1、iir 數字濾波器的設計摘 要數字濾波器是對數字信號進行濾波處理以得到期望的響應特性的離散時間系統。作為一種電子濾波器，數字濾波器與完全工作在模擬信號域的模擬濾波器不同。數字濾波器工作在數字信號域，它處理的對象是經由采樣器件將模擬信號轉換而得到的數字信號。數字濾波器的工作方式與模擬濾波器也完全不同：后者完全依靠電阻、電容、晶體管等電子元件組成的物理網絡實現濾波功能；而前者是通過數字運算器件對輸入的數字信號進行運算和處理，從而實現設計要求的特性。本文由數字濾波器的功能、應用及發展入手，介紹了數字濾波器的基本概念，其中包括系統的描述、系統的傳遞函數和 iir 數字濾波器基本結構。其次根據 iir

2、數字濾波器的設計原理，在 matlab 環境下分別采用脈沖響應不變法、雙線性變換法和 matlab 函數直接設計法對 iir 數字濾波器進行了設計。最后應用 fdatool 和 simulink 工具對 iir 數字濾波器進行了仿真。關鍵詞關鍵詞：iir數字濾波器；matlab；脈沖響應不變法；雙線性變換法；fdatool；simulinkdesign of iir digital filterabstractdigital filters are the discrete-time systems that process to filter digital signal to get ex

3、pected response characteristics. as an electronic filter, digital filters work differently from the analog signal filters who completely work in analogy signal domain. digital filter work in the digital signal domain and its targets are digital signals that are received by sampling devices convertin

4、g analog signals to digital signals. the working methods of digital filters and analog filters are completely different: the latter completely rely on the function of the physical network formed by resistors, capacitors, transistors and other electronic components of filtering ,while the former comp

5、utes and processes digital signals with the help of digital computing devices to realize the characteristics of the design requirements.in this paper, the function, application and development of the digital filter are introduced followed by the introduction of the principle of digital filter design

6、. the principle first includes the description of the system, the transfer function of the system and the basic structure of the iir (infinite impulse response) digital filter. then, according to the design principle of iir digital filter, the iir digital filter is designed by the method of non-chan

7、ging impulse response, the method of double linear transform and direct method using matlab functions. at last, the designed iir digital filter is simulated by fdatool and matlab simulink tool.key words: iir digital filter；matlab；non-changing impulse response；double linear transformation；fdatool；sim

8、ulink目 錄第一章 緒論.11.1 數字濾波器技術概述 .11.2 濾波器及濾波方法的發展歷程 .21.3 濾波器的分類 .31.4 數字濾波器的優越性 .41.5 數字濾波器的實現方法 .51.6 matlab 軟件簡介.61.7 matlab 的語言特點.8第二章 數字濾波器基礎.102.1 數字濾波器的基本概念 .102.2 系統的描述 .112.3 系統的傳遞函數 .122.4 iir 數字濾波器的基本結構.122.4.1 直接型.132.4.2 直接型.142.4.3 級聯型.142.4.4 并聯型.16第三章 iir 數字濾波器的設計方法及過程.173.1 基于脈沖響應不變法的

9、 iir 濾波器設計.173.2 基于雙線性 z 變換法的 iir 濾波器設計.203.3 基于 matlab 函數直接設計 iir 數字濾波器.243.3.1 巴特沃斯數字濾波器設計.243.3.2 切比雪夫型 iir 數字濾波器設計.273.3.3 切比雪夫型 iir 數字濾波器設計.293.3.4 基于橢圓法直接設計 iir 數字濾波器.303.4 fdatool設計法.333.5 simulink建模設計法.37第四章 結論.41參考文獻.42致 謝.43天津理工大學中環信息學院 2010 屆本科畢業設計說明書1第一章 緒論1.1 數字濾波器技術概述數字濾波器實際上就是一種數字信號處理

10、系統的算法或設備，也可以說是一種運算過程。數字濾波器的功能是將一組輸入的數字序列通過一定的運算后轉變為另一組輸出的數字序列，因此它本身就是一臺數字式的處理設備。數字濾波器的基本原理是：先利用取樣開關和模擬-數字轉換器將一個聯系性的信號轉換成數字信號。在數字計算器中完成所要求的傳輸函數運算之后，再通過數字-模擬轉換器和保持電路，使信號形成最后要求的波形。數字濾波器是數字信號處理中最重要的組成部分之一。數字信號處理主要是研究用數字或符號的序列來表示信號波形，并用數字的方式去處理這些序列，把它們改變成在某種意義上更為有希望的形式，以便估計信號的特征參量，或削弱信號中的多余分量和增強信號中的有用分量。

11、具體來說，凡是用數字方式對信號進行濾波、變換、調制、解調、均衡、增強、壓縮、固定、識別、產生等加工處理，都可納入數字信號處理領域。1數字信號處理學科的一項重大進展是關于數字濾波器設計方法的研究。關于數字濾波器，早在上世紀 40 年代末期就有人討論它的可能性問題，在 50 年代也有人討論過數字濾波器，但直到 60 年代中期，才開始形成關于數字濾波器的一整套完整的正規理論。在這一時期，提出了各種各樣的數字濾波器結構，有的以運算誤差最小為特點，有的則以運算速度快見長，而有的則二者兼而有之。出現了數字濾波器的各種分析方法和實現方法，對遞歸和非遞歸兩類濾波器作了全面的比較，統一了數字濾波器的基本概念和理

