1、1148巖土力學2014 年對于地鐵運行引起的環境振動問題，目前已經提出了許多分析模型和計算方法。Chua 等1建立了 有限元分析二維模型，考慮了地鐵-地基土-結構的相互作用，計算分析了一幢銀行建筑在地鐵振動環境下的動響應；Sheng 等2利用離散波數法建立了 一個預測模型，用以計算成層土中的圓形襯砌或無襯砌隧道在固定或移動簡諧荷載作用下引起的土體動力響應；Gardien 等3開發了隧道振動的三維有限 元模型，模型中包含 3 個子模型，考慮了從振動產生到向外傳播的整個過程；Forrest 等45首先提出了 Pipe-in-pipe（PiP）模型，并結合雙梁無砟軌道 模型，用解析的方法研究了全空

2、間中隧道的動力響應問題，考慮了軌道系統、襯砌結構與地層三者的耦合；Degrande 等6建立了三維模型用于計算地鐵 列車引起的自由場振動，用有限元和邊界元方法分別模擬隧道和土體，研究了隧道和土體的動力相互作用問題；Gupta 等7比較了 PiP 模型和周期性有限 元-邊界元耦合模型，兩種模型在分析全空間中襯砌隧道的響應問題時，結果具有較好的一致性；劉維寧等8建立車輛-軌道基礎-襯砌結構-地層系統的 三維有限元振動響應分析模型，對地鐵引起地面振動響應進行計算分析；謝偉平等9利用有限元分析了地鐵運行引起的土的波動特性，對列車荷載進行 了簡化，并且考慮了地基土不同性質的影響；和振興等10將軌道、隧道

3、結構和列車荷載簡化后建立三維有限元動力分析模型，計算了列車引起的地面振 動，以分析隧道地基彈性模量和隧道埋深對地面振動響應的影響。以上的研究無論采用數值模擬還是解析方法，都是用單相介質模擬土體進行研究的。 然而，很多時候地鐵隧道埋深較大，在富水地區一般位于地下水位以下，把土體視為飽和兩相介質更接近于實際情況。已有的關于移動荷載動力響應的 研究表明，當荷載移動速度接近地基 Rayleigh 波波速時，將飽和土體簡化為單相介質將帶來較大的誤差，無法準確預測荷載引起的振動11。 目前已有一些學者用飽和多孔介質模型模擬土體，考慮流-固兩相的耦合作用，研究隧道與土體的動力相互作用。通過 Laplace

4、變換，Senjuntichai等12得到了無限飽和多孔彈性介質中無限長隧道（無襯砌）內表面作用軸對稱荷載和流體壓力條件 下的瞬時響應解答；劉干斌等13引入一種黏彈性本 構模型來描述介質的流變和松弛性質，研究了無限黏彈性飽和多孔介質中圓柱孔洞（有襯砌）表面受軸對稱簡諧荷載和流體壓力作用下的頻域響應問 題；文獻14研究了移動的空間軸對稱荷載作用下飽和土中無襯砌隧洞的動力響應，并討論了移動荷載的移動速度對隧洞動力響應的影響；考慮襯砌與 周圍飽和土體的不完全連結，Hasheminejad 等15研究了軸對稱環形移動荷載作用下的無限長圓形襯砌及周圍土體的動力響應，并重點分析了襯砌與土體 不完全連結的影響

5、；通過引入勢函數，黃曉吉等16研究了飽和土中帶有襯砌的圓形隧洞在移動環形荷載作用下的動力響應，計算并比較了 3 種隧洞模型（單相彈性土體隧洞、飽和土體隧洞和飽和土襯砌 隧洞）的動力響應。以上研究中雖然將土體視為飽和多孔介質，但都是在平面應變或者軸對稱情況下 進行分析，無法研究地鐵運行引起的振動及孔壓等沿隧道軸向或環向的空間分布和傳播規律。顯然，采用三維模型模擬地鐵荷載作用下的隧道動力響應 和土體波動更貼近實際。本文用無限長圓柱殼來模擬襯砌，用 Biot 飽和多孔介質模型1718來模擬土體，研究了全空間飽和 土中圓形襯砌隧洞在徑向單位簡諧點荷載作用下的 三維動力響應。引入兩類勢函數來表示土骨架的

