1、 如果一個隨機變量是由大量相互獨立的隨機因如果一個隨機變量是由大量相互獨立的隨機因素的綜合影響所造成，而每一個別因素對這種綜合素的綜合影響所造成，而每一個別因素對這種綜合影響中所起的作用不大影響中所起的作用不大. 則這種隨機變量一般都服則這種隨機變量一般都服從或近似服從正態(tài)分布從或近似服從正態(tài)分布.正態(tài)分布是最常見的分布。正態(tài)分布是最常見的分布。 現(xiàn)在研究獨立隨機變量之和所特有的規(guī)律性問現(xiàn)在研究獨立隨機變量之和所特有的規(guī)律性問題題.3.3 中心極限定理中心極限定理擲擲顆骰子，出現(xiàn)點數(shù)顆骰子，出現(xiàn)點數(shù)X的分布律為：的分布律為：X123456P中心極限定理的客觀背景中心極限定理的客觀背景61616

2、1616161P654321 61擲擲顆骰子，出現(xiàn)點數(shù)和顆骰子，出現(xiàn)點數(shù)和X=X1+X2的分布律為：的分布律為：X=X1+X223456789101112P361362363364365366365364363362361P12111098765432 361362363364365366擲擲顆骰子，出現(xiàn)點數(shù)和顆骰子，出現(xiàn)點數(shù)和X=X1+X2+X3的分布律為：的分布律為：X345678910P X1112131415161718P21627216252162121615216102166216321612161216321662161021615216212162521627擲擲顆骰子，出現(xiàn)點

3、數(shù)和顆骰子，出現(xiàn)點數(shù)和X=X1+X2+X3的分布律為：的分布律為： 2161216321662161021615216212162521627/P中心極限定理的客觀背景中心極限定理的客觀背景20211,),( ipBXi),20(2021pBXXXX 概率論中有關(guān)論證獨立隨機變量的和的極限分布概率論中有關(guān)論證獨立隨機變量的和的極限分布是正態(tài)分布的一系列定理稱為是正態(tài)分布的一系列定理稱為中心極限定理。中心極限定理。 由于無窮個隨機變量之和可能趨于由于無窮個隨機變量之和可能趨于，故我們，故我們不研究不研究n個隨機變量之和本身而個隨機變量之和本身而考慮它的標準化的隨考慮它的標準化的隨機變量機變量，即

4、：，即： nkknknkkknXDXEXY111)()(正態(tài)分布正態(tài)分布的極限分布是否為標準的極限分布是否為標準討論討論nY中心極限定理的意義與作用中心極限定理的意義與作用它不僅提供了計算它不僅提供了計算獨立隨機變量之和獨立隨機變量之和的近似的近似概率的簡單方法，概率的簡單方法，而且有助于解釋為什么很多而且有助于解釋為什么很多自然群體的經(jīng)驗自然群體的經(jīng)驗頻率呈現(xiàn)出鐘形曲線頻率呈現(xiàn)出鐘形曲線這一值得注意的事實這一值得注意的事實.討論討論2 2種簡單情形種簡單情形. .2.德莫佛德莫佛-拉普拉斯定理拉普拉斯定理(二項分布的正態(tài)近似二項分布的正態(tài)近似) 若隨機變量若隨機變量 Xk，k = 1,2,相

5、互獨立，相互獨立，且且，有有有限有限數(shù)學期望數(shù)學期望E(Xk)=和方差和方差D(Xk)= . 2 nnN, nnXYnkkn 1 nkkX1近似近似),(10N近似近似獨立同分布中心極限定理獨立同分布中心極限定理設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 Xk，k = 1,2,相互獨立相互獨立，且，且同分布同分布，有限有限數(shù)學期望數(shù)學期望E(Xk)=和方差和方差D(Xk)= .若隨機變量序列若隨機變量序列 nnXXDXEXYnkknkknkknkkn 1111)()(lim)(limxYPxFnnnYn 則則定理定理3.3.1（獨立同分布中心極限定理）（獨立同分布中心極限定理）)(x 的標準化變量的標準化變量 nk

6、kX1111,(0,1).nkknkkXnXnNn 近近似似地地、定定理理表表明明，獨獨立立同同分分布布的的隨隨機機變變量量之之和和當當 充充分分大大時時，),()1 , 0(2nNXNnX 近似地近似地近似地近似地或或定理的另一種形式為定理的另一種形式為 3、雖然在一般情況下，我們很難求出、雖然在一般情況下，我們很難求出 的分的分布的確切形式，但當布的確切形式，但當n很大時，可以求出很大時，可以求出近似分布近似分布. nkkX121(,);nkkXN nn 近近似似地地 nkkXnX11. 2當當Yn = X1 X2 XnXi B( 1, p )，相互獨立，并且相互獨立，并且 E( Xi )