12、論。數字濾波器的領域的一個重要發展是對有限沖激響應(fir)和無限沖激響應(iir)關系的認識的轉化。在初期，一般認為 iir 濾波器比 fir 濾波器具有更高的運算效率，因而明顯的傾向前者，但當人們提出用快速傅立葉變換(fft)實現卷積運算的概念之后，發現高階 fir濾波器也可以用很高的運算效率來實現，這就促使人們對高性能 fir 濾波器的設計方法和濾波器的頻域設計方法進行了大量的研究，從而出現了此后數字濾波器設計中頻域方法和時域方法并駕齊驅的局面。然而，這些均屬數字濾波器的早期研究。早期的數字濾波器盡管在語音、聲納、地震和醫學的信號處理中曾經發揮過作用，但由于當時計算機主機的價格很昂貴，嚴

13、重地阻礙了專用數字濾波器的發展。70 年代科學技術的蓬勃發展，數字信號處理開始與大規模和超大規模集成電路技術、微處理技術、高速數字算術單元、雙極性高密度半導體存儲器、電荷轉移器件等新技術、新工藝結合了起來，并且引進了計算機輔助設計方法，它使數字濾波器的設計不僅僅是對相應模擬濾波器的逼近。一般說來，通過對模擬濾波器函數的變換來設計數字濾波器，很難達到逼近任意頻率響應或沖激響應，而采用計算機輔助設計則有可能實現頻域或時域的最佳逼近，或頻域時域聯合最佳逼近。這樣，數字濾波器的分析與設計其內容也更既豐富起來，各種新的數字信號處理系統，也都能用專用數字硬件實時加以天津理工大學中環信息學院 2010 屆本

14、科畢業設計說明書2實現。數字信號處理理論與技術的發展，主要是由于電子計算機與大規模集成電路的大量生產和廣泛應用，替代了原來的模擬信號處理中的線性濾波與頻譜分析所應用的模擬計算機和分立元件 l、c、r 線性網絡，高度發揮了計算技術與數字技術相結合的特色和優越性。特別是微處理器和微型計算機技術日新月異的發展，將更有利于電子儀器與電子技術應用系統朝著數字化、小型化、自動化以及多功能等方向發展，促使它們成為富有智能型的電子系統。現在，包括數字濾波在內的數字信號處理技術正以驚人的速度向縱深和高級的方向發展；據統計這種趨勢還要持續一個較長的時期，未來的發展可能會比過去的進程更為激動人心，必將引起某些領域的

15、飛躍性發展。1.2 濾波器及濾波方法的發展歷程在近代電信設備和各類控制系統中，濾波器應用極為廣泛；在所有的電子部件中，使用最多、技術最為復雜的要算濾波器了。濾波器的優劣直接決定產品的優劣。所以，對濾波器的研究和生產歷來為各國所重視。1917 年美國和德國科學家分別發明了 lc 濾波器，次年導致了美國第一個多路復用系統的出現。20 世紀 50 年代無源濾波器日趨成熟。自 60 年代起由于計算機技術、集成工藝和材料工業的發展，濾波器發展上了一個新臺階，并且朝著低功耗、高精度、小體積、多功能、穩定可靠和價格低廉方向努力，其中小體積、多功能、高精度、穩定可靠成為 70 年代以后的主攻方向。導致 rc

16、有源濾波器、數字濾波器、開關電容濾波器和電荷轉移器等各種濾波器的飛速發展，到 70 年代后期，上述幾種濾波器的單片集成已被研制出來并得到應用。80年代，致力于各類新型濾波器的研究，努力提高性能并逐漸擴大應用范圍。90 年代至現在主要致力于把各類濾波器應用于各類產品的開發和研制。當然，對濾波器本身的研究仍在不斷進行。我國廣泛使用濾波器是 50 年代后期的事，當時主要用于話路濾波和報路濾波。經過半個世紀的發展，我國濾波器在研制、生產和應用等方面已納入國際發展步伐，但由于缺少專門研制機構，集成工藝和材料工業跟不上來，使得我國許多新型濾波器的研制應用與國際發展有一段距離。近些年，線性濾波方法，如 wi

17、ener 濾波、kalman 濾波和自適應濾波得到了廣泛的研究和應用，同時一些非線性濾波方法，如小波濾波、同態濾波、中值濾波、形態濾波等都是現代信號處理的前沿課題，不但有重要的理論意義，而且有廣闊的應用前景。wiener 濾波是最早提出的一種濾波方法，當信號混有白噪聲時，可以在最小均方誤差條件下得到信號的最佳估計。但是，由于求解 wiener-hoff 方程的復雜性，使得 wiener 濾波實際應用起來很困難，不過 wiener 濾波在理論上的意義是非常重要的，利用 wiener 濾波的純一步預測，可以求解天津理工大學中環信息學院 2010 屆本科畢業設計說明書3信號的模型參數，進而獲得著名的

18、 levinson 算法. kalman 濾波是 20 世紀 60 年代初提出的一種濾波方法。與 wiener 濾波相似，它同樣可以在最小均方誤差條件下給出信號的最佳估計。所不同的是，這種濾波技術在時域中采用遞推方式進行，因此速度快，便于實時處理，從而得到了廣泛的應用。kalman 濾波推廣到二維，可以用于圖像的去噪。當假設 wiener 濾波器的單位脈沖響應為有限長時，可以采用自適應濾波的方法得到濾波器的最佳響應。由于它避開了求解 wiener-hoff 方程，為某些問題的解決帶來了極大的方便。小波濾波就是利用信號和噪聲在各自尺度下的小波變換系數有所不同的特點，來對它們進行分離，從而達到去除

