1、.1 任意角及其度量、三角比一、基本知識點 1.任意角（1）角的概念角可以看成平面內(nèi)一條_繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形規(guī)定：按_方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角，按_方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負角如果沒有作任何旋轉(zhuǎn)，我們稱它形成了一個_我們把開始位置的射線稱為始邊，結(jié)束位置的射線稱為終邊，如不作特別說明，一般以x軸正半軸作為始邊。（2）終邊相同的角所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S_.與角終邊關(guān)于x軸對稱的角構(gòu)成的集合S_.與角終邊關(guān)于y軸對稱的角構(gòu)成的集合S_.與角終邊關(guān)于原點對稱的角構(gòu)成的集合S_.（3）坐標軸上角如果角的終邊在_上，就認為這個角不屬于任何一個象限終邊在x

2、軸正半軸上的角的集合可記作|2k，kZ；終邊在x軸負半軸上的角的集合可記作_；終邊在y軸正半軸上的角的集合可記作_；終邊在y軸負半軸上的角的集合可記作_；終邊在x軸上的角的集合可記作_；終邊在y軸上的角的集合可記作 ；終邊在坐標軸上的角的集合可記作 （4）象限角 使角的頂點與_重合，角的始邊與x軸的_重合角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角是第一象限角可表示為 ；是第二象限角可表示為 ；是第三象限角可表示為 ；是第四象限角可表示為 2. 弧度制（1）把長度等于_的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示，讀作弧度 ，其中l(wèi)是半徑為r的圓的圓心角所對弧的長 （2）弧度與角度的換算：1

3、80_rad.弧度制將任意角與實數(shù)之間建立了一一對應的關(guān)系，即任意一個實數(shù)都可作為一個角. （3）若圓心角用弧度制表示，則弧長公式l_；扇形面積公式S扇 3. 任意角的三角函數(shù)（1）任意角的三角函數(shù)的定義設(shè)是一個任意角，它的終邊上任意一點P(x，y)與原點的距離為r(r0)，則sin ，cos ，tan (x0)，cot(y0)，sec(x0)，csc(y0)（2）正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域三角函數(shù)定義域（3）三角函數(shù)值在各象限的符號sin costan 4. 三角函數(shù)線如圖，角的終邊與單位圓交于點P.過點P作x軸的垂線，垂足為M，過點A(1，0)作單位圓的切線，設(shè)它與的終邊(當為第一、四象

4、限角時)或其反向延長線(當為第二、三象限角時)相交于點T.根據(jù)三角函數(shù)的定義，有OMx_，MPy_，AT _.像OM，MP，AT這種被看作帶有方向的線段，叫做有向線段，這三條與單位圓有關(guān)的有向線段MP，OM，AT，分別叫做角的_、_、_，統(tǒng)稱為三角函數(shù)線二、基礎(chǔ)自測 1. 在坐標系中畫出特殊角的終邊： 2. 在內(nèi)找出與下列各角同終邊的角： ，； 3. 給出下列命題： 小于的角是銳角；第二象限角是鈍角；終邊相同的角相等；若與有相同的終邊，則必有2k(kZ)其中正確命題的個數(shù)是() A0 B1 C2 D3 4. 終邊在第一、三象限角平分線上的角的集合是 . 5將表的分針撥快10分鐘，則分針旋轉(zhuǎn)過程

5、中形成的角的弧度數(shù)是 () A. B. C D 解析將表的分針撥快應按順時針方向旋轉(zhuǎn)，為負角故A、B不正確，又因為撥快10分鐘，故應轉(zhuǎn)過的角為圓周的.即為2. 答案C6. 特殊角的三角函數(shù)值角弧度0010-1010-10101不存在-10不存在0不存在10-1不存在0不存在 7. ()已知角的終邊經(jīng)過點(4，3)，則cos()A. B. C D解：cos.故選D.8. sin1，cos1，tan1的大小關(guān)系是()Asin1cos1tan1Btan1sin1cos1Ccos1tan1sin1Dcos1sin1tan1解：如圖，單位圓中MOP1 radrad，OMMPAT，cos1sin1tan1

6、.故選D.三、例題解析 【例1】（1）在坐標系中寫出以下射線為終邊的角的集合： 【例2】（1）若46且與終邊相同，則_ 答案： （2） (2014洛陽調(diào)研)已知角=45,在區(qū)間-720,0內(nèi)與角有相同終邊的角=.【例3】（1）若是第三象限角，則180是第_象限角解析：是第三象限角，k360180k360270，k360270k360180，(k1)360270180(k1)360360，其中kZ，所以180是第四象限角 答案：四（2）已知角的終邊上有一點的坐標為，若(2，2)，則所有的組成的集合為_解析：因為角的終邊上有一點的坐標為，所以角為第四象限角，且tan ，即2k，kZ，因此落在(2，