7、 = p , D( Xi ) = p(1p)()(limxxpnpnpYPnn 1 若隨機變量序列若隨機變量序列 Yn ，Yn B( n, p ) ，n =1,2，定理定理3.3.2（棣莫佛（棣莫佛-拉普拉斯中心極限定理）拉普拉斯中心極限定理） 設(shè)隨機變量序列設(shè)隨機變量序列 Yn ，Yn B( n, p ) ，n =1,2， 對于任意的實數(shù)對于任意的實數(shù) x ，有，有 xpnpnpYPnn)(lim1)(x中心極限定理的應(yīng)用中心極限定理的應(yīng)用 對于獨立的隨機變量序列對于獨立的隨機變量序列 ，不管，不管 服從什么分布，服從什么分布，只要它們只要它們是同分布，且有有限的數(shù)學期望是同分布，且有有限的

8、數(shù)學期望E(Xi)=和方差和方差D(Xi)=，那么，當那么，當n充分大時，充分大時，nX), 2 , 1(niXi niiX1),(2 nnN近近似似)(211xnnXxPnkk 近似計算公式近似計算公式)()(12xx 若若X B( n, p )，對于足夠大的對于足夠大的n，有，有21xXxP )()()(pnpnpxpnpnpXpnpnpxP11121 )()(pnpnpxpnpnpx1112 例例1：設(shè)某種電器元件的壽命服從：設(shè)某種電器元件的壽命服從小時的小時的，現(xiàn)隨機地抽取，現(xiàn)隨機地抽取，設(shè)它們的壽命是相，設(shè)它們的壽命是相互獨立的，求這互獨立的，求這16只元件的只元件的壽命的總和壽命的

9、總和小小時的概率。時的概率。解：解：設(shè)各電器元件的壽命為設(shè)各電器元件的壽命為 )()(iiXDXE),(24001600N2100100, 161kkX近似近似 )(1920161iiXP).(801 )(400160019201 則則16只元件的壽命的總和只元件的壽命的總和小時的概率為小時的概率為)(400160019204001600161 iiXP 21190788101. ),(24001600N 161kkX近似近似例例2.設(shè)某學校有設(shè)某學校有1000名住校生，每人每天都以名住校生，每人每天都以80%的概率去圖書館上自習，問圖書館至少設(shè)多少個座位，才的概率去圖書館上自習，問圖書館至少

10、設(shè)多少個座位，才能以能以99%的概率保證去上自習的同學都有座位？的概率保證去上自習的同學都有座位？).,(801000BX )()(XDXE16020801000800801000 .解：解：設(shè)每天去圖書館上自習的同學有設(shè)每天去圖書館上自習的同學有又設(shè)圖書館至少設(shè)又設(shè)圖書館至少設(shè)個座位才能以個座位才能以的概率保證的概率保證去上自習的同學都有座位。去上自習的同學都有座位。 nXP990.由棣莫夫由棣莫夫 拉普拉斯中心極限定理，有拉普拉斯中心極限定理，有 160800 )(,)(XDXE3326512800. n查表查表 nXP160800160800 nXP )65.12800( n990. 8

11、29 n 137XP設(shè)射擊命中率為設(shè)射擊命中率為，連續(xù)獨立射擊，連續(xù)獨立射擊次，次，X表示命中的次數(shù)表示命中的次數(shù)，則用中心極限定理估算，則用中心極限定理估算 1001kkXX )()(kkXDXE),(10021 kXk01pk0.90.109010.),(2310N近似近似則由中心極限定理：則由中心極限定理：310133103107 P13101 P 112 )( 137XP6830. 近似近似100 iiXX),(2310N09010.)(,.)( kkXDXE2.某工廠有某工廠有100臺車床彼此獨立地工作著，臺車床彼此獨立地工作著，每臺車床的實際工作時間占全部工作時間每臺車床的實際工作

12、時間占全部工作時間的的80%。利用中心極限定理計算任意時刻利用中心極限定理計算任意時刻有有70至至86臺車床在工作的概率。臺車床在工作的概率。 8670XP ).().(5251927099380193320.).(. ).,(80100BX.2080100801008620801008010020801008010070 XP.5120801008010052 XP用機器包裝味精用機器包裝味精,每袋味精凈重為隨機變每袋味精凈重為隨機變量量,期望值為期望值為100克克,標準差為標準差為10克克,一箱內(nèi)裝一箱內(nèi)裝200袋味精袋味精,求一箱味精凈重大于求一箱味精凈重大于20500克的概克的概率率?

