aIIbU

2.2.2林與平面平行的判定

1、兩個平面平行的判定定理：一個平面內的兩條交直線與另一個平面平行，則這兩個平面

平行。

符號表示:

aCp、

bCp

aDb=P>=>P//a產了7

aIIa

bIIa，

2、判斷兩平面平行的方法有三種:

(1)用定義；/7

(2)判定定理；

(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行。

2.2.3-2.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質

1、直線與平面平行的性質定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此

平面的交線與該直線平行。

簡記為：線面平行則線線平行。

符號表示：

aIIa]

aCp?=>aIIb

aA0=b，

作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。

2、兩個平面平行的性質定理：如果兩個平行的平面同時與第三個平面相交，那么它們的交

線平行。

符號表示：

a//P

aCly=aa=>a//b

6n丫=bJ

作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行

2.3直線、平面垂直的判定及其性質

2.3.1直線與平面垂直的判定

1、定義：如果直線L與平面a內的任意一條直線都垂直，我們就說直線L與平面a互相垂

直，記作LJ_a,直線L叫做平面a的垂線，平面a叫做直線L的垂面。如圖，直線與平面垂

直時，它們唯一公共點P叫做垂足。

2、直線與平面垂直的判定定理：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直

線與此平面垂直。

注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；

b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想。

2.3.2平面與平面垂直的判定

1、二面角的概念：表示從空間一直線出發的兩個半平面所組成的圖形

。或a-AB-p

3、兩個平面互相垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。

2.3.3-2.3.4直線與平面、平面與平面垂直的性質

1、直線與平面垂直的性質定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。

2、兩個平面垂直的性質定理：兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個

平面垂直。

第三章直線與方程

(1)直線的傾斜角

定義：了軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當直線與“軸平

行或重合時，我們規定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°4a<180。

(2)直線的斜率

①定義：傾斜角不是90。的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常

用k表示。即—ana。斜率反映直線與軸的傾斜程度。

當直線1與x軸平行或重合時，a=0。，k=tan0°=0;

當直線1與x軸垂直時，a=90°,k不存在.

當ae|0°,90°）時，^>0;當ae(9(T,180°)時，々<0;當a=90°時，k不存

在。

②過兩點的直線的斜率公式:k=~~—(%,X,)(Pl(xl,yl),P2(x2,y2),xl*x2)

x2-x,

注意下面四點：(1)當司=》2時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90。；

Q)k與P、、月的順序無關；

(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標直接求得;

(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標先求斜率得到。

(3)直線方程

①點斜式：>一%=%(x—X])直線斜率且過點(西方)

注意：當直線的斜率為0°時，k=0,直線的方程是片％.

當直線的斜率為90。時，直線的斜率不存在，它的方程不能用點斜式表示.但因/上每一

點的橫坐標都等于不，所以它的方程是尸為。

②斜截式：y=kx+b,直線斜率為匕直線在y軸上的截距為6

③兩點式：—~^?(X|W々，)'尸為)直線兩點(不)'3(*2，%)

為一名》2—引

④截矩式：2+)=1其中直線/與x軸交于點(a,O),與y軸交于點(O,b),即/與x軸、y軸

ab

的截距分別為出人。

⑤一般式：Ax+By+C=0(Ay耳不全為0)

注意：①各式的適用范圍。特殊的方程如：

平行于彳軸的直線：y=h(。為常數)；平行于y軸的直線：x=a(，為常數)；

(6)兩直線平行與垂直當1:y=k}x+b],l2-y=k2x+b2時，

6〃/2<=>k[=%2,仇。b2;