19、噪聲的目的。同態濾波主要用于解決信號和噪聲之間不是相加而是相乘關系時的濾波問題。另外當信號和噪聲之間為卷積關系的時候在一定條件下可以利用同態濾波把信號有效地分離出來，由同態濾波理論引伸出的復時譜也成為現代信號處理中極為重要的概念。wiener 濾波、kalman 濾波和自適應濾波都是線性濾波，線性濾波的最大缺點就是在消除噪聲的同時，會造成信號邊緣的模糊。中值濾波是 20 世紀 70 年代提出的一種非線性濾波方法，它可以在最小絕對誤差條件下，給出信號的最佳估計。這種濾波方法的優點，就是能夠保持信號的邊緣不模糊。另外它對脈沖噪聲也有良好的清除作用。形態濾波是建立在集合運算上的一種非線性濾波方法，它

20、除了用于濾除信號中的噪聲以外，還在圖像分析中發揮了重要的作用。21.3 濾波器的分類濾波器是一種選頻裝置，它對某一個或幾個頻率范圍(頻帶)內的電信號給以很小的衰減，使這部分信號能夠順利通過。對其它頻帶內的電信號則給以很大的衰減，從而盡可能地阻止這部分信號的通過。通過濾波器時不經受衰減或經受很小衰減的頻帶稱為通帶，經受的衰減超過某一規定值的頻帶稱為阻帶，位于通帶和阻帶之間的頻帶稱為過渡帶。于是，根據通帶的不同，濾波器可分為低通濾波器、高通濾波器、帶通濾波器、帶阻濾波器等。此外，根據它所處理的信號型類，濾波器又可分為模擬濾波器和數字濾波器，模擬濾波器用來處理連續信號，而數字濾波器用來處理離散信號，

21、后者是在前者基礎上發展起來的。數字濾波器與模擬濾波器比較，其主要優點是精度和穩定性高，系統函數容易改變，因而靈活性高，不存在阻抗匹配問題，便于大規模集成，可以實現多維濾波。因此，目前在諸如通信、雷達、遙感、聲納、衛星通信、宇宙航行、測量、語言和生物醫學等科學領域的信號處理中，已經運用了數字濾波技術，而且隨著大規模集成電路技術和數字計算技術的發展，它的應用會越來越廣泛。數字濾波器按照單位取樣響應 h(n)的時域特性可分為無限脈沖響應（infinite impulse response,iir）系統和有限脈沖響應（finite impulse response,fir）系統。即如果單位取樣響應是時

22、寬無限的，稱之為 iir 系統；如果單位取樣響應是時寬有限的，稱之為 fir 系統。 數字濾波器按照實現的方法和結構形式分為遞歸型和非遞歸型兩類。iir 濾波器系統函數的天津理工大學中環信息學院 2010 屆本科畢業設計說明書4極點可以位于單位圓內的任何地方，因此可以用較低的階數獲得較高的選擇性，所用的存儲單元少，經濟而效率高，但是系統函數的極點也可能位于單位圓外，可能會引起系統的不穩定。同時 iir 濾波器的相位是非線性的，且它的選擇性越好，相位的非線性就越嚴重。相反fir 濾波器卻可以得到嚴格的線性相位，然而由于 fir 濾波器的系統函數的極點固定在原點，所以只能用較高的階數來實現其高選擇

23、性，對于同樣的濾波器設計指標，fir 濾波器所要求的階數要比 iir 高 5 至 10 倍，所以成本較高，信號延遲也較大。但是如果要求相同的線性相位，則 iir 濾波器就必須加全通網絡進行相位校正，同樣也要增加濾波器網絡的節點數和復雜性。fir 濾波器可以用非遞歸的方法實現，在有限精度下不會產生振蕩，同時由于量化舍入以及系數的不確定性所引起的誤差的影響要比 iir 濾波器小的多，并且 fir 濾波器可以采用 fft 算法，運算速度快。但是不像 iir 濾波器可以借助模擬濾波器的成果。fir 濾波器沒有現成的計算公式，必須要用計算機輔助設計軟件(如 matlab)來計算。由此可知，fir濾波器應

24、用比較廣，而 iir 濾波器則用在相位要求不是很嚴格的場合。31.4 數字濾波器的優越性數字濾波是提取有用信息非常重要、非常靈活的方法，是現代信號處理的重要內容。因而在數字通信、語音圖像處理、譜分析、模式識別、自動控制等領域得到了廣泛的應用。相對于模擬濾波器，數字濾波器沒有漂移，能夠處理低頻信號，頻率響應特性可做成非常接近于理想的特性，且精度可以達到很高，容易集成等，這些優勢決定了數字濾波器的應用將會越來越廣泛。同時dsp處理器(digitalsignalprocessor)的出現和fpga (fieldprogrammablegatearray)的迅速發展也促進了數字濾波器的發展，并為數字濾

