1、曲面積分1對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分2對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分3對(duì)面積的曲面積分對(duì)面積的曲面積分4對(duì)坐標(biāo)的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分5基本公式：格林公式、高斯公式和斯托克斯公式基本公式：格林公式、高斯公式和斯托克斯公式一、本章要點(diǎn)一、本章要點(diǎn)曲面積分1對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分積分形式積分形式積分方法積分方法(1)平面曲線積分平面曲線積分(1)平面曲線積分平面曲線積分Lsyxfd),(2)空間曲線積分空間曲線積分szyxfd),(直角坐標(biāo)系：設(shè)曲線直角坐標(biāo)系：設(shè)曲線 ，其中，其中,)(baxxyyL，： 具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則 )(xybaLxyxyxfsyxfd1

2、)(,d),(2曲面積分參數(shù)方程：設(shè)曲線參數(shù)方程：設(shè)曲線 ，其中，其中,)()(ttyytxxL，： 具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則)(),(tytxtyxtytxfsyxfLd)(),(d),(22極坐標(biāo)：設(shè)曲線極坐標(biāo)：設(shè)曲線 ，其中，其中 ,)(，：L 具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則)(Lsyxfd),(dsin)(,cos)(22f曲面積分(2)空間曲線積分空間曲線積分具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則szyxfd),(tzyxtztytxfd)(),(),(222設(shè)曲線設(shè)曲線 ，其中，其中,)()()(ttzztyytxx，：)(),(),(tztytx曲面積分2對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)坐

3、標(biāo)的曲線積分積分形式積分形式 LyyxQxyxPd),(d),(1)平面曲線平面曲線 設(shè)有向曲線設(shè)有向曲線 ，則曲線積分為，則曲線積分為L(zhǎng)(2)空間曲線空間曲線 設(shè)有向曲線設(shè)有向曲線 ，則，則曲線積分為曲線積分為zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),(曲面積分積分方法積分方法(1)平面曲線平面曲線具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則LyyxQxyxPd),(d),(ttytytxQtxtytxPd)()(),()()(),(設(shè)曲線為設(shè)曲線為 ，其中，其中)(),(tytx：ttyytxxL，)()(曲面積分(2)空間曲線空間曲線設(shè)曲線設(shè)曲線 ，：ttzztyytxx，)()()(其中

4、其中 具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則)(),(),(tztytxzzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),()()(),(),()()(),(),(tytztytxQtxtztytxPttztztytxRd)()(),(),(曲面積分3對(duì)面積的曲面積分對(duì)面積的曲面積分Dyxyxzzyxzyxfdd1),(,22積分形式積分形式Szyxfd),(Szyxfd),(積分方法積分方法 設(shè)曲面設(shè)曲面 的方程為的方程為 在在 面上面上),(yxzz xOy投影區(qū)域?yàn)橥队皡^(qū)域?yàn)?，則，則D曲面積分4對(duì)坐標(biāo)的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分其中：上側(cè)取正，下側(cè)取負(fù)其中：上側(cè)取正，下側(cè)取負(fù)積分形式積分形式

5、yxRzyQyxPdddddd積分方法積分方法 設(shè)曲面設(shè)曲面 的方程為的方程為 在在 面上面上),(yxzz xOy投影區(qū)域?yàn)橥队皡^(qū)域?yàn)?，則，則DyxRzyQyxPddddddDyxyxRzQzPdd)()(曲面積分5基本公式基本公式1)格林公式格林公式曲線積分與路徑無(wú)關(guān)條件：曲線積分曲線積分與路徑無(wú)關(guān)條件：曲線積分DDyxyPxQyyxQxyxPdd)(d),(d),(設(shè)設(shè) 是平面上的有界閉區(qū)域，函數(shù)是平面上的有界閉區(qū)域，函數(shù)D),(),(yxQyxP在在 上有連續(xù)偏導(dǎo)，則上有連續(xù)偏導(dǎo)，則D與路徑無(wú)關(guān)與路徑無(wú)關(guān)LyyxQxyxPd),(d),(yPxQ曲面積分此時(shí)此時(shí)全微分求積全微分求積滿

