1、曲線積分與曲面積分第六節(jié)高斯公式與散度1第六節(jié)第六節(jié) 高斯公式與散度高斯公式與散度二二 通量與散度通量與散度曲線積分與曲面積分第六節(jié)高斯公式與散度2一一 高斯公式高斯公式定理定理 設(shè)空間閉區(qū)域設(shè)空間閉區(qū)域 由分片光滑的閉曲由分片光滑的閉曲面面 所所一階偏導(dǎo)數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù) ,zyxzRyQxPddd)( yxRxzQzyPdddddd zyxzRddd yxRdd 下面先證下面先證:函數(shù)函數(shù) P, Q, R 在在 上上有連續(xù)的有連續(xù)的圍成圍成, 的方向取外側(cè)的方向取外側(cè), 則有則有 dSRQP)coscoscos( 曲線積分與曲面積分第六節(jié)高斯公式與散度3 ) ,(yxR yxyxRdd) ,(

2、, ),(:11yxzz 證明證明: 設(shè)設(shè)yxDyxyxzyxzyxz ),(, ),(),(),(:21,321 zzRyxzyxzd),(),(21 xyD),(2yxz),(1yxz yxRdd xyD 1 zyxzRddd yxdd 2 3 yxRdd),(:22yxzz 則則yxyxRdd) ,( xyD xyD),(2yxzyxyxRdd) ,(),(1yxzxyzo1( . )zzx y 2( , )zzx y 1 2 3 xyD曲線積分與曲面積分第六節(jié)高斯公式與散度4所以所以zyxzRddd yxRdd 若若 是是 其它類型區(qū)域其它類型區(qū)域 , 則可引進輔助面則可引進輔助面將其

3、分割成若干個將其分割成若干個 相應(yīng)的區(qū)域相應(yīng)的區(qū)域,故上式仍成立故上式仍成立 .正反兩側(cè)面積分正負抵消正反兩側(cè)面積分正負抵消,在輔助面在輔助面類似可證類似可證 zyxyQddd yxRxzQzyPdddddd zyxzRyQxPddd xzQdd zyxxPddd zyPdd 三式相加三式相加, 即得所證即得所證 Gauss 公式：公式：曲線積分與曲面積分第六節(jié)高斯公式與散度5xyz例例1 計算曲面積分計算曲面積分 dxdyxyzdzdxxzydydzyzx)()()(222其中其中 長方體長方體czbyax 0 ,0 ,0:解解o,2yzxP ,2xzyQ ,2xyzR zyxRQP )(2

4、zyx 表面外側(cè)。表面外側(cè)。原式原式 dxdydzzyx)22 cdzzyx0)( bdy0 adx0abccba)( 曲線積分與曲面積分第六節(jié)高斯公式與散度6yxz例例2 計算計算 zyxzyyxyxdd)(dd)(為柱面為柱面122 yx域域 的整個邊界曲面的外側(cè)的整個邊界曲面的外側(cè). 解解: 這里這里利用利用Gauss 公式公式, 得得原式原式 = zyxzyddd)( zzddd)( (用柱坐標(biāo)用柱坐標(biāo))zz d)(dd301020 29 ,)(xzyP , 0 QyxR 及平面及平面 z = 0 , z = 3 所圍空間所圍空間閉閉思考思考: 若若 改為內(nèi)側(cè)改為內(nèi)側(cè), 結(jié)果有何變化結(jié)

5、果有何變化? 其中其中 3o zdxdyzd)(曲線積分與曲面積分第六節(jié)高斯公式與散度7xyoz12 1 例例3.設(shè)設(shè) 為曲面為曲面21,222 zyxz取上側(cè)取上側(cè), 求求 解解: 作取下側(cè)的輔助面作取下側(cè)的輔助面1:1 z1:),(22 yxDyxyx I 11 zyxdddyxxdd)(2 xyD)1( 20d 10d 221d z 202dcos 103d 1213 用柱坐標(biāo)用柱坐標(biāo)用極坐標(biāo)用極坐標(biāo).dddddd)(2223 yxzxxzyzxzyxzxI曲線積分與曲面積分第六節(jié)高斯公式與散度8xyzoh 1 例例4 利用利用Gauss 公式計算積分公式計算積分SzyxId)cosco

6、scos(222 其中其中 為錐面為錐面222zyx 解解:,:1hz ,:),(222hyxDyxyx 上側(cè)上側(cè)0,21 上上在在介于介于 z = 0 及及z = h 之間部分的下側(cè)之間部分的下側(cè). 1, 記記所圍區(qū)域為所圍區(qū)域為 , ,作輔助面作輔助面曲線積分與曲面積分第六節(jié)高斯公式與散度9 1(I 1Szyxd)coscoscos)(222 dxdydzzyx)(22xyDh dS hhzdzdd 02024h 421h xyzoh 1 則則 hz , 0,21 上上在在曲線積分與曲面積分第六節(jié)高斯公式與散度10 coscoscoszvyvxv),(, ),(yxvyxu在閉區(qū)域在閉區(qū)域

