1、定積分的概念定積分的概念萊布尼茨萊布尼茨分割分割-以直代曲以直代曲-求和求和-取極限取極限問題一：問題一： 什么叫曲邊梯形？什么叫曲邊梯形？問題二：問題二： 如何求曲邊梯形的面積？如何求曲邊梯形的面積？觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系觀

2、察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩

3、形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系觀察下列演示過

4、程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系觀察下列演示過程，注意當分割加細時，觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系求由連續曲線求由連續曲線y= =f(x)對應的對應的曲邊梯形曲邊梯形面積的方法面積的方法 (4)取極限取極限:，所求曲邊所求曲邊梯形的梯形的面積面積s為為 xiy=f(x)x yobaxi+1xiix (1)分割分割:將區間將區間a,b 分成分成n個小區間個小區間: 11211,iina xx xxxxbix每個小區間寬度每個小區間寬度(3)求和：

5、求和：1lim( )niinisfxx=1( )niiisfxx= (2)以直代曲：以直代曲：任取任取x xi xi 1, xi，第，第i個小曲邊梯形的面積個小曲邊梯形的面積用高為用高為f(x xi)而寬為而寬為 的小矩形面積的小矩形面積f(x xi) 近似之。近似之。ixix一、定積分的定義一、定積分的定義 如果當如果當n時，時，s 的無限接近某個常數，的無限接近某個常數，這個這個常數稱為函數常數稱為函數f(x)在區間在區間a, b上的定積分，記作上的定積分，記作 ba1lim( )niinisfxx=1( )lim( )nbaiinif x dxsfxx=a,b稱為積分區間稱為積分區間 說

6、明：說明： (1) 定積分是一個數值定積分是一個數值, badxxf)( = =badttf)( = =baduuf)(舉舉 例：例：（2）積分值僅與被積函數及積分區間）積分值僅與被積函數及積分區間有關有關,二、定積分的幾何意義：二、定積分的幾何意義：ox yab y=f (x)baf (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 x=a、x=b與 x軸所圍成的曲邊梯形的面積。 當 f(x)0 時，積分dxxfba)(在幾何上表示由 y=f (x)、 特別地，當 a=b 時，有baf (x)dx=0。 當當f(x) 0時，由時，由y= =f (x)、x= =a、x= =b 與與 x 軸所圍成的

7、軸所圍成的曲邊梯形位于曲邊梯形位于 x 軸的下方，軸的下方，x yodxxfsba)(=，dxxfba)(ab y=f (x) y=f (x)dxxfsba)(=baf (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 =s上述曲邊梯形面積的負值。上述曲邊梯形面積的負值。 積分baf (x)dx 在幾何上表示 baf (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 =s 設物體運動的速度v=v(t)，則此物體在時間區間a, b內運動的距離s為 s=bav(t)dt。 oab( )vv t=tv三、定積分的物理意義：三、定積分的物理意義：例題講解：例題講解：例例1：求出下列定積分的值：求出下列定積分的

8、值：10(1)2dx21(2)xdx121(3)1x dx用定積分表示圖中四個陰影部分面積20aax dx=yyy練習：練習：000axxxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1abbaadx=221ax dx=三三: : 定積分的基本性質定積分的基本性質 性質性質2 2dx)x(g)x(fba = =babadx)x(gdx)x(f性質性質3 3 badx)x(kf = =badx)x(fk1bbaadxdxba=性質性質1 1 = =bccabadx)x(fdx)x(fdx)x(f 定積分關于積分區間具有定積分關于積分區間具有可加性可加性性質性質4 4ab y=f (x)ox y(

9、 )yg x=探究一探究一: : 根據定積分的幾何意義根據定積分的幾何意義,如何用定積分表如何用定積分表示圖中陰影部分的面積示圖中陰影部分的面積?ab y=f (x)ox y1()basfx dx=( )yg x=12( )( )bbaas s sf xdxg xdx= =2( )basg x dx=ab y=f(x)baf (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 f (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 f (x)dx =f (x)dxbcf (x)dx。 cox y探究二探究二: : 根據定積分的幾何意義根據定積分的幾何意義,如何用定積分如何用定積分表示圖中陰影部分的面積表示圖中陰影部分的面積?三三: : 定積分的基本性質定積分的基本性質 推廣：推廣： =2121)()()()( ccbccabadxxfdxxfdxxfdxxfox yab y=f (x)1c2c=422212213103,356,37,415,41dxxdxxdxxdxx已知_;)23()3(_;6)2(_;3)1(2