25、波器的硬件實現提供了更多的選擇。當前我們正處于數字化時代，數字信號處理技術受到了人們的廣泛關注，其理論及算法隨著計算機技術及微電子技術的發展得到了飛速的發展，在許多領域得到了廣泛的應用。如語音、圖像、雷達、通信等等。以與我們關系比較密切的手機來說，目前模擬網己經退出了舞臺，而完全由數字網代替;又如電視技術也已呈現出數字電視取代模擬電視的趨勢。數字濾波器是數字信號處理中最重要的組成部分之一，幾乎出現在所有的數字信號處理系統中，隨著集成電路和dsp處理器的發展，數字濾波器的應用必將越來越廣泛。相對于模擬濾波器，數字濾波器具有以下顯著優點:(1) 精度高:模擬電路中元件精度很難達到10-3以上，而數

26、字系統17位字長就可以達到10-5精度。因此在一些精度要求很高的濾波系統中，就必須采用數字濾波器來實現。(2) 靈活性大:數字濾波器的性能主要取決于乘法器的各系數，而這些系數是存放在系數存儲器中的，只要改變存儲器中存放的系數，就可以得到不同的系統，這些都比改變模擬濾波器系統的特性要容易和方便的多，因而具有很大的靈活性。天津理工大學中環信息學院 2010 屆本科畢業設計說明書5(3) 可靠性高:因為數字系統只有兩個電平信號:“1”和“0”，受噪聲及環境條件的影響小，而模擬濾波器各個參數都有一定的溫度系數，易受溫度、振動、電磁感應等影響。并且數字濾波器多采用大規模集成電路，如用cpld或fpga來

27、實現，也可以用專用的dsp處理器來實現，這些大規模集成電路的故障率遠比眾多分立元件構成的模擬系統的故障率低。(4) 易于大規模集成:因為數字部件具有高度的規范性，便于大規模集成，大規模生產，且數字濾波電路主要工作在截止或飽和狀態，對電路參數要求不嚴格，因此產品的成品率高，價格也日趨降低。相對于模擬濾波器，數字濾波器在體積、重量和性能方面的優勢己越來越明顯。比如在用一些用模擬網絡做的低頻濾波器中，網絡的電感和電容的數值會大到驚人的程度，甚至不能很好地實現，這時候若采用數字濾波器則方便的多。(5) 并行處理:數字濾波器的另外一個最大優點就是可以實現并行處理，比如數字濾波器可采用 dsp 處理器來實

28、現并行處理。ti 公司的 tms320c5000 系列的 dsp 芯片采用 8 條指令并行處理的結構，時鐘頻率為 l00mhz 的 dsp 芯片，可高達 800mips(即每秒執行百萬條指令)。1.5 數字濾波器的實現方法1 在通用的微型計算機上用軟件實現軟件可以是自己編寫的，也可以使用現成的軟件包，這種方法的缺點是速度太慢，不能用于實時系統，只能用于教學和算法的仿真研究。比如近年來迅速發展的matlab，就幾乎可以實現所有數字濾波器的仿真。而且在matlab下的部分仿真程序還可以通過轉化為c語言，再通過dsp的c編譯器直接在dsp硬件上運行。這對非實時系統或準實時系統來說是很有吸引力的。2

29、用單片機來實現單片機在不斷地發展，如intel 96000的運算速度就非常可觀，而且單片機的接口性能比較良好，容易實現人機接口。但是由于單片機采用的是馮諾依曼總線結構，系統比較復雜，實現乘法運算速度較慢，而在數字濾波器中卻要涉及大量的乘加運算，因此這種方法在運算量大的實時信號濾波處理當中很難有所作為。3 利用專門用于信號處理的可編程dsp芯片來實現與單片機相比，dsp有著更適合于數字濾波的優點。如采用改進的哈佛總線結構，內部有硬件乘法器、累加器，使用流水線結構，具有良好的并行特性，并有專門設計的適用于數字信號處理的指令系統等。dsp芯片的這些特點使其在不允許延遲的實時應用領域中，如蜂窩電話、計

30、算機硬盤驅動器等得到了非常理想的應用。4 利用特殊用途的dsp芯片實現現在國際上己經推出了不少專門用于fft, fir濾波、卷積等的專用芯片，如tdc 1028可天津理工大學中環信息學院 2010 屆本科畢業設計說明書6以實現fir濾波和相關運算。美國inmos公司推出的imsa100芯片，可以完成fft, fir濾波、卷積等運算，它可以在2ms內完成1024點復數fft運算。其它的，如motorola公司的dsp56200, zoron公司的zr34881，也都屬于專用型的dsp芯片。在采用的dsp芯片中，其軟件算法己在芯片內部硬件實現，使用者只要給出輸入數據，經過簡單的組合即可在輸出端得到

31、結果。這一般用于對速度要求很高的場合。這種方案的缺點是靈活性差，而且開發工具很不完善。5 用fpga等可編程器件來開發數字濾波算法由于fpga產品的迅速發展，人們可以利用atera. xilinx等公司提供的產品，使用其相關開發工具和vhdl等硬件開發語言，通過軟件編程用硬件實現特定的數字濾波算法。這一方法由于具有通用性的特點并可以實現算法的并行運算，無論是作為獨立的數字信號處理器，還是作為dsp芯片的協處理器，目前都是比較活躍的研究領域。6 在通用的計算機系統中安裝加速卡來實現加速卡可以是通用的加速處理機，也可是由dsp開發的用戶加速卡，如果加速卡是用dsp開發的用戶加速卡，那么在日益復雜的