6、位 移和孔隙水壓力，并利用修正 Bessel 方程來求解各 勢函數，結合邊界條件，得到頻率-波數域內位移和 孔隙水壓力的解答，最后進行 Fourier 逆變換得到時 間-空間域內的動力響應。計算了隧道周圍土體中一 點、隧道仰拱及其下方土體的動力響應，并根據計 算結果分析了荷載振動頻率和土體滲透性對土體和 襯砌位移響應及土體孔壓的影響。2 控制方程及求解 襯砌結構振動方程本文采用無限長圓柱殼模擬襯砌，襯砌的三維 模型以及所采用的圓柱坐標系統如圖 1 所示，襯砌 在軸向 x、環向 y、徑向 z 的振動方程如下4：xy, u, qyiwtF=ex, u, qxhz, w, qzaq圖 1襯砌結構的三

7、維模型Fig.1 Three-dimensional model for lining第 4 期曾 晨等：簡諧荷載作用下飽和土體中圓形襯砌隧道三維動力響應分析11492u1 - v 2u1 + 2uw矩陣A中各元素表達式可參見文獻4中附錄A.1。2.2飽和土體運動方程假定襯砌周圍土體為均質飽和多孔介質，引入Biot 波動方程1718：a+- v+x22a q 2 2 q 2 xh2 1 - v 2u3 w 1 - v 3 w + - +12 2a3 q 2 x32a2 xq 2 1 - v21 - v2 2uaq - ra= 0xEt 2Eh+ (l + a M + m )u2mu+ a Mw

8、= r u& + r w&j , ji b i f i i , jjj , ji1 + v 2u1 - v 2u1 2uw a Mu j , ji + Mwj , ji = rf u&i + mw&i + bw&i+ a+- +2 q 2 a q 2 q 2 xq（5）式中：ui、wi 分別為土骨架位移分量和流體相對于 土骨架的位移分量；ui、wi 上的“”表示對時間 t 求導； l 、 m 為土骨架的 Lam 常數； a 、M 為土顆 粒和孔隙流體壓縮性的常數； b = h / kd 為反映黏性 耦合的參數，h 、kd 分別為流體的動力黏滯系數和h2 3(1 - v) 2u3 - v 3w

9、1 - v2+ + aq -x22a x2q y12 2aEh1 - v2 2ura= 0Et 2h2 4 w2 4 w1 4 w u1 u - v+- w - a+12 x4a x2 q 2 a3 q 4 xa q土的動力滲透系數； r = n r + (1 - n )r ，n0 為土h2 3u1 - v 3u3 - v 3u2 2 w 1b 0 f0 s-+ w + +體的孔隙率， r 、 r 分別為流體密度和土骨架密12 x32a2 xq 2 2a x2qa3a3 q 2 f s度； m = rf / n0 。均質飽和多孔介質的本構方程為s ij = ldij e + 2meij - a

10、dij pf1 - v21 - v2 2 waqz - ra= 02t（1）EhE（6）式中：E、 r 、 分別為襯砌的彈性模量、密度、泊松比；a 為襯砌殼體中面的半徑；h 為襯砌厚度；環 向角度q 見圖 1；u、u 、w 為襯砌中面沿 x、y、z方向的位移；qx、qy、qz 為襯砌中面沿 x、y、z 方向的凈應力，等于作用在襯砌內、外表面荷載所產生 應力的差值。位移分量及應力分量見圖 1。當作用在無限長圓柱形襯砌的荷載為簡諧荷載，并且荷載作用線位于q =0平面內時，各應力 分量為p = -a Me + M zf式中： z = -wi ,i ； s ij 為土體單元總應力； e = ui ,i

