1、上海大學機電工程與自動化學院工工 程程 控控 制制 原原 理理2. 數學模型與傳遞函數2.2 拉普拉斯變換拉普拉斯變換主講：周曉君主講：周曉君 辦辦 公公 室：室：機械副樓機械副樓209-2室室 電子郵件電子郵件： 辦公電話：辦公電話：56331523上海大學機電工程與自動化學院2.2 拉普拉斯變換拉普拉斯變換 系統的數學模型以微分方程的形式表達輸出與輸入的關系統的數學模型以微分方程的形式表達輸出與輸入的關系。經典控制理論的系。經典控制理論的：時域法、頻域法。：時域法、頻域法。2. 數學模型與傳遞函數 頻域分析法是經典控制理論的核心，被廣泛采用，該方法頻域分析法是經典控制理論的核心，被廣泛采用

2、，該方法間接地運用系統的開環頻率特性分析閉環響應。間接地運用系統的開環頻率特性分析閉環響應。上海大學機電工程與自動化學院2.2.1 復數和復變函數復數和復變函數 復數復數 （有一個實部（有一個實部 和一個虛部和一個虛部 ， 和和 均為實數）均為實數） 兩個復數相等：當且僅當它們的實部和虛部分別相等。兩個復數相等：當且僅當它們的實部和虛部分別相等。 一個復數為零：當且僅當它的實部和虛部同時為零。一個復數為零：當且僅當它的實部和虛部同時為零。 2.2 拉普拉普拉斯變換拉斯變換1j稱為稱為上海大學機電工程與自動化學院 對于復數對于復數 ：以：以為橫坐標為橫坐標(實軸實軸)、 為縱坐標為縱坐標(虛軸虛

3、軸)所構成所構成的平面稱為復平面或的平面稱為復平面或 平面。復數平面。復數 可在復平面可在復平面 中用中用點點()表示：一個復數對應于復平面上的一個點。表示：一個復數對應于復平面上的一個點。 2.2.1 復數和復變函數復數和復變函數 o復平面復平面 1 2j 1 2s1= 1+j 1s2= 2+j 2上海大學機電工程與自動化學院 復數復數 可以用從原點指向點可以用從原點指向點()的向量表示。的向量表示。 向量的長度稱為復數的模：向量的長度稱為復數的模： 2.2.1 復數和復變函數復數和復變函數 o 1 2j s1s2r1=|s1|r2=|s2|22 rs 向量與向量與軸的夾角軸的夾角稱稱為復數

4、為復數 的復角：的復角：)/arctan(上海大學機電工程與自動化學院 根據復平面的圖示可得：根據復平面的圖示可得：，2.2.1 復數和復變函數復數和復變函數 o 1 2j s1s2r1=|s1|r2=|s2|歐拉公式：歐拉公式：sinjcosje：jres 上海大學機電工程與自動化學院 以復數以復數為自變量構成的函數為自變量構成的函數稱為復變函數：稱為復變函數： ：分別為復變函數的實部和虛部。分別為復變函數的實部和虛部。2.2.1 復數和復變函數復數和復變函數當當時，時，則，則稱為稱為的的 ； 通常，在線性控制系統中，復變函數通常，在線性控制系統中，復變函數是復數是復數 的單值的單值函數。即

5、：對應于函數。即：對應于 的一個給定值，的一個給定值，就有一個唯一確定的就有一個唯一確定的值與之相對應。值與之相對應。)()()(jipszsksG 當復變函數表示成當復變函數表示成(b) 當當時，時，則，則稱為稱為的的 。上海大學機電工程與自動化學院當當時，求復變函數時，求復變函數 的實部的實部 和虛部和虛部 。2.2.1 復數和復變函數復數和復變函數復變函數的實部復變函數的實部122u復變函數的虛部復變函數的虛部2v： 上海大學機電工程與自動化學院2.2.2 拉普拉斯變換的定義拉普拉斯變換的定義 拉氏變換是控制工程中的一個基本數學方法，其優點是能拉氏變換是控制工程中的一個基本數學方法，其優