Z]_Ll2ok}k2=—1

注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時，要注意斜率的存在與否。

(7)兩條直線的交點

/]:Axx+Bxy+Cx=012:A2X+B2y+C2=0相交

交點坐標即方程組jA'+^y+G=°的一組解。

[A2x+B2y+C2=0

方程組無解=/J〃2；方程組有無數解=/|與，2重合

（8）兩點間距離公式：設力（西,%），B（&,乃）是平面直角坐標系中的兩個點，

則IAB\=｛（々一±）2+（必一%）2

（9）點到直線距離公式：一點p（xo,yo）到直線/（:Ax+By+C=0的距離

,|4XO+B），0+C|

-JA1+B-

（10）兩平行直線距離公式

已知兩條平行線直線4和乙的一般式方程為點4x+By+G=0，

/2:Ax+By+C,=0,則6與/，的距離為d=單二St

ylA2+B2

第四章圓與方程

1、圓的定義：平面內到一定點的距離等于定長的點的集合叫圓，定點為圓心，定長為圓的

半徑。

2、圓的方程

（1）標準方程（x—a）2+（y-b『=/,圓心（q,b）,半徑為r;

點與圓。一。）2+（＞-6）2=/的位置關系：

當（.—4）2+（%—匕）2＞產，點在圓外

當（入0-。）2+（凡-匕）2=巴點在圓上

當（X。一4）~+（＞0—b）~〈廠，點在圓內

（2）一般方程x2+y2+Ox+Ey+b=0

當。2+七2-4/＞0時，方程表示圓，此時圓心為,半徑為一白方+小花

當。2+石2-4/=0時，表示一個點;

當。2+后2-4/<0時，方程不表示任何圖形。

(3)求圓方程的方法：

一般都采用待定系數法：先設后求。確定一個圓需要三個獨立條件，若利用圓的標準方程，

需求出a,b,r;若利用一般方程，需要求出D,E,F;

另外要注意多利用圓的幾何性質：如弦的中垂線必經過原點，以此來確定圓心的位置。

3、直線與圓的位置關系：

直線與圓的位置關系有相離，相切，相交三種情況：

(1)設直線/:Ax+8y+C=0,圓C:(x-ay+(y_b)2=H圓心。［力)到/的距離

為,_|"+8b+C|,則有d>廠o/與。相離:d=「=/與。相切:"<「=/與。相交

J4？+爐

(2)過圓外一點的切線：①k不存在，驗證是否成立②k存在，設點斜式方程，用圓心到

該直線距離=半徑,求解k,得到方程【一定兩解】

(3)過圓上一點的切線方程：圓行-幻>，4-〃二圓上一點為出，%),則過此點的切線

2

方程為(x0-a)(x-a)+(yo-b)(y-b)=r

4、圓與圓的位置關系：通過兩圓半徑的和(差)，與圓心距(d)之間的大小比較來確定。

22

設圓G：(x-a)+(丫-仇)=/，C2：(x—與丫+(y—/)=R2

兩圓的位置關系常通過兩圓半徑的和(差)，與圓心距(d)之間的大小比較來確定。

當d>R+r時兩圓外離，此時有公切線四條；

當"=/?+/時兩圓外切，連心線過切點，有外公切線兩條，內公切線一條；

當R-r<d<??+r時兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線；

^_d=\R-r\時，兩圓內切，連心線經過切點，只有一條公切線；

當4<|R-廠|時，兩圓內含；當d=0時，為同心圓。

注意：已知圓上兩點，圓心必在中垂線上；已知兩圓相切，兩圓心與切點共線

圓的輔助線一般為連圓心與切線或者連圓心與弦中點

必修3

第一章：算法初步

1：算法的概念

(1)算法概念：在數學上，現代意義上的“算法”通常是指可以用計算機來解決的某一類

問題是程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內完成.

(2)算法的特點：

①有限性：一個算法的步驟序列是有限的，必須在有限操作之后停止，不能是無限的.

②確定性：算法中的每一步應該是確定的并且能有效地執行且得到確定的結果，而不應當

是模棱兩可.

③順序性與正確性：算法從初始步驟開始，分為若干明確的步驟，每一個步驟只能有一個

確定的后繼步驟，前一步是后一步的前提，只有執行完前一步才能進行下一步，并且每一步都

準確無誤，才能完成問題.