11、 為土骨架的體積應變； eij = (ui , j + u j ,i ) / 2 為土骨架應變； d ij 為 Kronecker 符號；pf 為孔隙水壓力。根據 Helmholtz 矢量分解定理，可以把式（5）中土骨架位移 u 和流體相對于骨架的位移 w 用標量 勢和矢量勢分別表示為u = j + y ，w = c + （7）q = Q%cos nq ei (wt +x x ) 式中：j 、y 分別為土骨架部分的標量勢函數和矢量勢函數； c 、 分別為流體部分的標量勢函數和 矢量勢函數。在穩態情況下，將式（7）代入波動方程（5），x xnq = Q%sin nq ei (wt +x x )c

12、os nq ei (wt +x x )（2）y ynq = Q%z zn式（1）中的各位移可表示為it并將時間因子 e代入計算中，可以得到兩組耦合方程：u = U%cos nq ei (wt +x x )sin nq ei (wt +x x)n%u = V（3）ncos nq ei (wt +x x ) l + a 2 M + 2m a M 2j - r w 2- r w 2w = W%bf = nM2 c-r w 2 -mw 2 + iwba M f式中：i = -1 ；w 為角頻率；x 為波數；Q% 、Q% 、xnyn j Q% （ U% 、 V 、 W ）為應力（位移）在環向模態zn n

13、 n n數 n 下的量（n 為不小于 0 的整數），而上標“”表明這 6 個變量為頻率-波數域內的量。 將式（2）、（3）帶入式（1），寫成矩陣形式為%（8） c 0 2y -r w 2 -r w 2 m y = bf（9） - r w2 -mw 2 + iwb000 fU% nQ% xn2式中： 為 Laplace 算子。為公式推導簡便起見， % -a(1 - v2 ) Q% yn A Vn =（4）it這里及下文變量中的時間因子 e均被省略。由式（8）、（9）得到如下的 Helmholtz 方程19：Eh % % Wn Qzn 1150巖土力 學2014 年22jf,s + kf,sjf,

14、s = 0（10）（11）將式（7）展開，再利用式（14）有土骨架沿 r、z 方向的位移分量表達式為2 2 y + kt y = 0式中：kf、ks 和 kt 分別代表飽和土中快縱波（P1 波）、慢縱波（P2 波）和橫波（S 波）的復波數，并且有jj1 yys + z - qu = +frrrr qz1 jfjs y ry z2= B m B - 4 AC（17）uq =+ + -k 2（12）r qq zrf,s2 A= jf + js + 1 ( ry q ) - 1 y rk 2 = Cu（13）zzzrrr qtD其中： A = (l + 2m )M ， B = (l +a 2 M +

15、 2m ) 為了求解 Helmholtz 方程（10）、（11），設勢函數具備如下形式：(mw2 - ibw) +r w2 M - 2r w2a M ， C = r w 2 (mw 2 -bfb2 42ibw) - rf w ， D = m(mw - ibw) 。利用式（8）（13），經推導整理，各勢函數可表達為j = f (r )cos(nq )eix zf 1j = f (r)cos(nq )eix z s 2y = g (r )sin(nq )eix z（18）r rj = jf + js ，c = mf jf + msjs ， = m ty其中：（14）y = g (r )cos(nq

16、 )eix z qqy = g (r )sin(nq )eix zz z(l + a 2 M + 2m )k 2 - r w2r w2f,s bm=，m = -f。將式（15）、（16）、（18）代入式（10）、（11），f,stmw 2 - ibwr w 2 - a Mk 2ff,s有r 2 f + rf - (x 2 - k 2 )r 2 + n2 f = 0襯砌周圍的全空間飽和土體三維模型及所采用的圓柱坐標系統如圖 2 所示，土體模型的內徑為 a（與圖 1 中襯砌相匹配），外徑無窮大。在圓柱坐標 系統 (r, q , z) 下，式（10）、（11）中 Laplace 算子可表達為41 1

17、f1r 2 f + rf - (x 2 - k 2 )r 2 + n2 f = 02 2s2r 2 g + rg - (x 2 - k 2 )r 2 + n2 + 1g + 2ng = 0qr rtrr 2 g + rg - (x 2 - k 2 )r 2 + n2 + 1g + 2ng = 0qqtqr222= 1 jf,s + jf,s + j f,s + jf,s1r 2 g + rg - (x 2 - k 2 )r 2 + n2 g = 0 2j（15）z ztzf,sr rr 2r 2q 2 z 2（19） 2y = 2y - y r -2 y q e式中的求導符號表示對 r 求導。