32、控制系統中，在dsp芯片價格不斷下降的條件下，這一方法是很常用的。當然，在一般的控制系統中。通用計算機僅充當沒有實時要求方法管理者的角色，而不再參與實時的數字信號的處理。比較以上方法可見:可以采用matlab等軟件來學習數字濾波器的基本知識，計算數字濾波器的系數等，同時也可以研究算法的可行性，對數字濾波器進行前期的仿真。而采用dsp處理器或fpga進行數字濾波設計則各有優點，fpga可以用來做模型機，因為在設計一個電路時，首先要確定線路，然后進行軟件模擬及優化，以確定所設計電路的功能及性能。然而隨著電路規模的不斷增大，工作頻率的不斷提高，將會給電路引入許多分布參數的影響，而這在用軟件模擬中很難

33、反映出來，這時候就有必要做硬件仿真，由于fpga具有非常靈活的可編程特性，所以就可以用來做硬件仿真的模型機了。有了該模型機就可以直觀地測試其邏輯功能及性能指標。dsp則是專用的數字信號處理芯片，其特有的一些硬件結構及特性使其非常適合做數字濾波電路。4總之，可以采用 matlab 來做算法的軟件仿真，用 fpga 來做硬件仿真，也可以直接做成硬件電路，或用 dsp 來實現硬件電路。若使它們相互結合，充分利用它們各自的優點，則能發揮出更大的威力。1.6 matlab 軟件簡介matlab 是英文 matrix laboratory (矩陣實驗室)的縮寫。它是由美國 mathworks 公司推出的用

34、于數值計算和圖形處理的數學計算環境。在 matlab 環境下，用戶可以集成地進行程序設計、數值計算、圖形繪制、輸入輸出、文件管理等各項操作。它優秀的數值計算能天津理工大學中環信息學院 2010 屆本科畢業設計說明書7力和卓越的數據可視化能力使其很快在同類軟件中脫穎而出。matlab 系統最初是由 cleve moler 用 fortran 語言設計的，現在的 matlab 程序是 mathworks 公司用 c 語言開發的。它的第一版(dos 版本 1.0)發行于 1984 年；經過 20年的不斷改進，matlab 已經成為國際上最流行的科學與工程計算的軟件工具，最流行的計算機高級編程語言了，

35、有人稱它為“第四代”計算機語言，它在國內外高校和研究部門正扮演著重要的角色。matlab 語言的功能也越來越強大，不斷適應新的要求提出新的解決方法。可以預見，在科學運算、自動控制與科學繪圖領域 matlab 語言將長期保持其獨一無二的地位。matlab 的基本數據單位是矩陣，它的指令表達式與數學,工程中常用的形式十分相似,故用 matlab 來解算問題要比用 c，fortran 等語言完相同的事情簡捷得多.。包括擁有數百個內部函數的主包和三十幾種工具包(toolbox).工具包又可以分為功能性工具包和學科工具包。功能工具包用來擴充 matlab 的符號計算,可視化建模仿真,文字處理及實時控制等

36、功能。學科工具包是專業性比較強的工具包,控制工具包,信號處理工具包,通信工具包等都屬于此類。開放性使 matlab 廣受用戶歡迎。除內部函數外，所有 matlab 主包文件和各種工具包都是可讀可修改的文件，用戶通過對源程序的修改或加入自己編寫程序構造新的專用工具包。到 70 年代后期，身為美國 new mexico 大學計算機系系主任的 cleve moler，在給學生講授線性代數課程時，想教學生使用 eispack 和 linpack 程序庫，但他發現學生用fortran 編寫接口程序很費時間，于是他開始自己動手,利用業余時間為學生編寫eispack 和 linpack 的接口程序。clev

37、e moler 給這個接口程序取名為 matlab,該名為矩陣(matrix)和實驗室(labotatory)兩個英文單詞的前三個字母的組合。在以后的數年里，matlab 在多所大學里作為教學輔助軟件使用，并作為面向大眾的免費軟件廣為流傳。1983 年春天，cleve moler 到 standford 大學講學，matlab 深深地吸引了工程師johnlittle.john little 敏銳地覺察到 matlab 在工程領域的廣闊前景。同年，他和clevemoler,steve bangert 一起，用 c 語言開發了第二代專業版。這一代的 matlab 語言同時具備了數值計算和數據圖示化

38、的功能。1984 年，cleve moler 和 john little 成立了 math works 公司，正式把 matlab 推向市場，并繼續進行 matlab 的研究和開發。在當今 30 多個數學類科技應用軟件中,就軟件數學處理的原始內核而言，可分為兩大類。一類是數值計算型軟件，如 matlab,xmath,gauss 等，這類軟件長于數值計算,對處理大批數據效率高；另一類是數學分析型軟件，mathematica,maple 等，這類軟件以符號計算見長，能給出解析解和任意精確解，其缺點是處理大量數據時效率較低。mathworks 公司順應多功能需求之潮流，在其卓越數值計算和圖示能力的基

39、礎上，又率先在專業水平上開拓了其符號計算，文字處理，可視化建模和實時控制能力，開發了適合多學科，多部門要求的新一代科技應用軟件 matlab.經過多年的國際競爭，matlab 以經占據了數值軟件市場的主導地天津理工大學中環信息學院 2010 屆本科畢業設計說明書8位。在 matlab 進入市場前，國際上的許多軟件包都是直接以 fortranc 語言等編程語言開發的。這種軟件的缺點是使用面窄，接口簡陋，程序結構不開放以及沒有標準的基庫，很難適應各學科的最新發展，因而很難推廣。matlab 的出現，為各國科學家開發學科軟件提供了新的基礎。在 matlab 問世不久的 80 年代中期，原先控制領域里

40、的一些軟件包紛紛被淘汰或在 matlab 上重建。5時至今日，經過 mathworks 公司的不斷完善，matlab 已經發展成為適合多學科，多種工作平臺的功能強大大大型軟件。在國外，matlab 已經經受了多年考驗。在歐美等高校，matlab 已經成為線性代數，自動控制理論，數理統計，數字信號處理，時間序列分析，動態系統仿真等高級課程的基本教學工具；成為攻讀學位的大學生，碩士生，博士生必須掌握的基本技能。在設計研究單位和工業部門，matlab 被廣泛用于科學研究和解決各種具體問題。在國內，特別是工程界，matlab 一定會盛行起來。可以說，無論你從事工程方面的哪個學科，都能在 matlab

41、里找到合適的功能。1.7 matlab 的語言特點一種語言之所以能如此迅速地普及，顯示出如此旺盛的生命力，是由于它有著不同于其他語言的特點，正如同 fortran 和 c 等高級語言使人們擺脫了需要直接對計算機硬件資源進行操作一樣，被稱作為第四代計算機語言的 matlab，利用其豐富的函數資源，使編程人員從繁瑣的程序代碼中解放出來。matlab 最突出的特點就是簡潔。matlab 用更直觀的，符合人們思維習慣的代碼，代替了 c 和 fortran 語言的冗長代碼。matlab 給用戶帶來的是最直觀，最簡潔的程序開發環境。以下簡單介紹一下 matlab 的主要特點。1語言簡潔緊湊，使用方便靈活，

42、庫函數極其豐富。matlab 程序書寫形式自由，利用其豐富的庫函數避開了繁雜的子程序編程任務，壓縮了一切不必要的編纂工作。由于庫函數都是由本領域的專家編寫，所以用戶不必擔心函數的可靠性。2運算符號豐富。由于 matlab 是用 c 語言編寫的，所以 matlab 提供了 c 語言幾乎一樣多的運算符，靈活使用 matlab 的運算符將使程序變得極為簡短。3高效方便的矩陣和數組運算。matlab 語言像 basic、fortran、c 語言一樣規定了矩陣的算術運算符、關系運算符、邏輯運算符、條件運算符及賦值運算符，而且這些運算符大部分可以毫無改變地照搬到數組間的運算，另外，它不需要定義數組的唯數，

43、并給出矩陣函數、特殊矩陣函數、特殊矩陣專門的庫函數，使之在求解諸如信號處理、建模、系統識別、控制、優化等領域的問題時，顯得大為簡捷、高效、方便，這是其它高級語言所不能比擬的。在此基礎上，高版本的 matlab 已逐步發展到科學及工程計算的其它領域。因此，不久的將來，它一定能名副其實地成為“萬能演算紙式的”科學算法語言。天津理工大學中環信息學院 2010 屆本科畢業設計說明書94matlab 即具有結構化的控制語句，又有面向對象編成的特性。5語法限制不嚴格，程序設計自由度大。為了充分利用 fortran、c 等語言的資源，包括用戶已編好的 fortran、c 語言程序，通過建立 m 文件的的形式

44、，混合編程，方便地調用有關的 fortran、c 語言的子程序。6程序的可移植性很好，基本上不做修改就可以在各種型號的計算機和操作系統上運行。7matlab 的圖形功能強大。在 c 和 fortran 語言里，繪圖都很不容易，但在matlab 里，數據的可視化非常簡單。此外，matlab 還具有較強的編輯圖形界面的能力。8matlab 具有的一項重要特色是擁有功能強大的工具箱。matlab 包含兩個部分；核心部分和各種可選的工具箱。功能性工具箱主要用來擴充其符號計算功能、圖示建模仿真功能、文字處理功能以及與硬件實施交互功能。功能性工具箱能用于多種學科。而學科性工具箱是專業性比較強的；如 con

45、trol toolbox、signal processing toolbox 、communication toolbox 等，這些工具箱都是由該領域內的學術水平很高的專家編寫的，所以用戶無需編寫自己學科范圍內的基礎程序，而直接進行高、精、尖的研究。9源程序的開放性。除內部函數以外，所有 matlab 的核心文件和工具箱文件都是可讀可改變的源文件，用戶可通過對源文件的修改以及加入自己的文件構成新的工具箱。6matlab 軟件自 1984 年推向市場以來，歷經十幾年的發展和競爭，現已成為(ieee 評述)國際公認的最優秀的科技應用軟件。它功能強大、界面友好、語言自然、開放性強的特點是它獲得了對應

46、用學科(特別是邊緣學科和交叉學科)的季強是盈利，并且很快成為應用學科計算機輔助分析、設計、仿真、教學乃至科技文字處理不可缺少的基礎軟件。在歐美等高校，matlab 已成為理工科高級課程的基本工具，成為攻讀學位的大學生、碩士生、博士生必須掌握的技能。在設計研究單位和工業部門，matlab 已經成為研究和解決各種具體工程問題的一種標準軟件。近年來該軟件系統開始在我國國內流行。受到理工科大中專院校釋省級科研人員的重視，這也是本文選擇用它來設計實現數學濾波器原因所在。天津理工大學中環信息學院 2010 屆本科畢業設計說明書10第二章數字濾波器基礎2.1 數字濾波器的基本概念這里所講的數字濾波器都是一個

47、離散的 lti（線形時不變）系統，離散 lti 系統模型如圖 2.1：h h( (n n) )x x( (n n) )y y( (n n) )= =h h( (n n) )* *x x( (n n) )圖 2.1 離散 lti 系統模型fig. 2.1 the model of lti system注：x(n)、y(n)分別是系統的輸入輸出序列，h(n)是系統本身的特性(轉移算子)。系統對于輸入的離散序列 x(n)總有對應的輸出 y(n)。x(n)是離散的信號,每個 x(k)可能有不同的幅值,有了前后不同幅值的變化,就可以引出離散信號的頻率這一性質。數字濾波器就是對不同頻率的數字信號從頻域進行

48、信號分離的時序電路或器件或一段程序。7數字濾波器按功能分為低通、高通、帶通、帶阻、全通濾波器。 （2.1）jnnjenxex)()( （2.2）deexnxjnj)(21)(由序列傅氏變換公式可知，離散信號的傅氏變化是的函數，周期為 2。只需研究-，不需要在整個軸上分析其信號。所以，數字濾波器的通帶分布如圖 2.2 所示。 天津理工大學中環信息學院 2010 屆本科畢業設計說明書11圖 2.2 數字濾波器的通帶分布fig. 2.2 distribution of digital filter pass band2.2 系統的描述模擬系統通常用微分方程描述，離散系統則用差分方程來描述。差分方程可

49、分為非遞歸型和遞歸型兩大類：1、非遞歸型：輸出對輸入無反饋，輸出值僅僅取決于輸入值。 （2.3）),1(),(),1(,)(nxnxnxfny若系統是線性、非移變、因果的，則有 （2.4）0)( )()(kkkaknxany為常數若又有 kn 時，=0，則ka （2.5）nkkkaknxany0)( )()(為常數天津理工大學中環信息學院 2010 屆本科畢業設計說明書122、遞歸型：輸出對輸入有反饋，輸出取決于輸入和反饋。 （2.6),1(),1(,),1(),(),1(,)(nynygnxnxnxfny）若系統是線性、非移變、因果的，則有 (2.7)mkkkkkbaknyaknxbny0n

50、1k)( )( )()(為常數、2.3 系統的傳遞函數對 iir 數字濾波器的差分方程的一般形式 mkkkkkbaknyaknxbny0n1k)( )( )()(為常數、（2.8）兩邊同時進行雙邊 z 變換得： （2.9）mkkkkkzyzazxzbzy0n1k)( )()(得 iir 數字濾波器的傳遞函數： （2.10）nkkkmkkkzazbzxzyzh101)()()(2.4 iir 數字濾波器的基本結構無限長單位取樣響應 iir 系統的主要特點是：1、單位取樣響應是無限長的，即 h(n)，；n2、系統函數 h(z)在有限平面 z 上有極點存在；3、結構上存在著輸出到輸入的反饋網絡，即結

51、構是遞歸的。 實現同一個系統的傳遞函數 h(z)，可以用不同的結構形式，它的主要結構形式有以下天津理工大學中環信息學院 2010 屆本科畢業設計說明書13三種：1、直接型（整準型）：在此形式中，差分方程（2.8）以給定的形式直接實現。系統分為兩個部分，滑動平均部分和遞歸部分（或者分子和分母部分） 。因此這種實現有兩種形式，即直接型和直接型結構。2、級聯型：在此形式中，把系統的傳遞函數 h(z)因式分解成二階子系統，每個子系統叫做二階環節，因此系統的傳遞函數可表示成這些二階環節的乘積形式。每個二階環節以直接形式出現，整個系統的傳遞函數由二階環節的級聯實現。3、并聯型：這種形式與級聯形式類似，但因

52、式分解后，用部分分式展開把 h(z)表示成二階子系統的和，每一個子系統用直接形式實現。整個系統的傳遞函數以子系統的并聯網絡實現。下面對這三種主要結構做具體介紹。2.4.1 直接型從（2.8）式的差分方程可以看出，系統的輸出 y(n)由兩個部分構成：第一部分為，它表示將輸入信號進行延時，組成 m 節的延時網絡，把每mkkknxb0 )(節延時抽頭與常系數相乘，然后再把結果相加，這是一個橫向結構網絡。即實現零點的kb網絡。第二部分為，它表示將輸出信號進行延時，組成 n 節的延時網絡，把每n1k)(knyak節延時抽頭后與常系數相乘，然后再把結果相加。由于這部分是對輸出的延時，故為反ka饋網絡。這部

53、分網絡實現極點。系統的輸出 y(n)由以上這兩部分組成，其信號流圖如圖 2.3 所示。該圖表示的是直接型 iir 系統的結構。圖 2.3 直接型天津理工大學中環信息學院 2010 屆本科畢業設計說明書14fig. 2.3 direct form models2.4.2 直接型圖 2.3 中的系數組相應于 h(z)的分子多項式，而系數組相應于 h(z)的分母多項式。ibia因此，圖 2.3 可以解釋為兩個系統的級聯組成。在線性非時變系統情況下，級聯型系統總的輸入-輸出關系和子系統的先后次序無關。如果先實現 h(z)的極點，后實現 h(z)的零點，并且合并的支路，則可得出 iir 系統直接型結構，

54、其信號流圖如圖 2.4 所示。1z直接型結構的 iir 系統的表達式如式（2.11）所示： （2.11）)()(11)(2110zhzhzazbzhnkkkmkkk 2a1a1nananb2b1b1zky1z1z1z0bxk圖 2.4 直接型fig. 2.4 direct form models 對于 n 階差分方程，直接型結構只需 n 個延時單元，比直接型結構的延時單元少一半。因而在軟件實現時可以節省存儲單元。而在硬件實現，可節省寄存器，故直接型iir 系統結構好于直接型 iir 系統結構。直接型（正準型）的共同缺點： 1.統對濾波器的性能控制作用不明顯。 2.極點對系數的變化過于靈敏，易出

55、現不穩定或較大誤差。 3.運算的累積誤差較大。2.4.3 級聯型直接形式網絡結構可直接由（2.10）式的系統函數得到。如果把分子分母多項式進行因天津理工大學中環信息學院 2010 屆本科畢業設計說明書15式分解，則可將 h(z)寫成： （2.12）21211111111111)1)(1 ()1 ()1)(1 ()1 ()(nkkknkkmkkkmkkzdzdzczhzhzgazh式中的和 。在式（2.12）中，一階因式表示實零點212mmm212nnn和實極點。而二階因式表示共軛零點和，以及共軛極點和。當式（2.10）kgkckhkhkdkd中的所有系數都為實數時，式（2. 12）表示了該系統

56、的零點和極點的分布。該式代表由一階和二階子系統級聯組成的一組結構形式。而我們知道，一個 n 階系統函數可以用它的零、極點表示。由于 h(z)的系數均為實數，因此零、極點只有兩種可能，或者為實數，或者為復共軛對。則整個系統函數可以完全分解成實系數二階因子的形式，即 （2.13）cnkkkkkzazazbzbazh12211221111)(其中表示(n+1)/2 的最大整數。在這種情況下我們已經假設，在將 h(z)寫cnnm 成這種形式時，假設實數極點和實數零點已經合并，并具有奇數個零點，則系統有一個kb2等于零。同樣，如果具有奇數個極點，則系統有一個等于零。從前面對直接形式的討論ka2可知，如果

57、每個二階子系統用直接型實現，就可以得到具有最少存儲的級聯結構。一個四階系統的級聯結構如圖 2.5 所示：-a11z-1b11-a21z-1-a12z-1b12-a22z-1b21b22ax(n)y(n)圖 2.5 四階 iir 數字系統的級聯結構fig. 2.5 fourth-order iir digital system of parallel structures應該特別指出：1.級聯型結構的靈敏度特性優于直接型和正準型結構。2.每一級分子的系數確定一對零點，分母的系數確定一對極點，因為子網絡的零極點也即整體網絡的零極點，所以整個系統的零極點都可以準確的由每一級的系數來調整和控制，天津理

58、工大學中環信息學院 2010 屆本科畢業設計說明書16這樣便于調整濾波器的頻率響應性能。3.級聯結構具有最少的存儲器。2.4.4 并聯型作為系統函數的另一種表示形式，可以將 h(z)表示成如下形式的部分分式展開： （2.14）21011*11010)1)(1 ()1 (1)(nkkkkknkkknkkkzpzpzebzdazgzh由于式(2.10)中的 h(z)系數為實數，因此，式中各系數均為實數。如果，則nm 在式(2.14)中不包括項。上式可以解釋為一階和二階系統的并聯組合。如果將實00nkkkzg數極點成對組合，則可寫成 (2.15)psnkkkkknkkkzazazeezgzh1221

59、111001)(對應的信號流圖如圖 2.6 所示：g1z-1gn sz-n s-a11g0z-1e11e01-a21z-1e0ps-a1ps-a2psz-1z-1e1psx(n)y(n)圖 2.6 n 階 iir 數字系統的并聯結構fig. 2.6 n-order iir digital system of parallel structures并聯支路的極點也是整個網絡的極點，而并聯支路的零點卻不是整個網絡的零點，因此并聯網絡能獨立的調整系統的極點位置，但不能控制零點。并聯結構的靈敏度優于直接型和正準型，運算累積誤差比級聯型小。8天津理工大學中環信息學院 2010 屆本科畢業設計說明書17第

60、三章 iir 數字濾波器的設計方法及過程3.1 基于脈沖響應不變法的 iir 濾波器設計脈沖響應不變法的設計原理是使得數字濾波器的單位取樣響應序列模仿模擬濾波)(nh器的沖激響應。)(tha將模擬濾波器的沖激響應進行等間隔采樣，使得數字濾波器的單位取樣響應)(tha剛好等于的采樣值，即：)(nh)(tha (3.1)()()(nththnhantta其中 t 為采樣周期。若令為模擬濾波器的系統函數，是數字濾波器的系統函數，顯然，)(sha)(zh是的拉普拉斯變換，而是的 z 變換。模擬信號的拉普拉斯變換和)(sha)(tha)(zh)(nh它的采樣序列的 z 變換的關系為： (3.2)kaez