④不唯一性：求解某一個問題的解法不一定是唯一的，對于一個問題可以有不同的算法.

⑤普遍性：很多具體的問題，都可以設計合理的算法去解決，如心算、計算器計算都要經

過有限、事先設計好的步驟加以解決.

2:程序框圖

(1)程序框圖基本概念：

①程序構圖的概念：程序框圖又稱流程圖，是一種用規定的圖形、指向線及文字說明來準

確、直觀地表示算法的圖形。

一個程序框圖包括以下幾部分：表示相應操作的程序框；帶箭頭的流程線；程序框外必要

文字說明。

②構成程序框的圖形符號及其作用

程序框名稱功能

■、表示一個算法的起始和結束，是任何流程圖

起止框

不可少的。

表示一個算法輸入和輸出的信息，可用在算

二輸入、輸出框法中任何需要輸入、輸出的位置。

賦值、計算，算法中處理數據需要的算式、

—處理框公式等分別寫在不同的用以處理數據的處理框

內。

判斷某一條件是否成立，成立時在出口處標

判斷框

O明“是”或“Y”;不成立時標明“否”或“N”.

學習這部分知識的時候，要掌握各個圖形的形狀、作用及使用規則，畫程序框圖的規則如

下：

1、使用標準的圖形符號。2、框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫.3、除判斷框外,

大多數流程圖符號只有一個進入點和一個退出點。判斷框具有超過一個退出點的唯一符號04、

判斷框分兩大類，一類判斷框“是”與“否”兩分支的判斷，而且有且僅有兩個結果；另一類

是多分支判斷，有幾種不同的結果。5、在圖形符號內描述的語言要非常簡練清楚.

3:算法的三種基本邏輯結構：順序結構、條件結構、循環結構。

(1)順序結構：順序結構是最簡單的算法結構，語句與語句之間，框與框之間是按從上到

下的順序進行的，它是由若干個依次執行的處理步驟組成的，它是任何一個算法都離不開的一A

種基本算法結構。

順序結構在程序框圖中的體現就是用流程線將程序框自上而下地連接起來，按順序執行算

法步驟。如在示意圖中，A框和B框是依次執行的，只有在執行完A框指定的操作后，才能接

著執行B框所

指定的操作。

(2)條件結構：條件結構是指在算法中通過對條件的判斷根據條件是否成立而選擇不同流

向的

算法結構。

條件P是否成立而選擇執行A框或B框。無論P條件是否成立，只能執行A框或B框之一,

不可能同時執行

A框和B框，也不可能A框、B框都不執行。一個判斷結構可以有多個判斷框。

(3)循環結構：在一些算法中，經常會出現從某處開始，按照一定條件，反復執行某一處

理步驟的情況，這就是循環結構，反復執行的處理步驟為循環體，顯然，循環結構中一定包含

條件結構。循環結構又稱重復結構，循環結構可細分為兩類：

①一類是當型循環結構，如下左圖所示，它的功能是當給定的條件P成立時，執行A框，A

框執行完畢后，再判斷條件P是否成立，如果仍然成立，再執行A框，如此反復執行A框，直

到某一次條件P不成立為止，此時不再執行A框，離開循環結構。

②另一類是直到型循環結構，如下右圖所示，它的功能是先執行，然后判斷給定的條件P

是否成立，如果P仍然不成立，則繼續執行A框，直到某一次給定的條件P成立為止，此時不

再執行A框，離開循環結構。

A

——t當型循環結崩］「直到黑點環結構

成千注意：1循環結構要在某個條件下.I終止蕭記這就需要條件結

構來仗判立斷。因11暨海環結構中一定包含條件結構，但不允許“死循環”。2在循環結構

中都有一I個計數變量和累加變量。計數變量用于記錄循環次數，累加變量用于輸出結