1、 第二章有限差分法的基本知識1 1 差分方程差分方程 有限差分法和有限元法是解偏微分方程的兩種主要的數值方法。由于數字電子計算機只能存儲有限個數據和作有限次運算，所以任何一種適用于計算機解題的方法，都必須把連續問題離散化，最終化成有限形式的代數方程組。 )1 . 1()()0 ,(0,0 RxxfxutRxxuctu題題考考慮慮對對流流方方程程的的初初值值問問解解過過程程和和原原理理。解解的的一一些些概概念念，說說明明求求方方法法求求偏偏微微分分方方程程數數值值為為例例，引引入入用用差差分分以以最最簡簡單單一一維維對對流流方方程程 稱稱為為時時間間步步長長。稱稱為為空空間間步步長長，間間距距間

2、間距距記記為為節節點點為為網網格格結結點點（節節點點），它它們們的的交交點點稱稱域域的的直直線線形形成成的的網網覆覆蓋蓋區區軸軸軸軸和和平平行行于于網網格格剖剖分分可可以以采采用用兩兩組組00).,(),(, 2, 1, 0, 2 , 1 , 0 hnjtxjjhxxnntttxnjjn1 1 區域的剖分區域的剖分( (區域的離散化）區域的離散化）xt0),(njtx高等數學中，高等數學中，我們學習過我們學習過Taylor公式：公式：有有階階的的導導數數，則則到到內內具具有有直直的的某某個個鄰鄰域域在在設設),(1),()( 000 xUxnxUxxf )()(!)( )()()(00)(00

3、0 xRxxnxfxxxfxfxfnnn )()()(0nnnxxoxRxR 是是余余項項，且且).(0 xx 1 1 微分方程離散微分方程離散( (差分方程）差分方程） )5 . 1(),(),(2),(),()4 . 1(),(),(),(),()3 . 1(),(),(),(),()2 . 1(),(),(),(),(),()1 . 1(211111中中心心差差商商）向向后后差差商商）向向前前差差商商）向向前前差差商商）與與差差商商之之間間的的關關系系式式的的微微商商，的的解解，對對于于任任何何節節點點是是方方程程設設hotxuxhtxutxuhotxuxhtxutxuhotxuxhtx

4、utxuotxuttxutxuunjunjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnj )6 . 1(, 0),(),()1 . 1( njnjtxuxctxutu的的解解，所所以以滿滿足足是是方方程程由由于于)7 . 1(),(0),(),(),(),()3 . 1()2 . 1(11hhtxutxuctxutxunjnjnjnj 得得到到和和因因此此從從的的近近似似值值。表表示示近近似似代代替替，其其中中這這樣樣可可以以用用方方程程于于零零。極極限限過過程程中中它它們們都都趨趨向向特特別別在在進進行行理理論論分分析析的的是是較較小小的的量量，與與，實實際際取取步步長長為為了了保保證證逼逼近

5、近精精度度要要求求),()8 . 1(011njnjnjnjnjnjtxuuhuucuuh 差差分分格格式式）。的的（有有限限）差差分分方方程程）稱稱為為（和和稱稱為為網網格格比比。這這里里改改寫寫成成便便于于計計算算的的形形式式將將(1 . 1)9 . 1()8 . 1(/)9 . 1(, 2 , 1 , 0, 2, 1, 0),()8 . 1(11hnjuucuunjnjnjnj )10. 1(, 2, 1, 0),()1 . 1(0 jxffujjj式式是是中中的的初初始始條條件件的的離離散散形形問問題題)11. 1(0)1 . 1(011顯顯式式右右偏偏格格式式）的的差差分分格格式式初

6、初值值問問題題 jjnjnjnjnjfuhuucuu )13. 1(02)12. 1(0)1 . 1(0111011（中中心心格格式式）左左偏偏格格式式）差差商商得得采采用用向向后后差差商商和和中中心心對對采采用用向向前前差差商商，對對中中在在格格式式。立立種種種種不不同同形形式式的的差差分分對對同同一一微微分分方方程程可可以以建建 jjnjnjnjnjjjnjnjnjnjfuhuucuufuhuucuuxutu 高等數學中，高等數學中，我們學習過我們學習過Green公式：公式：向向量量的的方方向向角角。處處的的切切線線上上為為有有向向曲曲線線弧弧、其其中中的的取取正正向向的的邊邊界界曲曲線線