6、點是能將時間函數的導數經拉氏變換后，變成復變量將時間函數的導數經拉氏變換后，變成復變量 的乘積，將時的乘積，將時間表示的微分方程，變成以間表示的微分方程，變成以 表示的代數方程。表示的代數方程。2.2 拉普拉普拉斯變換拉斯變換0d)()()(tetftfLsFst復變量復變量原函數原函數象函數象函數拉氏變換符號拉氏變換符號：在一定條件下，把實數域中的實變函數：在一定條件下，把實數域中的實變函數 f(t) 變變換到復數域內與之等價的復變函數換到復數域內與之等價的復變函數 F(s) 。 設有時間函數設有時間函數 f(t)，當，當 t a的所有復數的所有復數s (Res表示表示s的實部的實部)都都使

7、積分式絕對收斂，故使積分式絕對收斂，故Res a是拉普拉斯變換的定義域，是拉普拉斯變換的定義域， a稱稱為收斂坐標。為收斂坐標。：M、a為實常數。為實常數。上海大學機電工程與自動化學院2.2.3 典型時間函數的拉普拉斯變換典型時間函數的拉普拉斯變換 (1) 單位階躍函數定義：單位階躍函數定義：2.2 拉普拉普拉斯變換拉斯變換0, 10, 0)( 1ttt0001dd)( 1)( 1stststestetettL：sesesstt111lim0上海大學機電工程與自動化學院 單位脈沖函數定義：單位脈沖函數定義：2.2.3 典型時間函數的拉普拉斯變換典型時間函數的拉普拉斯變換1d)(tt且：且：0,

8、 00,)(ttt(0)d)()(fttft：1d)()(00tststetettL上海大學機電工程與自動化學院 單位速度函數定義：單位速度函數定義：2.2.3 典型時間函數的拉普拉斯變換典型時間函數的拉普拉斯變換0,00)(ttttf： 00d1dststetsttetL2020011d11sestese tsststst上海大學機電工程與自動化學院 指數函數表達式：指數函數表達式：2.2.3 典型時間函數的拉普拉斯變換典型時間函數的拉普拉斯變換atetf)(式中：式中：a是常數。是常數。：asteteeeLtasstatat1dd0)(0上海大學機電工程與自動化學院 正弦信號函數定義：正弦

9、信號函數定義：2.2.3 典型時間函數的拉普拉斯變換典型時間函數的拉普拉斯變換0,sin00)(ttttf由歐拉公式，正弦函數表達為：由歐拉公式，正弦函數表達為：tjtjj21sin-eetttesinjcostjtte-sinjcostj兩式相減兩式相減：0tjtj0dj21dsinsinteeetettLst-st220t )j(t )j(j1j1j21dj21sss-tees-s-上海大學機電工程與自動化學院 余弦信號函數定義：余弦信號函數定義：2.2.3 典型時間函數的拉普拉斯變換典型時間函數的拉普拉斯變換0,cos00)(ttttf由歐拉公式，余弦函數表達為：由歐拉公式，余弦函數表達

10、為：tjtj21cos-eetttesinjcostjtte-sinjcostj兩式相加兩式相加：0tjtj0d21dcoscosteeetettLst-st220t )j(t )j(j1j121d21ssss-tees-s-上海大學機電工程與自動化學院2.2.3 典型時間函數的拉普拉斯變換典型時間函數的拉普拉斯變換序號序號原函數原函數 f(t) (t 0)象函數象函數 F(s)=Lf(t)11 (單位階躍函數單位階躍函數)1s2 (t) (單位脈沖函數單位脈沖函數)13K (常數常數)Ks4t (單位斜坡函數單位斜坡函數)1s2上海大學機電工程與自動化學院2.2.3 典型時間函數的拉普拉斯變

11、換典型時間函數的拉普拉斯變換序號序號原函數原函數 f(t) (t 0)象函數象函數 F(s) = Lf(t)5t n (n=1, 2, )n!s n+16e -at1s + a7tn e -at (n=1, 2, )n!(s+a) n+18 1 T1Ts + 1tTe上海大學機電工程與自動化學院2.2.3 典型時間函數的拉普拉斯變換典型時間函數的拉普拉斯變換序號序號原函數原函數 f(t) (t 0)象函數象函數 F(s) = Lf(t)9sin t s2+ 210cos tss2+ 211e -at sin t (s+a)2+ 212e -at cos ts+a(s+a)2+ 2上海大學機電工

