1、(1) 多次超靜定問題的簡化多次超靜定問題的簡化a. 多次超多次超靜定問題靜定問題三次超靜定二次超靜定二次超靜定一次超靜定一次超靜定靜定靜定1) 超靜定問題分類超靜定問題分類b. 約束約束(外部）超靜定和內力外部）超靜定和內力（內部）超靜定（內部）超靜定約束超靜定約束超靜定內力超靜定內力超靜定外部超靜定外部超靜定內部超靜定內部超靜定2） 超靜定問題的簡化超靜定問題的簡化可以利用結可以利用結構構的特點對問題加的特點對問題加以簡化，降低超靜定次數。以簡化，降低超靜定次數。軸力對稱軸力對稱a. 對稱結構的內力特征對稱結構的內力特征扭矩反對稱扭矩反對稱彎矩對稱彎矩對稱剪力反對稱剪力反對稱對稱面上扭矩為

2、零，剪力為零對稱面上扭矩為零，剪力為零 .對稱面的轉角為零。對稱面的轉角為零。b. 反對稱結構的內力特征反對稱結構的內力特征剪力對稱剪力對稱彎矩反對稱彎矩反對稱軸力反對稱軸力反對稱扭矩對稱扭矩對稱對稱面上軸力為零，彎矩為零。對稱面上軸力為零，彎矩為零。對稱點的位移為零。對稱點的位移為零。原結構：三次超靜定原結構：三次超靜定簡化結構：二次超靜定簡化結構：二次超靜定原結構：三次超靜定原結構：三次超靜定簡化結構：一次超靜定簡化結構：一次超靜定c. 奇數跨對稱結構奇數跨對稱結構d. 奇數跨反對稱結構奇數跨反對稱結構原結構：六次超靜定原結構：六次超靜定簡化結構：三次超靜定簡化結構：三次超靜定f. 偶數跨

3、反對稱結構偶數跨反對稱結構原結構：六次超靜定原結構：六次超靜定簡化結構：三次超靜定簡化結構：三次超靜定e. 偶數跨對稱結構偶數跨對稱結構原結構：三次超靜定原結構：三次超靜定簡化結構：一次超靜定簡化結構：一次超靜定g. 雙對稱結構承受對稱荷載雙對稱結構承受對稱荷載h. 對稱結構承受一般荷載對稱結構承受一般荷載對稱結構對稱結構反對稱結構反對稱結構(2) 用力法求解超靜定問題用力法求解超靜定問題EIqLvq84EIRLvR3303834EIRLEIqLBv)(qLR831) 正則方程正則方程 11 的第一個腳標表示位移在的第一個腳標表示位移在 X1 的作用點處，并沿的作用點處，并沿著著X1 的方向，

4、即該位移發(fā)生的地點和方向；第二個腳的方向，即該位移發(fā)生的地點和方向；第二個腳標表示該位移由標表示該位移由 X1 引起，即位移發(fā)生的原因。引起，即位移發(fā)生的原因。EIXLvR313X1 表示第一個多余未知力。表示第一個多余未知力。 11 表示靜定基上當表示靜定基上當 X1 = 1 單獨作用時在單獨作用時在 X1 作用處作用處X1 方向上的位移。方向上的位移。111XEILLLLEI33221211EILxEIxxEIMLL3dd2020211用單位荷載法求系數用單位荷載法求系數用圖乘法求系數：用圖乘法求系數：有關系數的求法有關系數的求法EIqLvq84q1 1q 表示靜定基上當表示靜定基上當 q

5、 單獨作用時在單獨作用時在 X1 作用處作用處 X1 方向上方向上 的位移。的位移。 1q 的第一個腳標表示位移在的第一個腳標表示位移在 X1 的作用點處，的作用點處，即該位移發(fā)生的地點，第二個腳標表示該位移由即該位移發(fā)生的地點，第二個腳標表示該位移由 q 引起，即位移發(fā)生的原因。引起，即位移發(fā)生的原因。有關系數的求法用單位荷載法求系數：用單位荷載法求系數：用圖乘法求系數用圖乘法求系數：EIqLxEIqxxxEIMMLLq8d2d40201EIqLLLqLEIq84321311421qLX83108343EIqLEIRLBv)(11111qX 1 表示實際結構上在表示實際結構上在 X1 作用處

6、作用處 X1 方向上方向上 的的位移。本例中位移。本例中 1 是零。是零。11111qX正則方程正則方程2) 正則方程的一般形式正則方程的一般形式一個多余未知量一個多余未知量 X1二個多余未知量二個多余未知量 X1 和和 X2多個多余未知量多個多余未知量 X1 ， X2 ， ， Xn11111PX2222212111212111FFXXXXnFnFFnnnnnnnXXX212121212222111211nFnFFnnnnnnnXXX212121212222111211 kk 表示靜定基上當表示靜定基上當 X k = 1 單獨作用時在單獨作用時在 X k 作用處作用處 X k 方向上的位移。方

7、向上的位移。 ij 表示靜定基上當表示靜定基上當 X j = 1 單獨作用時在單獨作用時在 X i 作用處作用處 X i 方向上的位移。方向上的位移。 iF 表示靜定基上只作用外荷載時在表示靜定基上只作用外荷載時在 X i 作用處作用處 X i 方向上的位移。方向上的位移。 i 表示實際結構中在表示實際結構中在 X i 作用處作用處 X i 方向方向上的位移。上的位移。3) 正則方程的應用正則方程的應用aaaaaaEI3223111EIa323222122aaaaaaEIEIa373EIaaaaEI221312例例 圖示各桿的抗彎剛度均為圖示各桿的抗彎剛度均為 EI ，試畫出彎矩圖。，試畫出彎