6、足滿足1010d),(d),(10yyxxyyxQxyxP),(),(1100d),(d),(yxyxyyxQxyxP 為全微分為全微分yyxQxyxPd),(d),(，yPxQ此時(shí)此時(shí)，),(),(00d),(d),(),(yxyxyyxQxyxPyxuyyxQxyxPud),(d),(d曲面積分2)高斯公式高斯公式vRQPzyxd)(yxRxzQzyPdddddd設(shè)設(shè) 是空間的有界閉區(qū)域，函數(shù)是空間的有界閉區(qū)域，函數(shù) 在在 上有連上有連RQP,續(xù)偏導(dǎo)，則續(xù)偏導(dǎo)，則向量場(chǎng)向量場(chǎng) 的散度的散度),(RQPA zyxRQPAdiv曲面積分3)斯托克斯公式斯托克斯公式設(shè)設(shè) 為分片光滑曲面，函數(shù)為分

7、片光滑曲面，函數(shù) 在在 上有連續(xù)偏上有連續(xù)偏RQP,導(dǎo)，則導(dǎo)，則zRyQxPdddSRQPzyxRQPzyxyxxzzydcoscoscosdddddd曲面積分向量場(chǎng)向量場(chǎng) 的旋度的旋度),(RQPA RQPzyxkjiArot曲面積分課內(nèi)練習(xí)課內(nèi)練習(xí): 計(jì)算計(jì)算,d22syxL 其中其中L為圓周為圓周.22xayx 提示提示: 利用極坐標(biāo)利用極坐標(biāo) ,)22(cos: arL dd22rrs 原式原式 =sxaLd 22dcos22 aa22a 說(shuō)明說(shuō)明: 若用參數(shù)方程計(jì)算若用參數(shù)方程計(jì)算,:L)20( txaoyr da )cos1(2txa tyasin2 t則則tyxsdd22 tad

8、2 曲面積分ttad)cos1( 計(jì)算計(jì)算,dd)2( Lyxxya其中其中L為擺線為擺線, )sin(ttax )cos1(tay 上對(duì)應(yīng)上對(duì)應(yīng) t 從從 0 到到 2 的一段弧的一段弧.提示提示: 202dsinttta原式原式 202sincosttta 22 a )cos1(ta ttattadsin)sin( yxxyadd)2( tttadsin2 曲面積分zoyx1計(jì)算計(jì)算其中其中 由平面由平面 y = z 截球面截球面22yx 提示提示: 因在因在 上有上有,1222 yx故故: 原式原式 = tttdsincos2022221 tttd)cos1(cos42022221 22

9、1432212 162 txcos tysin21 sin21tz )20( t,d zzyx從從 z 軸正向看沿逆時(shí)針方向軸正向看沿逆時(shí)針方向.,12所得所得 z曲面積分 sin)cos1(:taytaxLDyaLxo計(jì)算計(jì)算,d)2cos(d)2sin( LxxyyexyyeI其中其中L為上半圓周為上半圓周, 0,)(222 yayax提示提示: : LxxyyexyeId)2cos(dsin Lxyd2 Lxyd2BAyxDdd0 ax20d0 022dsin2tta 0:t2a 沿逆時(shí)針方向沿逆時(shí)針方向. ABABL(也可直接用也可直接用Green公式公式. )曲面積分求力求力沿有向閉

10、曲線沿有向閉曲線 所作的所作的功功, 其中其中 為平面為平面 x + y + z = 1 被三個(gè)坐標(biāo)面所截成三被三個(gè)坐標(biāo)面所截成三提示提示: BAzyxCo zxyzxyWddd ABzxyzxyddd3 ABzxd3 10d)1(3zz23 方法方法1從從 z 軸正向看去沿軸正向看去沿順時(shí)針方向順時(shí)針方向.利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性角形的整個(gè)邊界角形的整個(gè)邊界,),(xzyF 曲面積分設(shè)三角形區(qū)域?yàn)樵O(shè)三角形區(qū)域?yàn)?, 方向方向向上向上, 則則 zxyzxyWddd zyx Sd313131yzx1: zyx Sd)3(31)1,1,1(31 n方法方法2nBAzyxCo23 yxDyxdd33曲面