12、程與自動化學院2.2.3 典型時間函數的拉普拉斯變換典型時間函數的拉普拉斯變換序號序號原函數原函數 f(t) (t 0)象函數象函數 F(s) = Lf(t)13 (1- -e -at )1s(s+a)14 (e -at - -e -bt )1(s+a) (s+b)15 (b be -bt - -ae at )s(s+a) (s+b)16sin( t + ) cos + s sin s2+ 21a1b- -a1b- -a上海大學機電工程與自動化學院2.2.3 典型時間函數的拉普拉斯變換典型時間函數的拉普拉斯變換序號序號原函數原函數 f(t) (t 0)象函數象函數 F(s) = Lf(t)17

13、 e -nt sin n 1- - 2 t n2s2+2ns+ n218 e -nt sin n 1- - 2 t1s2+2ns+ n219 e -nt sin( n 1- - 2 t - - )ss2+2ns+ n2 = arctan n1- - 21 n 1- - 211- - 21- - 2 上海大學機電工程與自動化學院2.2.3 典型時間函數的拉普拉斯變換典型時間函數的拉普拉斯變換序號序號原函數原函數 f(t) (t 0)象函數象函數 F(s) = Lf(t)20 1- - e -nt sin( n 1- - 2 t + + ) n2s(s2+2ns+ n2) = arctan211-

14、 -cos t 2s(s2+ 2)22 t - - sin t 2s(s2+ 2)23 t sin t2 s(s2+ 2)211- - 21- - 2 上海大學機電工程與自動化學院2.2.4 拉普拉斯變換的基本性質拉普拉斯變換的基本性質 (1) 若若 、 是任意兩個是任意兩個，且：，且：2.2 拉普拉普拉斯變換拉斯變換,)()(11sFtfL)()(22sFtfL：02121d)()()()(tetftftftfLst0201d)(d)(tetftetfstst)()(21sFsF則：則：)()()()(2121sFsFtftfL上海大學機電工程與自動化學院 若：若：2.2.4 拉普拉斯變換的

15、基本性質拉普拉斯變換的基本性質)()(asFtfeLat：則：則：)()(sFtfL0d)()(teetftfeLstatat0)(d)(tetftas)(asF上海大學機電工程與自動化學院 若：若：2.2.4 拉普拉斯變換的基本性質拉普拉斯變換的基本性質)0()(d)(dfssFttfL：則：則：)()(sFtfLf(0)是是 t =0 時的時的 f(t) 值值00)(ddd)(dd)(dtfetettfttfLstst)0()(d)()(00fssFtetfstfestst同理，對于二階導數的拉普拉斯變換：同理，對于二階導數的拉普拉斯變換：tfsfsFsttfLd)0(d)0()(d)(d

16、222上海大學機電工程與自動化學院 推廣到推廣到n階導數的拉普拉斯變換：階導數的拉普拉斯變換：2.2.4 拉普拉斯變換的基本性質拉普拉斯變換的基本性質如果：函數如果：函數 f(t) 及其各階導數的初始值均為零，即及其各階導數的初始值均為零，即)0()0()(d)(d21fsfssFsttfLnnnnn)0()0(1)(2)(n-n-fsf0)0()0()0()0()0()1()2( nnfffff則：則：)(d)(dsFsttfLnnn上海大學機電工程與自動化學院 若：若：2.2.4 拉普拉斯變換的基本性質拉普拉斯變換的基本性質則：則：tfssFsttfLd)0(1)(1d)()()(sFtf

17、L函數函數 f(t) 積分的初始值積分的初始值 00d1d)(dd)(d)(ststesttftettfttfL00d)(d)(ttfsesettfstst)(1d)0(1sFstfs上海大學機電工程與自動化學院 同理，對于同理，對于n重積分的拉普拉斯變換：重積分的拉普拉斯變換：2.2.4 拉普拉斯變換的基本性質拉普拉斯變換的基本性質tfssFsttfLnnnd)0(1)(1d)()(tfstfsnnd)0(1d)0(1)()2(1：函數：函數 f(t) 各重積分的初始值均為零，則有各重積分的初始值均為零，則有)(1d)()(sFsttfLnn：利用積分定理，可以求時間函數的拉普拉斯變換；利：

18、利用積分定理，可以求時間函數的拉普拉斯變換；利用微分定理和積分定理，可將微分用微分定理和積分定理，可將微分-積分方程變為代數方程。積分方程變為代數方程。上海大學機電工程與自動化學院 若：若：2.2.4 拉普拉斯變換的基本性質拉普拉斯變換的基本性質則：則：)(lim)(lim0ssFtfst)()(sFtfL：根據拉普拉斯變換的微分定理，有：根據拉普拉斯變換的微分定理，有)0()(limdd)(dlim000fssFtettfssts由于由于，上式可寫成，上式可寫成1lim0stse)0()(limdd)(d00fssFtttfs)0()(lim)0()(lim0fssFftfst上海大學機電工