18、利用規范變換不變性，可以設 g式（19）中的第 3 式可得+r 2 r 2 rrq= - g ，代入 ry2 y- q +r 2ye + 2y e（16）q qz zr 2 r 2qr gr + rgr - (x - kt )r +(n + 1) gr = 0222 22（20）式中：er、eq 、ez 分別為沿圓柱坐標系主方向 r、q 、z 的單位向量；y r 、y q 、y z 是y 的分量。可見式（19）中的第 1、2、5 式為 n 階修正 Bessel方程，式（20）為 n+1 階修正 Bessel 方程，它們的 解具有如下形式：zf1 = A1 I n (a1r) + B1 K n

19、(a1r )f 2 = A2 I n (a 2 r ) + B2 K n (a 2 r )e , uq qez , uzr（21）er , urg r = - gq = Ar I n +1 (b r ) + Br K n +1 (b r) qg z = Az I n (b r ) + Bz K n (b r )aR222 222222式中：a1 = x - kf ， a 2 = x - ks ， b = x - kt ；In、Kn 分別為第 1、2 類 n 階修正 Bessel 函數；A1、B1、A2、B2、Ar、Br、Az 和 Bz 為待定系數。將式（18）中各勢函數代入式（17）中，并注意

20、到 g = - gr ，各位移分量可進一步表達為圖 2飽和土體的三維模型Fig.2 Three-dimensional model for saturated soil第 4 期曾晨等：簡諧荷載作用下飽和土體中圓形襯砌隧道三維動力響應分析1151式（26）進行整理，可得飽和土體的土骨架位移及總應力的矩陣形式為u = f + f + ix g + n g cos(nq )eix zr 1 2z rru - g sin(nq )eix z （22）= - n ( fr) + ix g+ fuu = u = S U Deix zr z （27）q1 2rq uz ) - n + 1 g= ix (

21、f- g cos(nq )eix zu+ fr r z1 2rs rrs = = D eix zs rq S T （28）對本構方程式（6）中的兩項 ui ,i 、wi ,i 進行如下操作： s rz B10T式中： D = A1cos nqBz ui ,i = u = j = jf + js = -kf jf - ks js ，22222，A2 B2 Ar BrAz00222wi ,i = w = c = mf jf + ms js =S = ；U 和 T 均為 38sin nq00022-mf kf jf - ms ks js（23）cos nq 將上兩式代入式（6）中，并使用圓柱坐標系下

22、各應變的表達式4，有的矩陣。矩陣U 中各元素的具體表達式為38np = (a + m )Mk 2j + (a + m )Mk 2ju11 =I n (a1r) + a1 I n +1 (a1r) ，ff f fs s srurs= -a k 2j - a k 2j + 2mnrr f f f s s su =K n (a r ) - a Ka r1 1 n +1 (1 ) ，r12r（24）= m 1 ur + uq - uq ns r qrru13 =I n (a 2 r ) + a 2 I n +1 (a 2 r ) ，rqr= m ur + u z u = n K (nsa r ) -

23、a Ka r) ，2 n +1 ( 2 zrrz142ru15 = ix I n +1 (b r ) ， u16 = ix K n +1 (b r ) ，其中： af,s = l + a M (a + mf,s ) 。聯立式（18）、（22）、（24），可得nnu17 =I n (b r ) ， u18 =K n (b r) ；rrp = (a + m )Mk 2 f + (a + m )Mk 2 f cos(nq )eix z nnff f 1s s 2u 21 = -I n (a1r ) ， u 22 = -K n (a1r ) ，rr+ 2m ( f + f ) + 2mix g +s=

24、 -a k 2 f - a k 2 frrf f 1 s s 21 2rnnu = - I (a r ) ， u= - K (a r ) ，2m n g - 2m n g cos(nq )eix z23n 224n 2rrz zr 2ru25 = ix In +1 (b r) ， u26 = ix Kn +1 (b r ) ，nrnn( f1 + f2) + 2m 2 ( f1 + f2 ) + mix gr - s rq = -2mu27 = - I n (b r) - b In +1 (b r ) ，rrnn2n + 1mu= -K (b r ) + b K + (b r ) ；mixgr