13、解解設(shè)一箱味精凈重為設(shè)一箱味精凈重為X, 箱中第箱中第i袋味精凈重為袋味精凈重為Xi,(i=1,2,200)則則 X1,X2,X200獨立同分布獨立同分布, EXi=100, DXi=102=100, 2001iiXX且由獨立同分布的中心極限定理得且由獨立同分布的中心極限定理得:所求為所求為)200002000020500(1 002. 0)54. 3(1 故故 一箱味精凈重大于一箱味精凈重大于20500的概率為的概率為0.0002.20500120500 XPXP3.在次品率為在次品率為 的一大批殘品中，任意的一大批殘品中，任意抽取抽取件產(chǎn)品，利用件產(chǎn)品，利用中心極限定理中心極限定理計算抽取

14、的產(chǎn)品中次品件數(shù)在計算抽取的產(chǎn)品中次品件數(shù)在之間的概率之間的概率),(61360B 7050XP6561360613607065613606136065613606136050 XP150102 84280. 1二項分布二項分布(精確結(jié)果）精確結(jié)果）2中心極限定理中心極限定理3泊松分布泊松分布4切比雪夫不等式切比雪夫不等式9624. 0 9379. 0 7685. 0 9590. 0 010616000.XP的幾個近似值的幾個近似值比較比較),(616000BX若若例例 設(shè)電站供電所有設(shè)電站供電所有10000盞電燈盞電燈, 夜晚每一夜晚每一盞盞燈開燈的概率都是燈開燈的概率都是0.7, 而假定開

15、關(guān)時間彼此而假定開關(guān)時間彼此獨立獨立, 估計夜晚同時開著的燈數(shù)在估計夜晚同時開著的燈數(shù)在6800與與7200之間的概率之間的概率. )7 . 0 ,10000(,BXX 則則設(shè)設(shè)開開著著的的燈燈數(shù)數(shù)為為83.45,7000 npqnp解解200|7000|72006800 XPXP 36. 483.457000XP99999. 01)36. 4(2 某車間有某車間有200臺車床，工作時每臺有臺車床，工作時每臺有60%的時間的時間在開動，每臺開動時耗電在開動，每臺開動時耗電1千瓦，問應(yīng)供給這個車間千瓦，問應(yīng)供給這個車間多少千瓦的電力才能以多少千瓦的電力才能以99.9%的把握保證正常生產(chǎn)？的把握保

16、證正常生產(chǎn)？令應(yīng)供電令應(yīng)供電m千瓦，千瓦，X為同時開動的車床數(shù)，為同時開動的車床數(shù)，X B(200, 0.6)， 099.9%PXm則01201201200484848XmPXmP120120()()4848m 1203.0848m142n120()48m 例例 .105.)10, 0(), 2 , 1(201的近似值的近似值，求，求記記上服從均勻分布上服從均勻分布機變量，且都在區(qū)間機變量，且都在區(qū)間設(shè)它們是相互獨立的隨設(shè)它們是相互獨立的隨個噪聲電壓個噪聲電壓一加法器同時收到一加法器同時收到 VPVVnkVnkkk20151001 2201002052012(),()12(, ,).V(,)k

17、kkkE VD VkVN 近近似似地地易易知知由由定定理理知知，于是于是 20121005201052012100520105VpVP 387. 02012100520Vp解解 387. 020121005201Vp348. 0)387. 0(1 348. 0105VP 即有即有小結(jié)小結(jié)中中心心極極限限定定理理中心極限定理中心極限定理獨立同分布獨立同分布中心極限定理中心極限定理拉普拉斯拉普拉斯棣莫弗棣莫弗 ),()()(212 nnNXXDXEnkkkk近似地近似地， )1(,(),(pnpnpNpnNnn近似地近似地 注注是相互獨立的是相互獨立的隨機變量隨機變量,21XX作業(yè)作業(yè)，某保險公司

18、開辦一年人身保險業(yè)務(wù)，被保險某保險公司開辦一年人身保險業(yè)務(wù)，被保險人每年需交付保險費人每年需交付保險費160元，若一年內(nèi)發(fā)生元，若一年內(nèi)發(fā)生重大人身事故，其本人或家屬可獲重大人身事故，其本人或家屬可獲2萬元賠萬元賠金，已知該市人員一年內(nèi)發(fā)生生重大人身金，已知該市人員一年內(nèi)發(fā)生生重大人身事故的概率為事故的概率為0.005，現(xiàn)有，現(xiàn)有5000人參加此項人參加此項保險，問保險公司一年內(nèi)從此項業(yè)務(wù)所得保險，問保險公司一年內(nèi)從此項業(yè)務(wù)所得到的總收益在到的總收益在20萬元到萬元到40萬元的概率是多萬元的概率是多少？少？解解X=一年內(nèi)發(fā)生重大人身事故的人數(shù)一年內(nèi)發(fā)生重大人身事故的人數(shù)則則XB（5000，0.005), np=25,np(1-p)=4.99 ,近似地近似地, , 1 , 099. 425NX 一年的收益為一年的收益為XX28025000016. 0 30204028020 XPXP 99. 4252099. 42530 99. 4253099. 42599. 42520XP 6839. 010025. 12002