19、程與自動化學院 若：若：2.2.4 拉普拉斯變換的基本性質拉普拉斯變換的基本性質則：則：)(lim)(lim0ssFtfst)()(sFtfL：根據拉普拉斯變換的微分定理，有：根據拉普拉斯變換的微分定理，有)0()(limdd)(dlim0fssFtettfssts由于由于，上式可寫成，上式可寫成0limstse)0()(lim0fssFs)(lim)0(ssFfs上海大學機電工程與自動化學院 兩個時間函數兩個時間函數 f1(t)、f2(t) 卷積的拉普拉斯變換等于這兩個卷積的拉普拉斯變換等于這兩個時間函數的拉普拉斯變換。時間函數的拉普拉斯變換。2.2.4 拉普拉斯變換的基本性質拉普拉斯變換的

20、基本性質)()(11sFtfL)()(d )()(21021sFsFftfL式中：式中：)()(22sFtfL)()(d )()(21021tftfftf稱為函數稱為函數 f1(t)與與f2(t) 的的而而上海大學機電工程與自動化學院2.2.5 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換 將象函數將象函數F(s)變換成與之相對應的原函數變換成與之相對應的原函數f(t)的過程，稱之的過程，稱之為拉普拉斯反變換。其公式：為拉普拉斯反變換。其公式：2.2 拉普拉普拉斯變換拉斯變換 拉氏反變換的求算有多種方法，如果是簡單的象函數，可拉氏反變換的求算有多種方法，如果是簡單的象函數，可直接查拉氏變換表；對于復雜的，可利

21、用直接查拉氏變換表；對于復雜的，可利用。jjd)(j21)(aaatsesFtf簡寫為：簡寫為：)()(1sFLtf上海大學機電工程與自動化學院 如果把如果把 f(t) 的拉氏變換的拉氏變換 F(s) 分成各個部分之和，即分成各個部分之和，即2.2.5 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換)()()()(21sFsFsFsFn 假若假若F1(s)、F2(s)，Fn(s)的拉氏反變換很容易由拉氏變的拉氏反變換很容易由拉氏變換表查得，那么換表查得，那么)()()()()(121111sFLsFLsFLsFLtfn )()()(21tftftfn 當當 F(s) 不能很簡單地分解成各個部分之和時，可采用部分

22、不能很簡單地分解成各個部分之和時，可采用部分分式展開將分式展開將 F(s) 分解成各個部分之和，然后對每一部分查拉氏分解成各個部分之和，然后對每一部分查拉氏變換表，得到其對應的拉氏反變換函數，其和就是要得的變換表，得到其對應的拉氏反變換函數，其和就是要得的 F(s) 的拉氏反變換的拉氏反變換 f(t) 函數。函數。上海大學機電工程與自動化學院 在系統分析問題中，在系統分析問題中，F(s)常具有如下形式：常具有如下形式：2.2.5 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換式中式中A(s)和和B(s)是是s的多項式，的多項式， B(s)的階次較的階次較A(s)階次要高。階次要高。 對于這種稱為有理真分式的象函

23、數對于這種稱為有理真分式的象函數 F(s)，分母，分母 B(s) 應首先應首先進行因子分解，才能用部分分式展開法，得到進行因子分解，才能用部分分式展開法，得到 F(s) 的拉氏反變的拉氏反變換函數。換函數。 )()(sBsAsF上海大學機電工程與自動化學院 將分母將分母 B(s) 進行因子分解，寫成：進行因子分解，寫成：2.2.5 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換式中，式中，p1，p2，pn稱為稱為B(s)的根，或的根，或F(s)的極點，它們可以的極點，它們可以是實數，也可能為復數。如果是復數，則一定成對共軛的。是實數，也可能為復數。如果是復數，則一定成對共軛的。 當當 A(s) 的階次高于的階次