7、2)內(nèi)的角的集合為. 【例4】如圖所示，已知扇形AOB的圓心角AOB120，半徑R6，求：的長；弓形ACB的面積解：AOB120，R6，l64.S弓形ACBS扇形OABSOABlRR2sinAOB4662129. 【例5】扇形AOB的周長為8 cm.若這個扇形的面積為3 cm2，求圓心角的大小解：設(shè)扇形半徑為r，則弧長為82r，S(82r)r3，解得r1或3.圓心角6或. 【例6】 已知扇形的圓心角是 ，半徑為R，弧長為l. 若60，R10 cm，求扇形的弧長l； 若扇形的周長為20 cm，當扇形的圓心角為多少弧度時，這個扇形的面積最大？解：（1）60，l10(cm)（2）由已知得，l2R20

8、，所以SlR(202R)R10RR2(R5)225，所以當R5時，S取得最大值25，此時l10(cm)，2 rad. 【例7】已知角的終邊經(jīng)過點P(a，2a)(a0)，求sin，cos，tan的值解：角的終邊經(jīng)過點P(a，2a)(a0)，ra，xa，y2a.sin，cos，tan2. 【例8】已知角的終邊經(jīng)過點P(3m9，m2)若m2，求5sin3tan的值；若cos0且sin0，求實數(shù)m的取值范圍解：（1）m2，P(3，4)，x3，y4，r5.sin，tan.5sin3tan530.（2）cos0且sin0，2m3.【例9】（1）已知，則滿足角的集合是 ；（2）滿足的角的集合是 . 【例10

9、】（1）即已知02，求證：|sin|cos|1.證明：作平面直角坐標系xOy和單位圓當角的終邊落在坐標軸上時，不妨設(shè)為Ox軸，設(shè)它交單位圓于A點，如圖1，顯然sin0，cosOA1，所以|sin|cos|1.當角的終邊不在坐標軸上時，不妨設(shè)為OP，設(shè)它交單位圓于A點，過A作ABx軸于B，如圖2，則sinBA，cosOB.在OAB中，|BA|OB|OA|1，所以|sin|cos|1.綜上所述，|sin|cos|1. （2）求證：當時，sintan.證明：如圖所示，設(shè)角的終邊與單位圓相交于點P，單位圓與x軸正半軸的交點為A，過點A作圓的切線交OP的延長線于T，過P作PMOA于M，連接AP，則在Rt

10、POM中，sinMP，在RtAOT中，tanAT，又根據(jù)弧度制的定義，有OP，易知SPOAS扇形POASAOT，即OAMPOAOAAT，即sintan.四、鞏固練習（一）基礎(chǔ)訓練 1已知弧度數(shù)為2的圓心角所對的弦長也是2，則這個圓心角所對的弧長是() A2 B. C2sin 1 Dsin 2 解：弧長公式l|r，已知2，需求半徑r.過圓心作弦的垂直平分線，得到直角三角形，得出rsin 1，所以r.故選B.2已知角的終邊經(jīng)過點P(4a，3a)(a0)，則2sincos的值為()A B. C0 D. 或解：x4a，y3a，a0)，則tan的最小值為() A1 B2 C. D. 解：根據(jù)已知條件得t

11、ant2，當且僅當t1時，tan取得最小值2. 答案B 4已知和的終邊關(guān)于直線yx對稱，且，則sin 等于() AB. CD. 解：因為和的終邊關(guān)于直線yx對稱，所以2k(kZ)又，所以2k(kZ)，即得sin . 答案D 5. (2014江蘇模擬)已知角(02)的終邊過點，則. 6一個扇形OAB的面積是1 cm2，它的周長是4 cm，則該扇形的圓心角的弧度數(shù)為_ 解：設(shè)圓的半徑為r cm，弧長為l cm，圓心角為， 則解得 圓心角2. 7點P從(1，0)出發(fā)，沿圓心在原點的單位圓逆時針方向運動弧長到達點Q，則點Q的坐標為_解：由三角函數(shù)的定義知點Q(x，y)滿足故填.8若一扇形的周長為60cm，那么當它的半徑和圓心角各為_cm和_rad時，扇形的面積最大解：設(shè)該扇形的半徑為r，圓心角為，弧長為l，面積為S，則l2r60，l602r.Slr(602r)rr230r(r15)2225.