1、22.2.4 一元二次方程根與系數的關系1.一元二次方程的解法2.求根公式 復習提問復習提問數學活動一一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 的求根公式： x=aacbb242(b2-4ac 0)1.1. 填表，觀察、猜想填表，觀察、猜想 數學活動二 方程 x1, x2 x1,+ x2 x1. x2 x2-2x+1=0 1,121x2+3x-10=02,-5-3-10 x2+5x +4=0-1,-4-54問題：你發現什么規律？用語言敘述你發現的規律； x2+px+q=0的兩根x1, x2用式子表示你發現的規律。 根與系數關系根與系數關系 20px qx 如果關于如果關于x的方程的方程的兩根

2、是的兩根是 , ,則則:x1x2pxx 21qxx 21如果方程二次項系數不為如果方程二次項系數不為1 1呢呢? ?數學活動三 方 程x1, x2 x1,+ x2 x1. x2 2x2-3x-2=0 3x2-4x+1=0 問題：上面發現的結論在這里成立嗎？請完善規律；用語言敘述發現的規律； ax2+bx+c=0的兩根x1, x2用式子表示你發現的規律：一元二次方程的根與系數的關系：如果方程ax2+bx+c=0(a0)的兩個根是x1 , x2 ,那么x1+x2= , x1x2= ab-ac（韋達定理）注：能用根與系數的關系的前提條件為b2-4ac0韋達（韋達（15401603） 韋達是法國十六世

3、紀最有影響的數學家之一。第一個引進系統的代數符號，并對方程論做了改進。 他生于法國的普瓦圖。年青時學習法律當過律師，后從事政治活動，當過議會的議員，在對西班牙的戰爭中曾為政府破譯敵軍的密碼。韋達還致力于數學研究，第一個有意識地和系統地使用字母來表示已知數、未知數及其乘冪，帶來了代數學理論研究的重大進步。韋達討論了方程根的各種有理變換，發現了方程根與系數之間的關系（所以人們把敘述一元二次方程根與系數關系的結論稱為“韋達定理”）。 韋達在歐洲被尊稱為“代數學之父”。 一元二次方程根與系數關系的證明：aacbbx2421aacbbx2422x1+x2=aacbb242aacbb242+=ab22=a

4、b-x1x2=aacbb242aacbb242=242)42(2)(aacbb=244aac=ac1、 x2 - 2x - 1=02、 2x2 - 3x + =03、 2x2 - 6x =04、 3x2 = 421x1+x2=2x1x2=-1x1+x2=x1+x2=3x1+x2=0 x1x2=x1x2=0 x1x2= -234134例1、已知3x2+2x-9=0的兩根是x1 , x2 。 求：(1) (2) x12+x222111xx解：由題意可知x1+x2= - , x1 x2=-332(1)2111xx= 2121xxxx =332=92(2) (x1x2)2 x12+x22 2x1x2x

5、12+x22 (x1x2)2 -2x1x2(- )232 -2(-3)694變式 練習：設x1，x2是方程2x2+4x- 3=0的兩個根，利用根與系數的關系，求下列各式的值。)1)(1(21xx2112xxxx（2） （1）（）（x1- x2）2例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個根是2 , 求它的另一個根及k的值。解：設方程的另一個根為x1.把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0解這方程，得 k= - 2由根與系數關系，得x123k 即 2 x1 6 x1 3答：方程的另一個根是3 , k的值是2。例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個根是2 , 求它的另一個

6、根及k的值。解二： 設方程的另一個根為x1.由根與系數的關系，得x1 2= k+1x1 2= 3k解這方程組，得x1 =3 k =2答：方程的另一個根是3 , k的值是2。1、已知方程3x219x+m=0的一個根是1，求它的另一個根及m的值。2、設x1,x2是方程2x24x3=0的兩個根，求(x1+1)(x2+1)的值。解：設方程的另一個根為x1,319則x1+1= , x1= ,316又x11= ,3m m= 3x1 = 16 解： 由根與系數的關系，得x1+x2= - 2 , x1 x2=23 (x1+1)(x2+1) = x1 x2 + (x1+x2)+1 =-2+( )+1=23251

7、、當k為何值時，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的兩根差為1。解：設方程兩根分別為x1,x2(x1x2)，則x1-x2=1 (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2由根與系數的關系得x1+x2= , x1x2=21k23k12342)21(kk解得k1=9,k2= -3當k=9或-3時，由于0，k的值為9或-3。2、設x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的兩個實數根，且x12+x22=4，求k的值。解：由方程有兩個實數根，得0242) 1(4kk即-8k+4021 k由根與系數的關系得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2 x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4由x12+x22 =4，得2k2-8k+44解得k1=0 , k2=4經檢驗， k2=4不合題意，舍去。 k=0歸納小結：歸納小結： 通過本節課的學習你學到了那些知識？通過本節課的學習你學到了那些知識？一元二次方程根與系數的關系（一元二次方程根與系數的關系（韋達定