1、會計學1極限運算法則極限運算法則時, 有,min21定理定理1. 有限個無窮小的和還是無窮小 .證證: 考慮兩個無窮小的和 .設,0lim0 xx,0lim0 xx,0,01當100 xx時 , 有2, 02當200 xx時 , 有2取則當00 xx22因此.0)(lim0 xx這說明當0 xx 時,為無窮小量 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第1頁/共26頁說明說明: 無限個無限個無窮小之和不一定不一定是無窮小 !例如，例如，22233312limnnnnn13 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 類似可證: 有限個有限個無窮小之和仍為無窮小 . 1,nn 時是又 如無 窮 小 ，.1

2、1不不是是無無窮窮小小之之和和為為個個但但nn第2頁/共26頁證證: 設, ),(10 xxMu 又設,0lim0 xx即,020, 當),(20 xx時, 有M取,min21則當),(0 xx時 , 就有uuMM故,0lim0uxx即u是0 xx 時的無窮小 .推論推論 1 . 常數與無窮小的乘積是無窮小 .推論推論 2 . 有限個無窮小的乘積是無窮小 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第3頁/共26頁oyx.sinlimxxx解解: 1sinx01limxx由定理 2 可知.0sinlimxxxxxysin說明說明 : y = 0 是xxysin的漸近線 .機動 目錄 上頁 下頁 返回

3、 結束 第4頁/共26頁,)(lim,)(limBxgAxf則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf證證: 因,)(lim,)(limBxgAxf則有BxgAxf)(,)(其中,為無窮小) 于是)()()()(BAxgxf)()(BA由定理 1 可知也是無窮小, 再利用極限與無窮小BA的關系定理 , 知定理結論成立 .定理定理 3 . 若機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第5頁/共26頁,)(lim,)(limBxgAxf且),()(xgxf則.BA)()()(xgxfx利用保號性定理證明 .說明說明: 定理 3 可推廣到有限個函數相加、減的情形 .提示提示: 令機動 目錄 上

4、頁 下頁 返回 結束 第6頁/共26頁,)(lim,)(limBxgAxf則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf提示提示: 利用極限與無窮小關系定理及本節定理2 證明 .說明說明: 定理 4 可推廣到有限個函數相乘的情形 .推論推論 1 .)(lim)(limxfCxfC( C 為常數 )推論推論 2 .nnxfxf )(lim)(lim( n 為正整數 )例例2. 設 n 次多項式,)(10nnnxaxaaxP試證).()(lim00 xPxPnnxx證證:)(lim0 xPnxx0axaxx0lim1nxxnxa0lim)(0 xPnBA機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束

5、第7頁/共26頁為無窮小(詳見詳見P44)B2B1)(1xg)(0 xx,)(lim,)(limBxgAxf且 B0 , 則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf證證: 因,)(lim,)(limBxgAxf有,)(,)(BxgAxf其中,設BAxgxf)()(BABA)(1BB)(ABBA因此由極限與無窮小關系定理 , 得BAxgxf)()(lim)(lim)(limxgxfBAxgxf)()(為無窮小,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第8頁/共26頁,lim,limByAxnnnn則有)(lim) 1 (nnnyx nnnyxlim)2(,00)3(時且當BynBAyxn

6、nnlimBABA提示提示: 因為數列是一種特殊的函數 , 故此定理 可由定理3 , 4 , 5 直接得出結論 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第9頁/共26頁31lim3xxx,)()()(xQxPxR其中)(, )(xQxP都是多項式 ,0)(0 xQ試證: . )()(lim00 xRxRxx證證: )(lim0 xRxx)(lim)(lim00 xQxPxxxx)()(00 xQxP)(0 xR說明說明: 若,0)(0 xQ不能直接用商的運算法則 .例例4.934lim223xxxx)3)(3() 1)(3(lim3xxxxx6231 若機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第10

7、頁/共26頁.4532lim21xxxx解解: x = 1 時3245lim21xxxx0312415124532lim21xxxx分母 = 0 , 分子0 ,但因機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第11頁/共26頁.125934lim22xxxxx解解: x時,分子.22111125934limxxxxx分子分母同除以,2x則54分母原式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第12頁/共26頁為非負常數 )nmba,0(00mn 當mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 mn 當mn 當第13頁/共26頁定理定理7. 設0lim

8、( ),xxxa且 x 滿足100 xx時,( ),xa又lim( ),( ),uaf uA ux則有0lim ( )xxfxAufau)(lim證證: Aufau)(lim,0,0當au0時, 有 Auf)(0lim( )xxxa,0,02當200 xx時, 有( ) xa對上述取,min21則當00 xx時( ) xaau 故0Axf)(Auf)(,因此式成立.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第14頁/共26頁定理定理7. 設0lim ( ),xxxa且 x 滿足100 xx時,( ),xa又則有0lim ( )xxfxAufau)(lim 說明說明: 若定理中若定理中0lim ( )

9、,xxx 則類似可得0lim ( )xxfxAufu)(lim機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 lim( ),( ),uaf uA ux第15頁/共26頁解解: 令.93lim23xxx932xxu已知ux3lim61 原式 =uu61lim6166機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第16頁/共26頁解解:.11lim1xxx11lim1xxx1) 1)(1(lim1xxxx) 1(lim1xx2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第17頁/共26頁1. 極限運算法則(1) 無窮小運算法則(2) 極限四則運算法則(3) 復合函數極限運算法則注意使用條件！使用條件！2. 求函數極限的方法(1

10、) 分式函數極限求法0) 1xx 時, 用代入法( 分母不為 0 )0)2xx 時, 對00型 , 約去公因子x)3時 , 分子分母同除最高次冪(2) 復合函數極限求法設中間變量機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第18頁/共26頁思考思考題題若若0)( xf，且且Axfx )(lim，問問：能能否否保保證證有有0 A的的結結論論？試試舉舉例例說說明明.第19頁/共26頁思考題解答思考題解答不能保證不能保證.例例xxf1)( , 0 x有有01)( xxf )(limxfx. 01lim Axx第20頁/共26頁._1sinlim520 xxx、._33lim132 xxx、一、填空題一、填空

11、題:._11lim231 xxx、._)112)(11(lim32 xxxx、._5)3)(2)(1(lim43 nnnnn、._coslim6 xxxeex、練練 習習 題題第21頁/共26頁._2324lim72240 xxxxxx、._)12()23()32(lim8503020 xxxx、二、求下列各極限二、求下列各極限:)21.41211(lim1nn 、hxhxh220)(lim2 、)1311(lim331xxx 、第22頁/共26頁38231lim4xxx 、)(lim5xxxxx 、1412lim6 xxx、2lim71 nmnmxxxxx、第23頁/共26頁一一、1 1、-