25、 - m g z + g z - m 2 g z sin(nq )errix z28nn 1rru31 = ix In (a1r ) ， u32 = ix Kn (a1r ) ，u33 = ix I n (a 2 r ) ， u34 = ix Kn (a 2 r ) ，u35 = -b I n (b r ) ， u36 = b K n (b r) ，u37 = 0 ， u38 = 0 。矩陣T 38 中各元素的具體表達式為if + f - m g - m n 1 g +(2 )s = 2m xrz1rrrm1 - x 2 g + mix n gcos(nq )eix zn + rz r 2r（

26、25） n - n t = 2m+ a 2 - a k 2 I (a r) -2修正 Bessel 函數具備如下遞推關系41 f f n 111r 2In ( z) = (n / z)In (z) + In +1 (z)Kn ( z) = (n / z)Kn ( z) - K n +1 (z )In ( z) = In -1 ( z) - (n / z )I n (z)a12mI n +1 (a1r ) ,r（26） n - n t = 2m+ a 2 - a k 2 K (a r ) +21 f f n 112Kn ( z) = - Kn -1 ( z) - (n / z)K n (z) 2

27、rm a1a1r ) ,2K n +1 (將式（21）分別代入式（22）、（25）中，利用r1152巖土力學2014 年 n - nt = 2m+ a 2 - a k 2 I (a r ) -2各分量為132s s n 2r 2U%T%rnrrn % % 2m a 2 I(a r) ,Uq n = U D ，Trq n = T D（29）n +1 2 % % rU zn Trzn n - nt = 2m+ a 2 - a k 2 K (a r ) +22.3襯砌結構與飽和土體的相互作用為了研究隧道襯砌與土體的相互作用，考慮襯 砌與土體之間的邊界條件為（1）襯砌殼體的應力等于襯砌內、外表面荷載

28、所產生應力的差值；（2）襯砌與土體接觸面處位移、應力均連續；（3）襯砌與土體接觸面完全不透水；（4）土體在無限遠處的位移衰減為 0。如圖 1 所示，假設襯砌內表面 x = 0、q = 0（仰 拱）處作用一個沿徑向 z 的固定單位簡諧點荷載， 它在 x、y、z 方向產生的應力分量為142 s s n 2r 22m a 2 K(a r) ,n +1 2rt = 2mixb I (b r ) - 2mix n + 1 I(b r) ，15nn +1rt= -2mixb K (b r ) - 2mix n + 1 K(b r ) ，n +116nrn2 - nnt17 = 2mI n (b r ) +

29、 2mb I n +1 (b r ) ，rr 2n2 - nnt18 = 2mK n (b r ) - 2mb K n +1 (b r ) ；rr 2n2 - nnt21 = -2mI n (a1r) - 2m a1 I n +1 (a1r ) ，rd (x)d (q )r 2n2 - niwtpx = py = 0 ， pz =e（30）ant22 = -2mK n (a1r ) + 2m a1 K n +1 (a1r) ，rr 2n 2 - n式中：d (g) 為狄拉克 d 函數。該荷載在頻率-波數域內的各應力分量為4nt23 = -2mI n (a 2 r ) - 2m a 2 I n

30、+1 (a 2 r) ，rr 2n2 - nn = 0= 1/ 2a,P%= P% = 0 ，P%n（31）t24 = -2mK n (a 2 r ) + 2m a 2 K n +1 (a 2 r) ，rxn ynzn 1/ a,n 0r 2t= mixb I (b r ) - 2mix n + 1 I(b r ) ，根據第 1 個邊界條件，由式（4）有襯砌與土體接觸面處為25nn +1rt= -mixb K (b r ) - 2mix n + 1 k(b r ) ，U%Q%P%T%26nn +1rnxnxnzxn- Eh 22 bV%Q%P%T%n - n=-（32） An yn yn zy