11、積分(三三) 對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算: 1. 化成二重積分化成二重積分: 一投、二代、三變換一投、二代、三變換 (1) 確定曲面的單值函數(shù)的表達(dá)式確定曲面的單值函數(shù)的表達(dá)式; (2) 將曲面向作為自變量的兩變量所確定的坐標(biāo)將曲面向作為自變量的兩變量所確定的坐標(biāo)平面投影平面投影,得投影區(qū)域得投影區(qū)域; (3) 將曲面方程代入被積函數(shù)和曲面將曲面方程代入被積函數(shù)和曲面 面積元素面積元素dS中中, 得二重積分的被積表達(dá)式得二重積分的被積表達(dá)式,曲面在坐標(biāo)面上的投曲面在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域?yàn)槎胤e分的積分區(qū)域影區(qū)域?yàn)槎胤e分的積分區(qū)域 ; (4) 計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分.曲面積分

12、.0, 2, 1,d22面面所圍成的空間立體的表所圍成的空間立體的表平面平面是圓柱面是圓柱面其中其中計(jì)算計(jì)算 zxzyxSx. 1:, 2:, 0:22321 yxxzz積積分分曲曲面面. 1:2221 yxDxOyxy均為均為面上的投影區(qū)域面上的投影區(qū)域在在和和 xyDxSx d001d221例例1解解曲面積分, d 1中中在在 Sx xyDyxxSxddd1,dddyxS , 0 SxSxdd321 )(軸軸對(duì)對(duì)稱稱積積分分區(qū)區(qū)域域關(guān)關(guān)于于 y, d 2中中在在 Sx,dd11dyxS xyDyxxSxdd2d2, 0 曲面積分,3向向其其它它坐坐標(biāo)標(biāo)面面投投影影面面上上的的投投影影不不是

13、是區(qū)區(qū)域域在在xOy .,投投影影相相同同分分成成前前后后兩兩片片坐坐標(biāo)標(biāo)平平面面選選擇擇 zOx.11222xyyx 可可得得由由,1:231xy 前前片片.1:232xy 后后片片. 20, 11: xzxDzx投影區(qū)域投影區(qū)域曲面積分xzyySxzdd1d22 xzxxdd01122 .d 相相同同前前后后兩兩片片S.dd112xzx 32313dddSxSxSx zxDxzxzyyxdd1222 zxDxzxxdd122 11202dd12xzxxx, .00dd 321 所所以以SxSx曲面積分例例2 .,d)(22222RzyxSdczbyaxI 球球面面：是是其其中中計(jì)計(jì)算算曲曲

14、面面積積分分,ddd222 SzSySxSdczbyaxId)(2 2. 特殊計(jì)算法特殊計(jì)算法:解解 . 0ddd SyzSxzSxy, 0ddd SzSySx由對(duì)稱性，由對(duì)稱性，曲面積分 SxcbaSdd)(d22222 SzyxcbaRdd)()(31422222222 .)(344422222RcbadR SzcybxaSdd )(d2222222 SRcbadRd)(314222222 Sdcdzbdyadxacxzbcyzabxyzcybxad)222222(2222222 曲面積分解解 依對(duì)稱性知：依對(duì)稱性知：被被積積函函數(shù)數(shù)| xyz關(guān)關(guān)于于xoz、yoz 坐坐標(biāo)標(biāo)面面對(duì)對(duì)稱稱軸

15、軸對(duì)對(duì)稱稱，關(guān)關(guān)于于拋拋物物面面zyxz22 有有 14成立成立，xyz例例3曲面積分yxzzSyxdd1d22 yxyxdd)2()2(122 Sxyzd41 yxyxyxxyxyDdd)2()2(1)(42222 其其中中1| ),(22 yxyxDxy, 0, 0 yx曲面積分rrrrttrtd41sincosd41022220 rrrttd41d2sin2210502 令令241ru duuu251)41(41 .42015125 曲面積分.2.d )(222222xzyxSzyxI 為為：其其中中求求SxSzyxId2d )(222 . 1001 x），故故，又又球球面面的的重重心心