7、 上具有一階和上具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 證明格林證明格林( Green )第一公式第一公式Sd例例5 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) uzyxddd u ( zyxdddxu yu yv zu zv 其中其中 是整個是整個 邊界面的外側(cè)邊界面的外側(cè). uP xv uQ yv uR zv 分析分析: zyxzRyQxPddd yxRxzQzyPdddddd xv 高斯公式高斯公式 222222zvyvxv曲線積分與曲面積分第六節(jié)高斯公式與散度11證證: :令令uP ,xv uQ ,yv uR ,zv 由高斯公式得由高斯公式得 222222zvyvxv uzyxddd coscoscoszvyvx

8、v uSd移項即得所證公式移項即得所證公式.xu yu yv zu zv xv u yxzvxzyvzyxvdddddd曲線積分與曲面積分第六節(jié)高斯公式與散度12二二 通量與散度通量與散度1 通量通量速度為速度為v流速場，流速場，穿過有向曲面穿過有向曲面 的的流量流量v dS dSnv電位移為電位移為D電場，電場，穿過有向曲面穿過有向曲面 的的電通量電通量D dS dSnD磁感應(yīng)強度為磁感應(yīng)強度為B磁場，磁場，穿過有向曲面穿過有向曲面 的的磁通量磁通量B dS dSnB其中其中n為有向曲面指定側(cè)的單位法向量。為有向曲面指定側(cè)的單位法向量。曲線積分與曲面積分第六節(jié)高斯公式與散度13定義定義設(shè)向量

9、場設(shè)向量場),(zyxA 為場內(nèi)的一條有向曲為場內(nèi)的一條有向曲面，面， 稱稱A dS 為向量場為向量場穿過有向曲面穿過有向曲面的的通量通量。),(zyxA n A A dS物理意義物理意義視視A為流速場，為流速場，dS為為 上面元素，上面元素，則則dSnAd A dS dSnAA),cos(| , 0),cos( nA, 0 d流向流向dS正側(cè)，正側(cè)，, 0),cos( nA, 0 d流向流向dS負側(cè)，負側(cè)，曲線積分與曲面積分第六節(jié)高斯公式與散度14 dSnA為為 d在在 上的疊加（代數(shù)和）上的疊加（代數(shù)和）0 流向流向 正側(cè)的正側(cè)的 流向流向 負側(cè)的負側(cè)的0 流向流向 正側(cè)的正側(cè)的 流向流向

10、 負側(cè)的負側(cè)的0 流向流向 正側(cè)的正側(cè)的 流向流向 負側(cè)的負側(cè)的特別特別 為封閉曲面的外側(cè)為封閉曲面的外側(cè)0 流出的流出的 流入的，流入的，內(nèi)有內(nèi)有“泉泉”0 流出的流出的 流入的，流入的，內(nèi)有內(nèi)有“匯匯”0 流出的流出的 流入的，流入的，曲線積分與曲面積分第六節(jié)高斯公式與散度15xyzo例例6求向量場求向量場kzj yi xA 穿過有向曲面穿過有向曲面 的通量，其中的通量，其中 為由為由1,22 zyxz所圍物體表所圍物體表面的外側(cè)。面的外側(cè)。1解解 dSnA zdxdyydzdxxdydz dxdydz3 曲線積分與曲面積分第六節(jié)高斯公式與散度162 散度散度定義定義),(zyxAM, ,

11、 ,V M的閉曲面的閉曲面包圍的區(qū)域為包圍的區(qū)域為記體積為記體積為若當(dāng)區(qū)若當(dāng)區(qū)收縮成點收縮成點時時, ,設(shè)有向量場設(shè)有向量場在場內(nèi)作包圍點在場內(nèi)作包圍點域域極限極限VSdAM lim存在存在, ,AMAdiv則稱此極限值為則稱此極限值為在點在點處的處的散度散度, , 記為記為0divA表明該點處有正源表明該點處有正源, 0div A表明該點處有負源表明該點處有負源, 說明說明: 由引例可知由引例可知, 散度是通量對體積的變化率散度是通量對體積的變化率, 且且曲線積分與曲面積分第六節(jié)高斯公式與散度170div A表明該點處無源表明該點處無源, 散度絕對值的大小反映了源的強度散度絕對值的大小反映了

12、源的強度., 0div A如果如果稱向量場稱向量場A為為無源場無源場。稱數(shù)量場稱數(shù)量場Adiv為向量場的為向量場的散度場散度場。3 散度的計算公式散度的計算公式定理定理設(shè)向量場設(shè)向量場kzyxRjzyxQizyxPA),(),(),( （其中（其中RQP,一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)）一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)）則在點則在點),(zyxM處處的散度為的散度為 Adiv zRyQxPA 曲線積分與曲面積分第六節(jié)高斯公式與散度18證證由高斯公式由高斯公式A dS RdxdyQdzdxPdydz dxdydzRQPzyx)(由中值定理知，存在由中值定理知，存在 *MVRQPMzyx*)( divlimMA dSAV *)(limMzyxMRQP MzRyQxP)( 曲線積分與曲面積分第六節(jié)高斯公式與散度19高斯公式的向量表示式為高斯公式的向量表示式為divA dSAdv Adv 例例7 7置于原點置于原點, 電量為電量為 q 的點電荷產(chǎn)生的場強為的點電荷產(chǎn)生的場強為rrqE3 .divE求求解解: