1、DCT變換與KLT變換在圖像壓縮中的應用 專業：電子與通信工程 學號：16213026 16213024 姓名： 目錄1 報告簡介12 算法原理12.1 DCT算法原理12.2 KLT算法原理33 仿真分析53.1 DCT仿真分析53.2 KLT仿真分析75 總結8參考文獻9附錄：MATLAB代碼101DCT變換與KLT變換在圖像壓縮中的應用1 報告簡介隨著數據化時代的開啟，圖像壓縮技術越來越成熟并且應用越來越廣泛，本文在研究近年來圖像壓縮一般方法的基礎上，介紹了基于DCT變換的圖像壓縮的基本原理及其實現步驟，以及擴展研究了KL變換的圖像壓縮方法，并使用MATLAB,針對同一幅原始圖像進行不同

2、方法的壓縮比較，給出了實驗仿真結果。本論文首先提出了用MATLAB來實現DCT變換的數字圖像壓縮技術, 方法簡單,快速,且誤差小。然后介紹了KLT圖像壓縮編碼的具體過程和方法。最后分析了圖像經過2種壓縮方法時，圖像質量的變化情況。2 算法原理2.1 DCT算法原理DCT變換利用傅立葉變換的性質。采用圖像邊界褶翻將像變換為偶函數形式，然后對圖像進行二維傅立葉變換，變換后僅包含余弦項，所以稱之為離散余弦變換。DCT編碼屬于正交變換編碼方式，用于去除圖像數據的空間冗余。變換編碼就是將圖像光強矩陣(時域信號)變換到系數空間(頻域信號)上進行處理的方法。在空間上具有強相關的信號，反映在頻域上是在某些特定

3、的區域內能量常常被集中在一起，或者是系數矩陣的分布具有某些規律。我們可以利用這些規律在頻域上減少量化比特數，達到壓縮的目的。圖像經DCT變換以后，DCT系數之間的相關性就會變小。而且大部分能量集中在少數的系數上，因此，DCT變換在圖像壓縮中非常有用，是有損圖像壓縮國際標準JPEG的核心。從原理上講可以對整幅圖像進行DCT變換，但由于圖像各部位上細節的豐富程度不同，這種整體處理的方式效果不好。為此，發送者首先將輸入圖像分解為或塊，然后再對每個圖像塊進行二維DCT變換，接著再對DCT系數進行量化、編碼和傳輸；接收者通過對量化的DCT系數進行解碼，并對每個圖像塊進行的二維DCT反變換。最后將操作完成

4、后所有的塊拼接起來構成一幅單一的圖像。對于一般的圖像而言，大多數DCT系數值都接近于0，所以去掉這些系數不會對重建圖像的質量產生較大影響。因此，利用DCT進行圖像壓縮確實可以節約大量的存儲空間。基于DCT的JPEG圖像壓縮編碼算法原理可用圖1表示：構造N*N塊量化器正向DCT熵編碼壓縮圖像原圖像熵解碼逆向DTC量化器構造N*N塊壓縮圖像重構圖像（a）編碼器（b）解碼器圖1 DCT算法原理框圖在編碼過程中，首先將輸入圖像顏色空間轉換后分解為88大小的數據塊，然后用正向二維DCT把每個塊轉變成64個DCT系數值，其中1個數值是直流(DC)系數，即88空域圖像子塊的平均值，其余的63個是交流(AC)

5、系數，接下來對DCT系數進行量化，量化過程實際上就是對 DCT 系數的一個優化過程，它是利用了人眼對高頻部分不敏感的特性來實現數據的大幅簡化。量化過程實際上是簡單地把頻率領域上每個成份，除以一個對于該成份的常數，且接著四舍五入取最接近的整數。這是整個過程中的主要有損運算。量化是圖像質量下降的最主要原因。量化后的數據，有一個很大的特點，就是直流分量相對于交流分量來說要大，而且交流分量中含有大量的0。這樣，對這個量化后的數據如何來進行簡化，從而再更大程度地進行壓縮呢。將量化后的系數進行“Z”字形編排，這樣做的特點就是會連續出現多個0，即充分利用相鄰兩圖像塊的特性，來再次簡化數據，從而再更大程度地進

6、行壓縮。最后將變換得到的量化的DCT系數進行編碼和傳送，這樣就完成了圖像的壓縮過程。在解碼過程中，形成壓縮后的圖像格式，先對已編碼的量子化的DCT系數進行解碼，然后求逆量化并把DCT系數轉化為88樣本像塊(使用二維DCT反變換)，最后將操作完成后的塊組合成一個單一的圖像。這樣就完成了圖像的解壓過程。一個塊的二維DCT的定義如下： （1）對應的塊的二維IDCT則為： （2）式中，空域的、，頻域的、取值集合均為，其中： （3）將離散余弦變換變換寫為矩陣形式為： （4） （5）其中，為正交變換矩陣，為原圖像塊，為變換域圖像塊。2.2 KLT算法原理KLT變換又稱Hotelling變換，特征向量變換或

7、主分量方法。KL變換是遙感圖像增強和信息提取中用得最多的線性變換，是對原波段圖像進行波譜信息的線性投影變換，在盡可能不減少信息量的前提下，將原圖像的高維多光譜空間的像元亮度值投影到新的低維空間，減少特征空間維數，達到數據壓縮、提高信噪比、提取相關信息、降維處理和提取原圖像特征信息的目的，并能有效地提取影像信息。它可使原來多波段圖像經變換后提供出一組不相關的圖像變量，最前面的主分量具有較大的方差，包含了原始影像的主要信息，所以要集中表達信息，突出圖像的某些細部特征，可采用主分量變換來完成。KL變換是圖像壓縮中的一種最優正交變換。KLT的突出優點是去相關性好，它根據具體的圖像統計特性來決定它的變換

8、矩陣，對圖像有最好的匹配效果，能將信號在變換域的相關性全部解除，是最小均方誤差下的最佳變換。恢復圖像KLT變換量化區域抽樣哈弗曼編碼KLT逆變換量化恢復抽樣恢復哈弗曼譯碼原圖像KLT原理框圖可表示為：圖2 KLT算法原理框圖KLT變換就是對8x8的圖像矩陣求自協方差矩陣，對自協方差矩陣做特征值分解，得到由特征值從小到大排列的對角矩陣，和由特征向量組成的矩陣，特征矩陣與圖像矩陣做乘法，稱為正交變換，即KL變換，的到的新的矩陣每一行稱為一個新的變量，其中第一行幾乎包含了總方差以上的信息，其余行包含的信息依次減少，新矩陣的個元素之間是不相關的，因而KL變換去掉了變量之間的相關性。KLT是對向量做的一

9、個正交變換，目的是變換到后去除數據相關性。其中，是特征向量組成的矩陣，滿足，當都是實數時，是正交矩陣。用表示向量的平均值，的協方差矩陣記為，通過變換，得到： （6）寫成矩陣形式： （6）由此可見，做了KLT變換之后呢，成為了對角陣，也就是對于任意，有，當有，因此利用KLT去除了數據相關性。而且，的方差與協方差矩陣的第個特征值相等即。3 仿真分析利用MATLAB對算法進行仿真分析，測試環境為：操作系統為Win7，CPU為i5-3210M，內存為4GB，使用的MATLAB版本為R2012b。利用MATLAB產生仿真圖形界面如圖3所示。圖3 DCT和KLT仿真圖形界面設計3.1 DCT仿真分析輸入一

10、幅圖像，通過改變DCT量化值進行圖像壓縮，同時，利用相關參數對圖像質量進行對比分析，圖4為經過DCT壓縮的效果對比圖。 （a）原始圖像 （b）量化程度為16 （c）量化程度為32 （b）量化程度為64圖3 運用 DCT變化進行圖像壓縮效果對比圖通過肉眼觀察，可以發現量化程度越大圖像越清晰，反之，越模糊，細節信息越差。采用不同的量化程度可以改變圖像的清晰度及文件的大小，本文將利用圖像的相關性能參數對壓縮圖像進行比較。圖像的方差、平均梯度、信息熵及對比度與圖像質量正相關。圖像方差越大，表明圖像灰度層次越豐富；平均梯度越大，圖像層次越多；信息熵越大，表明圖像的信息量越大。通過表1，可以清晰地看出量化

11、程度越大，得到的壓縮圖像性能越好，相對的圖像大小也增大，但原圖相比，圖像性能變化不明顯，但壓縮效果明顯。表1 DCT變換得到壓縮圖像性能參數比較方差平均梯度信息熵（bit）文件大小（KB）圖3（a）1.9545e+035.43047.177126.4圖3（b）1.8785e+033.44707.14129.82圖3（c）1.9011e+034.10217.153812圖3（d）1.9167e+034.38527.155812.73.2 KLT仿真分析利用KLT算法對圖4（a）圖進行圖像壓縮得到圖5。 （a）量化程度為16 （b）量化程度為32 （c）量化程度為32 （b）量化程度為64圖4運用

12、 KLT變化進行圖像壓縮效果對比圖從圖像的方差、信息熵及平均梯度對圖像性能進行分析，得到表2。表2 KLT變換得到壓縮圖像性能參數比較方差平均梯度信息熵（bit）文件大小（KB）圖3（a）1.9545e+035.43047.177126.4圖4（a）1.8484e+032.88657.12269.21圖4（b）1.8759e+033.68477.140411.4圖4（c）1.9031e+034.32257.156112.8圖4（d）1.9212e+034.45887.156312.8由表2可以得到KLT變換可以對圖像進行壓縮，并且采用相同的量化程度，DCT比KLT變化效果較好。5 總結本文敘述

13、的圖像壓縮編碼算法，DCT是正交變換，它可以將8*8圖像的空間表達式轉換為頻率域，只需要用少量的數據點表示圖像；DCT產生的系數很容易被量化，因此能獲得好的塊壓縮；DCT算法的性能很好，它有快速算法，因此它在軟件中容易實現；而且DCT算法是對稱的，所以利用逆DCT算法可以用來解壓縮圖像。由實驗仿真結果可知，當圖像壓縮比增大時，也即壓縮效率減小時，圖像的質量也將降低，人們可以根據需要的圖像的質量來規定壓縮比的大小。圖像經過不同的壓縮比后，圖像的質量變化的同時，圖像的信噪比也跟著變化。壓縮比增大時，則在信道傳輸的時候丟失的信息就越多，這樣使得信號與噪聲的比值變小。利用DCT變換進行圖像壓縮可以節約

14、大量的存儲空間。壓縮應該在最合理地近似原圖像的情況下使用最少的系數。由于之前存在對KLT變換的誤解，在進理論補充后，發現該方法并不能全部消除變換后系數間的相關性，各數據塊之間相關性沒有消除，數據塊也可能存在極弱的相關性。由于水平有限，并不能解決，即使如此，該方法應用于圖像的壓縮編碼中效果也極其明顯。KLT沒有快速算法，因此對信息量大的圖像編碼速度比較慢，但在此次試驗中用的是較小的圖像，所以處理速度效果不明顯。參考文獻1N Ahmed，T Natarajan，K.T.Rao Discrete cosine transformJIEEE TranOn Computers, 1974, C-23:

15、90-93 2 全子一 圖像信源壓縮編碼及信道傳輸理論與新技術M 北京：北京工業大學出版社， 20063 何小海，主編數字圖像通信及其應用M成都:四川大學出版社，2006 4 羅開仲，黃士坦，楊華民DCT算法及其與小波編碼在圖像處理中的比較J 計算機技術 與發展，2006，16(9) 5 Xiong Z，Orchard M，Guleryuz OA DCT-based embedded image coder JIEEE Signal Processing Letters，1996，11(3):289-290 6Shaorong Chang，Lawrence Carin，A modified S

16、PIHT algorithm for image coding with a joint MSE and classification distortion measure J. IEEE Transactions on Image Processing， 2006， 15(3): 713-725 附錄：MATLAB代碼%主程序clc;clearI=imread(football.jpg);clf reset set(gcf,unit,normalized,position,0.1,0.2,0.45,0.45);%設置圖形窗大小set(gcf,defaultuicontrolunits,nor

17、malized);set(gcf,defaultuicontrolfontsize,11);set(gcf,defaultuicontrolfontname,楷書);set(gcf,defaultuicontrolhorizontal,left);% set(gcf,menubar,none); %刪除圖形窗工具條str=KLT DCT性能比較;set(gcf,name,str ,numbertitle,off); %書寫圖形窗名z=32;str1=量化程度;htext=uicontrol(gcf,style,text,. %制作靜態說明文本框 position,0.1,0.8,0.33,0.

18、1,. string,str1,sprintf(%1.4g,z);hslider=uicontrol(gcf,style,slider,. %創建滑動鍵 position,0.1,0.6,0.8,0.1,. max,64,min,0,. %設最大阻尼比為2，最小阻尼比為0.02 sliderstep,1/64,1/64,.%箭頭操縱滑動步長1%，游標滑動步長5% Value,32); %缺省取阻尼比等于0.5 set(hslider,callback,. %操作滑動鍵,引起回調 z=get(gcbo,value);,. %獲得滑動鍵狀態值 callcheck(htext,str1,z); %被

19、回調的函數文件 hpush=uicontrol(gcf,Style,push,. %制作與列表框配用的按鍵 position,0.1,0.05,0.18,0.15,string,原始圖像);set(hpush,callback,jpeg_show(I) hpush=uicontrol(gcf,Style,push,. %制作與列表框配用的按鍵 position,0.4,0.05,0.18,0.15,string,KLT);set(hpush,callback,jpeg_klt(I,z) hpush=uicontrol(gcf,Style,push,. %制作與列表框配用的按鍵 position

20、,0.7,0.05,0.18,0.15,string,DCT);set(hpush,callback,jpeg_dct(I,z) %灰度圖像的klt正反變換 function y=klt(x,mask) IM=x;%讀取圖像 IM=im2uint8(IM); %若圖像尺寸不是8的整數倍，補0，補成8的整數倍 cc1,cc2=size(IM);%cc1為IM的行數，cc2為IM的列數 a=8-mod(cc1,8); b=8-mod(cc2,8); cc3=cc1+a; cc4=cc2+b; IM(cc3,cc4)=IM(cc1,cc2); IM(1:cc1,cc2+1:cc4)=IM(1:cc1

21、,cc2-b+1:cc2); IM(cc1+1:cc3,1:cc2)=IM(cc1-a+1:cc1,1:cc2); IM(cc1+1:cc3,cc2+1:cc4)=IM(cc1,cc2); %若圖像尺寸不是8的整數倍，補成8的整數倍 k=1; for l1=1:8:(cc3-7) %將圖像矩陣-8X8的矩陣存起來 for l2=1:8:(cc4-7) F(:,:,k)=IM(l1:l1+7,l2:l2+7); k=k+1; end %將圖像矩陣-8X8的矩陣存起來 end F=uint8(F); k=k-1; qq=k; d=0; d=uint32(d); IM=uint32(IM); for

22、 n1=1:cc3 %求均值 for n2=1:cc4 d=IM(n1,n2)+d; end end d=d/(cc1*cc2); d=uint8(d); %求均值 IM=uint8(IM); B2=zeros(64); jz=d;%jz為灰度均值 for ee=1:qq A=F(:,:,ee); TZZ;%調用函數求一個8X8的矩陣的特征矩陣 B2=B2+B; end B=B2/ee;%B為均方差矩陣 V,D=eig(B);%求特征向量與特征值 Q=V; for k=1:qq A=F(:,:,k); ee=1; for n1=1:8 %將元素變換成一維 for n2=1:8 %將元素變換成一

23、維 X(ee,1)=A(n1,n2); YSZ(ee,1)=mask(n1,n2);%YSZ為mask變換成的一維數組 ee=ee+1; end %將元素變換成一維 end %將元素變換成一維 X=double(X); Y=Q*X;%變換后的矩陣放在Y中 Y=flipud(Y); Y=Y.*YSZ; Y=flipud(Y); X1(:,:,k)=Q*Y;%求還原后的矩陣 end k=1; for l1=1:8:(cc3-7) %將矩陣8X8矩陣放入IM2中 for l2=1:8:(cc4-7)%將矩陣8X8矩陣放入IM2中 H2=X1(:,:,k); ee=1; for n1=1:8 for

24、n2=1:8 C2(n1,n2)=H2(ee,1); ee=ee+1; end end IM2(l1:l1+7,l2:l2+7)=C2; k=k+1; end %將矩陣8X8矩陣放入IM2中 end %將矩陣8X8矩陣放入IM2中 IM=IM(1:cc1,1:cc2); IM2=IM2(1:cc1,1:cc2); y=uint8(IM2);function jpeg_dct(I,z)tic% I=imread(football.jpg);%讀入原始圖像，該圖片在安裝matlab的目錄中找，原圖為jpeg圖象Y=im2double(I);%圖像存儲類型轉換，matlab讀入圖像的數據是uint8

25、，而matlab中數值一般采用double型（64位）存儲和運算。所以要先將圖像轉為double格式的才能運算T=dctmtx(8);%離散余弦變換矩陣，使用由dctmtx函數返回的DCT變換矩陣，這種方法較適合于較小的輸入方陣（例如88或1616），計算二維DCT，矩陣T及其轉置是DCT函數P1*X*P2的參數%B = blkproc(A,m n,fun, parameter1, parameter2, .)%x就是每一個分成的8*8大小的塊，P1*x*P2相當于像素塊的處理函數，p1=T p2=T,也就是fun=p1*x*p2=T*x*T的功能是進行離散余弦變換%x代表A，對一副原始圖像，

26、選取它的最左上角8x8的矩陣，并將每一個像素值轉換到-128到127的范圍內，得到矩陣x.%RGB圖像分三個通道，分別處理B(:,:,1)=blkproc(Y(:,:,1),8 8,P1*x*P2,T,T);%將原始圖像8x8的像素塊轉換成代表不同頻率分量的系數集，DCT后的64個DCT系數與DCT前的64個像素塊相對應B(:,:,2)=blkproc(Y(:,:,2),8 8,P1*x*P2,T,T);B(:,:,3)=blkproc(Y(:,:,3),8 8,P1*x*P2,T,T);%對原圖像進行DCT變換z=fix(z);%量化，向0靠攏取整t(1:z)=1;t(z+1:64)=0;m

27、ask=jpeg_Dzz8(t);%Z字形掃描B2(:,:,1)=blkproc(B(:,:,1),8 8,P1.*x,mask);%只保留DCT變換的左上角10個系數，數據壓縮，丟棄右下角高頻數據，達到圖像壓縮的目的B2(:,:,2)=blkproc(B(:,:,2),8 8,P1.*x,mask);%變換后的系數值較大的會集中在區域的左上部，即低頻分量都集中在左上部。保留的也是這一部分。B2(:,:,3)=blkproc(B(:,:,3),8 8,P1.*x,mask);%其他部分的系數被舍去，在恢復信號時對它們補 0 。這樣以來，由于保留了大部分圖像信號能量，在恢復信號后，其質量不會產生

28、顯著變化。%數據壓縮，丟棄右下角高頻數據I2(:,:,1)=blkproc(B2(:,:,1),8 8,P1*x*P2,T,T);%重構圖像I2(:,:,2)=blkproc(B2(:,:,2),8 8,P1*x*P2,T,T);I2(:,:,3)=blkproc(B2(:,:,3),8 8,P1*x*P2,T,T);%進行DCT反變換，得到壓縮后的圖像figure;set(gcf,unit,normalized,position,0.4,0.5,0.3,0.3);%設置圖形窗大小set(gcf,menubar,none); %刪除圖形窗工具條str=量化程度;set(gcf,name,str

29、 sprintf(%1.4g,z),numbertitle,off); %書寫圖形窗名imshow(I2)title(DCT變換壓縮后的圖像)imwrite(I2,dct.jpg);%輸出壓縮后的圖像，文件名為football_dct.jpga=toc;uicontrol(style, text, unit, normalized, . position, 0 0 0.2 0.1, string, num2str(a), . FontSize, 18)%搜索方式：對角的Z字形掃描;二維的圖像矩陣利用一維的搜索方式。function y=jpeg_Dzz8(x)t=1;for k=2:9 for

30、 m=1:k-1 if rem(k,2)=0 y(k-m,m)=x(t); t=t+1; else y(m,k-m)=x(t); t=t+1; end endendfor k=10:16 for m=k-8:8 if rem(k,2)=0 y(k-m,m)=x(t); t=t+1; else y(m,k-m)=x(t); t=t+1; end endendfunction callcheck(htext,str1,z)set(htext,string,str1,sprintf(%1.4g,z); %更新靜態文本框內容 2function jpeg_klt(I,z)tic% I=imread(f

31、ootball.jpg);%讀入原始圖像，該圖片在安裝matlab的目錄中找，原圖為jpeg圖象z=fix(z);%量化，向0靠攏取整t(1:z)=1;t(z+1:64)=0;mask=jpeg_Dzz8(t);%Z字形掃描I2(:,:,1)=klt(I(:,:,1),mask);I2(:,:,2)=klt(I(:,:,2),mask);I2(:,:,3)=klt(I(:,:,3),mask);figure;set(gcf,unit,normalized,position,0.2,0.5,0.3,0.3);%設置圖形窗大小set(gcf,menubar,none); %刪除圖形窗工具條str=

32、量化程度;set(gcf,name,str sprintf(%1.4g,z),numbertitle,off); %書寫圖形窗名imshow(I2);title(KLT變換壓縮后的圖像) imwrite(I2,klt.jpg);%輸出壓縮后的圖像，文件名為klt.jpga=toc;uicontrol(style, text, unit, normalized, . position, 0 0 0.2 0.1, string, num2str(a), . FontSize, 18)function jpeg_show(I)% I=imread(football.jpg);figure;set(gcf,unit,normalized,position,0,0.5,0.3,0.3);%設置圖形窗大小set(gcf,menubar,none); %刪除圖形窗工具條str=KLT DCT性能比較;set(gcf,name,str ,numbertitle,off); %書寫圖形窗名imshow(I) %顯示原始圖像title(原始圖像)%求一個8X8的矩陣的特征矩陣，被調用函數 k=1; for n1=1:8 %掃描8X8矩陣 fo