16、在在（.84122d2 SxSxI例例4解解,d_SSxx 而而曲面積分練習(xí)練習(xí) 計(jì)算曲面積分計(jì)算曲面積分 其其,d2)(22SzyzyxI 中中 是球面是球面.22222zxzyx 解解 Szxd)22( 32 SzyxId )(222 zyyx22 Syzxd)(2 Szxd)(20 利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性用重心公式用重心公式曲面積分利用輪換對(duì)稱性簡(jiǎn)化第一類曲面積分利用輪換對(duì)稱性簡(jiǎn)化第一類曲面積分 對(duì)對(duì)稱稱，面面關(guān)關(guān)于于直直線線所所謂謂輪輪換換對(duì)對(duì)稱稱性性是是指指曲曲zyx . ,323 仍仍與與原原曲曲面面重重合合弧弧度度后后或或旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)即即將將曲曲面面繞繞直直線線 zyx. , 1 22

17、22Rzyxzyx 例例如如:0),( ,具具有有如如下下特特征征則則其其方方程程若若曲曲面面具具有有輪輪換換對(duì)對(duì)稱稱性性 zyxF. , , ),( 的的表表達(dá)達(dá)式式不不會(huì)會(huì)改改變變的的位位置置任任意意互互換換中中變變量量將將FzyxzyxF曲面積分. , ),( ,積積分分值值不不會(huì)會(huì)改改變變無(wú)無(wú)論論怎怎樣樣互互換換變變量量中中的的則則被被積積函函數(shù)數(shù)若若曲曲面面具具有有輪輪換換對(duì)對(duì)稱稱性性zyxzyxf輪換不變性輪換不變性 若曲面若曲面有輪換對(duì)稱性有輪換對(duì)稱性, , 則則上的第一類曲上的第一類曲面積分有輪換不變性面積分有輪換不變性. . SxzyfSyxzfSzyxfd),(d),(d)

18、,(曲面積分.dd)( )0, 0, 0( 1 SxSyxzyxzyx與與求求設(shè)設(shè)曲曲面面例例5解解 , 1 有有輪輪換換對(duì)對(duì)稱稱性性曲曲面面 zyx由積分的輪換不變性知由積分的輪換不變性知,ddd SzSySx Syxd, 0dd SySx SzyxSx)d(31d Sd31.612131 曲面積分(四四).對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算: 1. 化為二重積分化為二重積分: 一投、二代、三定號(hào)一投、二代、三定號(hào) (1) 選準(zhǔn)曲面的投影方向選準(zhǔn)曲面的投影方向; (2) 將曲面的方程表示成相應(yīng)變量的單值函數(shù)將曲面的方程表示成相應(yīng)變量的單值函數(shù),代入代入 被積函數(shù)中去被積函數(shù)中去;

19、(3) 根據(jù)曲面的側(cè)的方向確定二重積分的符號(hào)根據(jù)曲面的側(cè)的方向確定二重積分的符號(hào).曲面積分在在第第一一卦卦限限部部分分的的上上側(cè)側(cè)為為平平面面為為連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)其其中中計(jì)計(jì)算算1,),(,dd),(dd),(2dd),( zyxzyxfyxzzyxfxzyzyxfzyxzyxfI例例6xyoz111 解解 利用兩類曲面積分之間的關(guān)系利用兩類曲面積分之間的關(guān)系,1 , 1, 1 n的的法法向向量量為為.31cos,31cos,31cos 2. 利用兩類曲面積分之間的聯(lián)系利用兩類曲面積分之間的聯(lián)系:曲面積分Szzyxfyzyxfxzyxfd33),(),(2),( Szyxd)(33 Sd332

20、1 S 33曲面積分3. 利用利用Gauss公式公式:的的內(nèi)內(nèi)表表面面。所所圍圍立立體體及及錐錐面面為為：球球面面其其中中求求 2222222222224,.ddddddyxzRzyxRzyxyxyxzxzyzzyxzI vyxzzId)(22例例7解解 由由Gauss公式，公式，rrrrRRd)sincos2(dsind220402 .)2(16154R 曲面積分.)()()(.dddddd2222222的外側(cè)的外側(cè)：是是其中其中求求RczbyaxyxzxzyzyxI vzyxId)(2例例8解解由由Gauss公式，公式，Vzyx)(2 334)(2Rcba 3)(38Rcba 曲面積分zyxo練習(xí)練習(xí): ,dd