24、高于 B(s) 時，則應首先用分母時，則應首先用分母B(s)去除分子去除分子A(s)，由此得到一個，由此得到一個s的多項式，再加上一項具有分式形式的余的多項式，再加上一項具有分式形式的余項，其分子項，其分子s多項式的階次就化為低于分母多項式的階次就化為低于分母s多項式階次了。多項式階次了。 )()()()()()(21npspspssAsBsAsF上海大學機電工程與自動化學院 此時，此時，F(s)總可以展成簡單的部分分式之和。即總可以展成簡單的部分分式之和。即 )()()()()()(21npspspssAsBsAsFnnpsapsapsa 2211式中，式中，ak(k=1,2,n)是常數，系

25、數是常數，系數 ak 稱為極點稱為極點 s= - -pk 處的留數。處的留數。2.2.5 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換上海大學機電工程與自動化學院k)()()(kpssBsAps ak 的值可以用的值可以用求出。即求出。即 )()(k22k11pspsapspsa2.2.5 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換kknnkkkk)()(apspsapspsaps 上海大學機電工程與自動化學院 在所有展開項中，除去含有在所有展開項中，除去含有 ak 的項外，其余項都消失了，的項外，其余項都消失了，因此留數因此留數 ak 可由下式得到可由下式得到kpsk)()()(asBsApsk 因為因為 f(t) 時間

26、的實函數，如時間的實函數，如 p1 和和 p2 是共軛復數時，則留是共軛復數時，則留數數 1 和和 2 也必然是共軛復數。這種情況下，上式照樣可以應也必然是共軛復數。這種情況下，上式照樣可以應用。共軛復留數中，只需計算一個復留數用。共軛復留數中，只需計算一個復留數 1(或或 2)，而另一個，而另一個復留數復留數 2(或或 1)，自然也知道了。，自然也知道了。2.2.5 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換上海大學機電工程與自動化學院例題例題1 求求F(s)的拉氏反變換，已知的拉氏反變換，已知 2332ssssF 21)2)(1(3233212sssssssssF由留數的計算公式，得由留數的計算公式，得

27、2)2)(1(3) 1(11sssss2)2)(1(3)2(22sssss2.2.5 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換上海大學機電工程與自動化學院因此因此 2112)(111sLsLsFLtf查拉氏變換表，得查拉氏變換表，得tteetf22)(2.2.5 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換上海大學機電工程與自動化學院解：解： 分母多項式可以因子分解為分母多項式可以因子分解為)j21(j21522ssss）（進行因子分解后，可對進行因子分解后，可對F(s)展開成部分分式展開成部分分式 2 j12 j152122212ssssssF2.2.5 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換例題例題2 求求L- -1F(s)，

28、已知，已知 521222ssssF上海大學機電工程與自動化學院4 j4 j102 j12 j1124 j22.2.5 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換2j11)2 j1)(2 j1(122)2 j1(sssss2 j1)2 j1(12)2 j1(22j1)2 j1(122sss由留數的計算公式，得由留數的計算公式，得由于由于 2與與 1共軛，故共軛，故25j1225j144j10 上海大學機電工程與自動化學院所以所以 2 j125j12 j125j1)(11ssLsFLtf2 j125j12 j125j111sLsL2.2.5 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換上海大學機電工程與自動化學院tteetf)

29、2j1()2j1()25j1 ()25j1 ()(25j)2j1()2j1()2j1()2j1(tttteeee)(25j)(2j2j2j2jtttttteeeeeej25j222j2j22j2jtttttteeeeeetetett2sin52cos22.2.5 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換查拉氏變換表，得查拉氏變換表，得上海大學機電工程與自動化學院 若有三重根，并為若有三重根，并為p1，則，則F(s)的一般表達式為的一般表達式為 )()()()(3231npspspspssAsF11321123111pspsps式中系數式中系數 2, 3, , n仍按照上述無重根的方法仍按照上述無重根的方法

30、(留數計算公式留數計算公式)，而重根的系數而重根的系數 11, 12, 13可按以下方法求得。可按以下方法求得。2.2.5 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換nnpspsps 3322上海大學機電工程與自動化學院1)()(3111pssFps1)()(dd3112pssFpss1)()(dd21312213pssFpss！2.2.5 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換 依此類推，當依此類推，當 p1 為為 k 重根時，其系數為：重根時，其系數為：1)()(dd)!111)1()1(m1pskmmsFpssm（km, 2 , 1上海大學機電工程與自動化學院例題例題3 已知已知F(s)，求，求L- -1F(s)。 32132）（ ssssF解解 111132s1321231132ss