31、n t27 = -2m- mb I n (b r ) + 2mI n +1 (b r ) ，ra(1 - v2 ) r 2W%Q%P%T%n zn zn zzn outside22 bn - nt28 = -2m- mb K n (b r ) - 2mK n +1 (b r ) ；r% %式中： Tzxn 、 Tzyn 、 Tzzn 為土體作用在襯砌外表面的應力分量。注意到圖 1、2 所采用圓柱坐標系的主方向并不 完全一致，根據第 2 個邊界條件，比較兩圖可得r 2nt31 = 2mixI n (a1r ) + 2mixa1 I n +1 (a1r ) ，rnt32 = 2mixK n (a1

32、r ) - 2mixa1 K n +1 (a1r ) ，ru u z , u uq , w -urn（33）t33 = 2mixI n (a 2 r ) + 2mixa 2 I n +1 (a 2 r ) ，s -s , s -s , s srrqzz rrzxrz zyn式中：s zx 、 s zy 、s zz 為圖 1 坐標體系下的應力，它們各自在頻率-波數域內對應的量即為式（32）中t34 = 2mixK n (a 2 r ) - 2mixa 2 K n +1 (a 2 r ) ，rt= -m n b I (b r ) - m (x 2 + b 2 ) Ib r ) ，nn +1 (%的

33、、。Tzxn Tzyn Tzzn文 獻 4 已 經 說 明 當 r 時 ， In (g) 而 Kn (g) 0 ，根據第 4 個邊界條件，式（27）、（28） 中 In 和 In+1 的系數應為 0，即35rt= m n b K (b r ) - m (x 2 + b 2 ) Kb r ) ，nn +1 (36rnnt37 = mixI n (b r ) ， t38 = mixK n (b r ) 。rrA1 = A2 = Ar = Az = 0（34）比較式（27）、（28）與式（2）、（3）可知，環向模態數 n 下位移 u 和應力s 在頻率-波數域內的同時利用式（33）、（34），可得襯砌

34、與土體接觸第 4 期曾晨等：簡諧荷載作用下飽和土體中圓形襯砌隧道三維動力響應分析1153面處的位移、應力為U% U%n zn- P%B 1 1 - Eh xn A U + T P% B 2 2 = F = a(1 - v )r = a r = a % yn %Vn = U n =P%B r r = a zn G % - % Wn U rn r = aB 0 z （40） B1 uuuuuuu32343638B2 = U u再通過式（35）、（38）第 1 式，得到不同環向模態數 n 下 r = R (R a) 處的位移、孔壓為 U% zn F B 28 222426r = a r -u-u-u

35、-u1218 r = a B 14 16 z （35） U% U n F %r = R（41）=Tzxn -Trzn -U% G 0r = R % rn %Tzyn = -Trn = P% fnr = R % r = a%Tzzn outside Trrn最后，進行 Fourier 逆變換，可得飽和土體中點(r, q , z) 處在時間-空間域內的土骨架位移分量、 孔壓表達式為B1 -t32t34t36t38B 2 = T-t F -t-t-tB 28 222426r = ar tttt 1218 r = a B U% cos nq rnu r 1416 z %uq =Uq n sin nq

36、eix z dx eiwt1（36） （42） - %u z pf 2 n = 0 U zn cos nq 將式（35）、（36）代入式（32）中，有 Pfn cos nq % %Pxn -Eh % 注意當 r = a 時，ur、u 、uz 同時也表示襯砌中 AU F = Pyn - T F （37）qa(1 - v2 )r = ar = a 面的位移。%Pzn 算例和分析在本文算例中的荷載振動頻率 f = w /(2)，取單3結合式（34），展開式（25）中 pf 的表達式得= G F cos(nq )eix zpf 07（38）位點荷載的最大振動頻率為 80 Hz 。計算結果中pf= G

37、F cos(nq )eix zUr、U 、Uz 和 Pf 分別表示式（42）中土骨架的徑rq向、環向、軸向位移和孔壓的幅值。為驗證本文模型的正確性，將飽和土體退化為式中：環向模態數 n 下孔壓 pf 在頻率-波數域內的%量為 Pfn ； G0 及 G 均為 14 的矩陣。矩陣G0 14 、 G14 中各元素的具體表達式為單相介質土體（ r 、b、a 、M、m 取 10-4），其余f參數同文獻4，計算點（r = 20 m，q = 90，z = 0）處的位移與文獻4中相應點的位移進行對比，對比 結果見圖 3。從圖可以看出，二者結果吻合較好，驗證了本文方法的正確性。= M (a + m ) k 2