7、。是是其其中中有有有有一一階階連連續續偏偏導導數數，則則在在上上及及函函數數圍圍成成，由由分分段段光光滑滑的的曲曲線線閉閉區區域域設設)y,x(L)y,x()y,x(DLds)cosQcosP(QdyPdxdxdy)yPxQ()y,x(Q)y,x(PLD LLD 2 2 積分插值法積分插值法 DdxdtxuctuDDLLLLL0)1 .1(4321）（上上積積分分，得得到到在在的的邊邊界界。將將方方程程是是積積分分區區域域，在在平平面面上上，取取矩矩形形域域為為oHxtEFGL1L2L3L4 方方向向的的兩兩個個分分量量。與與沿沿方方向向沿沿的的外外法法向向單單位位向向量量分分別別是是與與其其

8、中中（）（公公式式，得得利利用用txnLnndscunundxdtxuctuGreentxDLxt)14. 1(0) 上上的的近近似似函函數數值值。在在是是可可按按不不同同方方式式確確定定的的的的長長度度，與與是是的的長長度度，與與是是這這里里既既得得近近似似方方程程上上的的四四個個積積分分，左左端端分分成成在在把把，iiLuuLLLLhuuhcuucuhucuhuLLLL4231421343214321)15. 1()(0)14. 1( ),21,21(),21,21(),21,21(),21,21(, jnjnjnjnHGFE依依次次為為在在網網格格中中，點點oxtj-1jj+1n-1nn

9、+1EFGH 式式，稱稱為為蛙蛙跳跳格格式式。這這是是一一個個常常用用的的差差分分格格得得到到從從，于于是是并并取取)16. 1()()15. 1(,),(21),(21),(21),(21111114131211njnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjuuhcuuhhuuuuuuuuuuuu ),1, 1(),1, 1(),1,(),1,(, jnjnjnjnHGFE依依次次為為，在在網網格格中中，點點現現在在換換一一種種方方式式，如如圖圖oxtj-1jj+1nn+1EFGH 格格式式。這這個個格格式式稱稱為為也也可可寫寫成成得得到到從從，于于是是并并取取FriedrichsLaxh

10、uucuuuuuhcuuuhhuuuuuuuuunjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnj )17. 1(02)(21)()(21)15. 1(,2,),(211111111111141312111 2 2 截斷誤差截斷誤差是是相相應應的的差差分分算算子子其其中中是是微微分分算算子子其其中中差差分分方方程程記記為為微微分分方方程程和和對對于于齊齊次次問問題題，可可以以將將hnjhLuLLLu, 00 huucuuuLLxuctuLuLnjnjnjnjnjhh 11)8 . 1()1 . 1( 為為相相應應差差分分算算子子格格式式為為微微分分算算子子方方程程的的估估計計。指指對

11、對差差分分格格式式的的截截斷斷誤誤差差是是，即即為為處處的的差差，記記兩兩者者在在任任意意的的結結點點分分別別作作用用于于和和充充分分光光滑滑的的解解，將將算算子子是是所所討討論論的的微微分分方方程程的的設設EtxLutxuLEEtxuLLunjnjhnjh)1 . 2(),(),(),( )(),(),(),(),(),(),(),(),()8 . 1(11hoxtxucttxutxutxuctxutxutxLutxuLEnjnjnjnjnjnjnjnjh 的的截截斷斷誤誤差差即即討討論論格格式式.pqppxqt)h(oEpq是是階階精精度度的的時時，說說差差分分格格式式特特別別，當當階階精

