1、1 1 1第三講第三講 矩陣對角化的步驟矩陣對角化的步驟第五章第五章 相似矩陣與二次型相似矩陣與二次型 2 2 2定理定理 n 階矩陣階矩陣 a 相似于對角矩陣相似于對角矩陣 的充的充要條件是要條件是 a 有有 n 個線性無關(guān)的特征向量個線性無關(guān)的特征向量.推論推論 若若 n 階矩陣階矩陣 a 有有 n 個不同的特征值個不同的特征值則則a 必能相似于對角矩陣必能相似于對角矩陣.矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件3 3 3 n,diag 1 app1我們先假設(shè)存在可逆矩陣 ，使p將將 用其列向量表示為用其列向量表示為p np,p,pp21 由由 得得 ，即，即 app1 pap 1212121

2、21122,nnnnnna ppppppap apapppp 4 4 4i n,i ,papiii21 i aipa于是是 ，這說明是是 的特征值， 是 的對應(yīng)于特征值的特征向量。這就是 的具體構(gòu)造方法.p12,npp pp因為 可逆，所以12,nppp線性無關(guān).5 5 5n1 + n2 + + ns = n. 矩陣對角化的步驟矩陣對角化的步驟設(shè) n 階方陣 a 可對角化，則把 a對角化的步驟如下： ：求出矩陣 a 的所有特征值，設(shè) a有 s 個不同的特征值 1 , 2 , , s ，它們的重數(shù)分別為 n1, n2 , , ns , 有6 6 6 對 a 的每個特征值 i ,求(a - - i

3、e)x = 0的基礎(chǔ)解系, 設(shè)為iiniip,p,p21( i = 1, 2, , s ) . 以這些向量為列構(gòu)造矩陣),(21222211121121ssnssnn,p,pp,p,p,pp,ppp),diag(212211 snssnn7 7 7上的元素( a 的特征值 ) 之間的對應(yīng)關(guān)系.則 p- -1ap = .要注意矩陣 p 的列與對角矩陣 主對角線8 8 8例例2 2 判斷下列實矩陣能否化為對角陣？判斷下列實矩陣能否化為對角陣？若可，若可，則將其對角化，并寫出相似變換矩陣則將其對角化，并寫出相似變換矩陣p及及對角對角矩陣矩陣 。 122(1) 224242a 212(2) 53310

4、2a 122(1)224242ae 解：解：9 9 9得得1232,7 722 0 當(dāng)當(dāng) 時，齊次線性方程組為時，齊次線性方程組為122 20ae x得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系12221,0 .01pp 當(dāng)當(dāng) 時，齊次線性方程組為時，齊次線性方程組為 70ae x37 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系3122p 1010102211020012 123,ppp線性無關(guān)線性無關(guān)即即a有有3個線性無關(guān)的特征向量，所以個線性無關(guān)的特征向量，所以a可以對角化。可以對角化。221102012p -1 p ap 使使得得相似變換矩陣相似變換矩陣200020007 相似對角陣相似對角陣111111212(2)533102ae

5、 310 1231. 0ae x當(dāng)當(dāng) 時，解時，解1231 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系11 ,1 所以所以 不能化為對角矩陣不能化為對角矩陣.a121212實對稱矩陣的相似對角化實對稱矩陣的相似對角化定理定理1 1實對稱矩陣的特征值為實數(shù)實對稱矩陣的特征值為實數(shù). .定理定理2 2設(shè)設(shè)a為為 n 階實對稱矩陣，階實對稱矩陣，是是a的特征方的特征方程的程的r r 重根重根, ,則矩陣則矩陣a- e的秩的秩r(a-e)=n-r，從從而對應(yīng)而對應(yīng)于特征值于特征值恰有恰有 r 個線性無關(guān)的特征向量個線性無關(guān)的特征向量. .定理定理3 3設(shè)設(shè)a為為 n 階實對稱矩陣，則必有可逆陣階實對稱矩陣，則必有可逆陣p，

6、使得使得 p-1ap = ，其中其中 是以是以a的的n 個特征值為對個特征值為對角元素的對角陣角元素的對角陣. .131313400031013a 例例3 3 將下面實對稱矩陣將下面實對稱矩陣a相似對角化相似對角化 310130004ea ,422 . 4, 2321 得特征值得特征值解：特征多項式解：特征多項式141414 得得基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系由由對對, 04, 432 xea 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系由由對對, 02, 21 xea 1011p 23100 ,1 .01pp 123010,10 11 0 1pp p p 記記1200 040 .004pap 則則151515小結(jié)：小結(jié)：3. 若若a有有n個線性無關(guān)的特征向量個線性無關(guān)的特征向量 2. 0;iae xa 求求的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系得得 的的特特征征向向量量1. ;ia 求求的的特特征征值值一、矩陣對角化的步驟一、矩陣對角化的步驟12,nppp1124