38、K(a r ) ，g011f f n 1= M (a + m ) k 2 K(a r ) ，g012s s n 2g013 = 0 ， g014 = 0 ；16= M (a + m ) k 2 n K(a r) ，g(a r ) - a K4f f rn 1 1 n +1 111qr12F= M (a + m ) k 2 n K(a r) - a K(a r) ，g8s s rn 2122 n +1 2g13 = 0 ， g14 = 0 。根據第 3 個邊界條件，即 pf4= 0 ，有0rr = a010 2030 4050 607080荷載頻率/HzG F = 0（39）4圖 3本文與 Fo

39、rrest 等 的結果對比r = aFig.3 Comparisons between present workand Forrests work聯立式（37）、（39），有位移/(10-6 mm/kN)本文結果 Uq本文結果 UrForrest 等 結果 Uorrest 等4結果 U1154巖 土力學2014 年接下來的算例中所采用的各模型參數見表 1，其中襯砌參數從文獻4選取，部分飽和土體參數從 文獻20選取。圖 4 給出了土體 b 值不同時，襯砌周圍飽和土體中 A 點（r = 20 m，q = 90，z = 20 m）的位移幅值隨荷載振動頻率 f 變化的曲線。為了比較，圖 4中還給出了單

40、相彈性土體（泊松比取 ）中對應的 位移曲線。表 1 模型計算參數Model parameters for calculationTable 1襯砌參數飽和土體參數r /(g/cm3)r f / (g/cm3)r s / (g/cm3)M/MPa b/(Ns/m4)E/MPava/mh/ml /MPam /MPan0a5104510310610102.50.330.2530201.002.600.41.0重合。而當頻率 f 超過最大峰值頻率后，隨著土體b 值的增大（土體滲透性變差），各位移分量均有所 增大，但增大的趨勢逐漸減小。b = 108 Ns/m4 時的各分量曲線與 b = 1010 Ns

41、/m4 時的各曲線基本接 近，若 b 1010 Ns/m4，各曲線將不再隨 b 值增大而增大，這說明當襯砌周圍土體為滲透性較差的黏性土時，b 值的變化對土體位移響應的影響很小。A點的位移分量Uq 要明顯大于分量 Ur、Uz。比較圖4(a)、(c)，Ur、Uz 曲線表現出的變化規律非常相似，數值大小也較為接近，這可能與 A 點距離荷載作用 點的軸向和徑向距離相等（r = z = 20 m）有關。頻率 f 20 Hz 之后，飽和土中 A 點的位移分量曲線均出現有規律的波動，波動周期都接近 6 Hz， 產生這種波動的原因是土體中彈性波的干涉。襯砌各斷面的振動都對 A 點的響應均有貢獻，其中荷載作用點

42、處的影響最大。A 點距離荷載作用點 m， 在 b 值較大的情況下取土體 P1 波波速近似等于文獻20中完全無滲流時的 P1 波波速 270 m/s，按照文 獻 4 給 出 的 近 似 計 算 方 法 可 得 波 動 周 期 為270/(228.4) = Hz，與 6 Hz 較為接近。說明 f 20 Hz 之后，由襯砌傳播到 A 點的 P2、S 波已大幅 衰減，P1 波占主導，因此，Uq 曲線表現出的波動 性較小（Uq 方向與 P1 波傳播方向接近垂直）。比較圖 4 中飽和土體與彈性土體的響應，兩種土體中 A 點各位移幅值曲線的波動規律各異，相互 之間的大小存在明顯差別。由于Uq 要遠大于 Ur、 Uz，根據圖 4(b)可知，當 b 107 Ns/m4，A 點在飽 和土體中的位移響應要大于其在彈性土體中的響 應。因此，當土體滲透性較差時，若采用彈性模型 來模擬隧道周圍土體，將低估土體的響應水平。可見在富水地區研究地