1、利用基本不等式求最值的類型及方法一、幾個重要的基本不等式：當且僅當a = b時，“=”號成立；當且僅當a = b時，“=”號成立；當且僅當a = b = c時,“=”號成立； ,當且僅當a = b = c時,“=”號成立.注： 注意運用均值不等式求最值時的條件：一“正”、二“定”、三“等”； 熟悉一個重要的不等式鏈：。二、函數圖象及性質(1)函數圖象如圖：(2)函數性質：值域：；單調遞增區間：，；單調遞減區間：，.三、用均值不等式求最值的常見類型類型：求幾個正數和的最小值。例1、求函數的最小值。解析：，當且僅當即時，“=”號成立，故此函數最小值是。評析：利用均值不等式求幾個正數和的最小值時，關

2、鍵在于構造條件，使其積為常數。通常要通過添加常數、拆項（常常是拆底次的式子）等方式進行構造。類型：求幾個正數積的最大值。例2、求下列函數的最大值： 解析：，當且僅當即時，“=”號成立，故此函數最大值是1。，則，欲求y的最大值，可先求的最大值。,當且僅當，即時 “=”號成立，故此函數最大值是。評析：利用均值不等式求幾個正數積的最大值，關鍵在于構造條件，使其和為常數。通常要通過乘以或除以常數、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式進行構造。類型：用均值不等式求最值等號不成立。例3、若x、y，求的最小值。解法一：（單調性法）由函數圖象及性質知，當時，函數是減函數。證明：任取且，則，則，即在上是減函

3、數。故當時，在上有最小值5。解法二：（配方法）因，則有，易知當時，且單調遞減，則在上也是減函數，即在上是減函數，當時，在上有最小值5。解法三：（拆分法），當且僅當時“=”號成立，故此函數最小值是5。評析：求解此類問題，要注意靈活選取方法，特別是單調性法具有一般性，配方法及拆分法也是較為簡潔實用得方法。類型：條件最值問題。例4、已知正數x、y滿足，求的最小值。解法一：（利用均值不等式）,當且僅當即時“=”號成立，故此函數最小值是18。解法二：（消元法）由得，由，則。當且僅當即時“=”號成立，故此函數最小值是18。解法三：（三角換元法）令則有則：，易求得時“=”號成立，故最小值是18。評析：此類問

4、題是學生求解易錯得一類題目，解法一學生普遍有這樣一種錯誤的求解方法： 。原因就是等號成立的條件不一致。類型：利用均值不等式化歸為其它不等式求解的問題。例5、已知正數滿足，試求、的范圍。解法一：由，則，即解得，當且僅當即時取“=”號，故的取值范圍是。又，當且僅當即時取“=”號，故的取值范圍是。解法二：由，知，則：，由，則：，當且僅當，并求得時取“=”號，故的取值范圍是。，當且僅當，并求得時取“=”號，故的取值范圍是。評析：解法一具有普遍性，而且簡潔實用，易于掌握，解法二要求掌握構造的技巧。四、均值不等式易錯例析：例1. 求函數的最值。錯解：當且僅當即時取等號。所以當時，y的最小值為25，此函數沒

5、有最大值。分析：上述解題過程中應用了均值不等式，卻忽略了應用均值不等式求最值時的條件導致錯誤。因為函數的定義域為，所以須對的正負加以分類討論。正解：1）當時，當且僅當即時取等號。所以當時， 2）當時， 當且僅當，即時取等號，所以當時，.例2. 當時，求的最小值。錯解：因為所以當且僅當即時，。分析：用均值不等式求“和”或“積”的最值時，必須分別滿足“積為定值”或“和為定值”，而上述解法中與的積不是定值，導致錯誤。正解：因為當且僅當，即時等號成立，所以當時，。例3. 求的最小值。錯解：因為，所以分析：忽視了取最小值時須成立的條件，而此式化解得，無解，所以原函數取不到最小值。正解：令，則又因為時，是

6、遞增的。所以當，即時，。例4.已知且，求的最小值.錯解： ,的最小值為.分析：解題時兩次運用均值不等式，但取等號條件分別為和，而這兩個式子不能同時成立，故取不到最小值.正解：當且僅當即時等號成立. 的最小值為.綜上所述，應用均值不等式求最值要注意： 一要正：各項或各因式必須為正數；二可定：必須滿足“和為定值”或“積為定值”，要湊出“和為定值”或“積為定值”的式子結構，如果找不出“定值”的條件用這個定理，求最值就會出錯；三能等：要保證等號確能成立，如果等號不能成立，那么求出的仍不是最值。技巧一：湊項例1：已知，求函數的最大值。解：因，所以首先要“調整”符號，又不是常數，所以對要進行拆、湊項，當且

7、僅當，即時，上式等號成立，故當時，。技巧二：湊系數例2. 當時，求的最大值。解析：由知，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，注意到為定值，故只需將湊上一個系數即可。當，即x2時取等號 當x2時，的最大值為8。技巧三： 分離例3. 求的值域。解：本題看似無法運用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有（x1）的項，再將其分離。當,即時,（當且僅當x1時取“”號）。技巧四：換元解析二：本題看似無法運用基本不等式，可先換元，令t=x1，化簡原式在分離求最值。當,即t=時,（當t=2即x1時取“”號）。技巧五：在應用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，應結合函數的單調性。例：求函數的值域。解：令，則因，但解得不在區間，故等號不成立，考慮單調性。因為在區間單調遞增，所以在其子區間為單調遞增函數，故。所以，所求函數的值域為。技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。2：已知，且，求的最小值。解：，當且僅當時，上式等號成立，又，可得時， 。鞏固練習：1、已知：且，則的最大值為( )(a) (b) (c) (d)2、若，且恒成立，則a的最小值是( )(a) (b) (c)2 (d)13、已知下列不等式：；.其中正確的個數是( )(a)0個 (b)1個 (c)2個 (d)3個4、設