12、精度度的的。是是階階精精度度的的，對對空空間間是是間間，就就說說差差分分格格式式對對時時式式的的截截斷斷誤誤差差一一般般，如如果果一一個個差差分分格格說說明明截截斷斷誤誤差差。我我們們也也用用“精精度度”一一詞詞 3 3 收斂性收斂性 一個差分格式能否在實際中使用，最終要看能否任意地逼近微分方程的解。這樣對于每一個差分格式，人們便從兩個方面加以考慮：一是引入收斂性的概念，考察差分格式在理論上的準確解能否任意逼近微分方程的解；二是引入穩定性的概念，考察差分格式在實際計算中的近似解能否任意逼近差分方程的解。則則稱稱差差分分格格式式是是收收斂斂的的有有時時，對對任任何何的的準準確確解解。如如果果當當

13、步步長長是是相相應應差差分分方方程程是是微微分分方方程程的的準準確確解解，設設),(),(0, 0njnjnjtxuunjhuu 4 4 穩定性穩定性穩穩定定的的。這這種種差差分分格格式式就就認認為為是是本本上上能能計計算算出出來來，那那么么基基控控制制的的，差差分分格格式式的的解解如如果果誤誤差差的的影影響響是是可可以以地地，式式稱稱為為不不穩穩定定的的。相相反反掩掩蓋蓋，那那么么此此種種差差分分格格被被式式的的精精確確解解的的面面貌貌完完全全越越來來越越大大，以以至至差差分分格格響響的的情情況況。如如果果誤誤差差的的影影就就要要分分析析這這種種誤誤差差傳傳播播的的值值，從從而而影影響響時時

14、的的舍舍入入誤誤差差，必必然然會會計計算算因因此此層層上上計計算算出出來來的的結結果果時時，要要用用到到第第的的層層上上進進行行的的，計計算算差差分分格格式式的的計計算算是是逐逐層層111 njnjnjnjuu.unun.max)()()1 . 4(, 1, 0, 1, 0200njjhnjnjhnhhhnnjjhKKnjj 也也可可以以取取，它它可可以以是是范范數數某某種種尺尺度度是是的的，其其中中那那么么稱稱差差分分格格式式是是穩穩定定使使得得存存在在常常數數層層上上的的誤誤差差，如如果果是是第第，令令，設設初初始始層層上上引引入入了了誤誤差差的的穩穩定定性性。的的差差分分格格式式考考慮慮

15、逼逼近近對對流流方方程程例例)2 . 4(00211 huuuuxutunjnjnjnj 0)()()()(),2 . 4(011110000000 huuuuuuuuuunjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjjjjjjjj 即即應應滿滿足足那那么么中中沒沒有有引引進進別別的的誤誤差差，。設設想想在在這這一一計計算算過過程程為為的的為為初初值值進進行行計計算算，得得到到，用用而而不不是是為為，即即初初值值有有誤誤差差層層上上每每個個網網格格點點上上的的設設在在第第解解：為為網網格格比比其其中中）（）（程程，改改寫寫其其形形式式這這就就是是誤誤差差所所滿滿足足的的方方此此式式減減去去得

16、得hhnjnjnjnjnjnjnjnjnjnj/1)3 . 4(011111 njjnjjnjjnjnjnj supsupsup11)4 . 4(1111 ）（）（那那么么有有如如果果，從從而而可可以以知知道道，由由此此得得011supsupsupsupsupjjnjjnjjnjjnjj 下下的的穩穩定定性性。上上面面是是論論述述了了在在極極大大模模，那那么么如如果果令令下下是是穩穩定定的的。在在條條件件格格式式分分長長的的，我我們們就就認認為為，差差這這就就是是說說，誤誤差差是是不不增增hhnnjjhn0sup)4 . 4()2 . 4( . 差分方程、截斷誤差、收斂性、差分方程、截斷誤差、收斂性、穩定性的概念；穩定性的概念；.構造差分方程方法構造差分方程方法(直接法和積分插值法直接法和積分插值法)、求截斷誤差；求截斷誤差；（重點重點）.如何將偏微分方程構造成相應的差分方程、如何將偏微分方程構造成相應的差分方程、并求由此產生的截斷誤差并求由此產生的截斷誤差（難點難點）主要內容主要內容*作業作業*的的差差分分方方程程）試試用用積積分分插插值值法法逼逼近近01 xutu011 huuuunjnjnjnjB.Taylor B.Taylor 簡介簡介1685.8.18生于英格蘭；生于英格蘭；1731.11.29