8、矩圖。12圖三對圖二的投影圖二對圖三的投影與之相等圖二對自己的投影圖三對自己的投影一EIa3112EIa37322EIa2312EIqaaaqaEIq32222311421EIqaaaqaEIq3422311422圖四對圖二的投影圖四對圖三的投影EIa3112EIa37322EIa2312EIqaq3241EIqaq3442034372032224231342313EIqaXEIaXEIaEIqaXEIaXEIa qaXqaX53361598021正則方程正則方程159802qa159282qa1591302qa例 圖示框架由橫截面是邊長為 h 的正方形鋼條構成，材料彈性模量為 E，求橫截面上

9、的最大正應力。 EIa23121121311221aqaaqaEIqEIqa323結構可簡化為一次超靜定問題結構可簡化為一次超靜定問題11211111aaEIEIa2311EIqaq323101111qX正則方程正則方程0322331EIqaXEIa2194qaX 最大彎矩最大彎矩2max94qaM最大應力最大應力WMmaxmax323238694hqahqa例例 畫出如圖結構的彎矩圖。畫出如圖結構的彎矩圖。1M20211d1dREIsEIMEIR2sin21FRMFEIFR22FRX 112sinFRFR22FR201dsin211RFREIF02221EIFRXEIR11MXMMF正則方程

10、中的系數矩陣元素一般可以通過單位正則方程中的系數矩陣元素一般可以通過單位荷載法、圖乘法等方法計算。荷載法、圖乘法等方法計算。正則方程中的系數矩陣對角線元素必是恒正的。正則方程中的系數矩陣對角線元素必是恒正的。正則方程中的常數項正則方程中的常數項 iF 體現的是全部外荷載，體現的是全部外荷載，以及其它外部因素（例如溫度）在該點該方向引起以及其它外部因素（例如溫度）在該點該方向引起的位移。的位移。由于位移互等定理，正則方程系數矩陣必定是對稱的。由于位移互等定理，正則方程系數矩陣必定是對稱的。關于正則方程的說明對于鋼架，一般可以忽略軸力和剪力的影響。對于鋼架，一般可以忽略軸力和剪力的影響。例例 圖示

11、彎管的溫度升高了圖示彎管的溫度升高了 T ，畫，畫出彎管的彎矩圖并求最大應力。若出彎管的彎矩圖并求最大應力。若不加彎管，熱應力情況怎樣？不加彎管，熱應力情況怎樣？500a50D40dGPa80E05C11051 .C2000TEIaaaaaaaEI3723221311EIaaaEI34112121122EIaaaaaEI251212121204250325372122213XEIaXEIaTaXEIaXEIaTaF3102F371441XaX379022aTEI441641DdDI45mm10811 .N8173.N6761XmN32112.X外荷載的作用外荷載的作用體現為溫度對靜定體現為溫度

12、對靜定基的影響。顯然，基的影響。顯然，溫度在溫度在 X1 方向上將方向上將引起位移，在引起位移，在 X2 方方向上不產生影響，向上不產生影響，故有故有MPa2292max.IDMMMPa960142211.)(DdDXAXNMPa230maxMAX.NMMPa240TE793146502.)(.DdDaiLMPa98922cr.E彎矩圖如圖。彎矩圖如圖。最大彎矩在上最大彎矩在上部，該處為壓彎組部，該處為壓彎組合變形。合變形。熱應力將使結構失穩(wěn)。熱應力將使結構失穩(wěn)。2211MXMXMa3790a375411111111LGIaEIPPGILEIa122111aPaEIF121LPaGIPLa45

13、250.在在 P 力作用點處將折桿切力作用點處將折桿切開，由于對稱性，該截面處只開，由于對稱性，該截面處只存在彎矩，令其為存在彎矩，令其為 X1，便有，便有IIP2EEG5212)(EIGIP541145854LaLaPaXLa45250.Pa83)(PRA218PamA支反力偶矩方向如圖。PFGIPaLEIPa242101111FX12124PPGILEIaGIPaLEIPaXPGILEIa1133aEIkEIaaaaEI332211311EIaaaaaaaEI3432211322EIaaaaEI2211312EIa3311EIa34322EIa2312EIFaFaaaEIF221131EI

14、FaFaaaEIF321034222332313132313EIFaXEIaXEIakXEIFaXEIaXEIa0034222332313132313EIFaXEIaXEIakXEIFaXEIaXEIaFXFX231523621,EIakX23231034222332313132313EIFaXEIaXEIakXEIFaXEIaXEIa例例 作出圖示框架的彎矩圖，并求鉸處相鄰端面的相對轉角。圖示結構對稱，荷載反對稱。圖示結構對稱，荷載反對稱。鉸處彎矩為零。軸力為零。設鉸對左右兩鉸處彎矩為零。軸力為零。設鉸對左右兩端面作用為端面作用為 X1。aaaaaaEI213221411EIa3103X1=

15、1 所引起的彎矩圖：所引起的彎矩圖：EIa310311q 所引起的彎矩圖：aaqaaaqaEIq3221212221EIqa35411111qX正則方程035310413EIqaXEIaqaX211結構結構彎矩圖：彎矩圖：為了求鉸處的相對轉角，應在鉸處加一個單位力偶矩。0相對轉角相對轉角例例 求圖示結構中拉桿中的軸力。求圖示結構中拉桿中的軸力。圖示結構可以簡化為四分之一圓圖示結構可以簡化為四分之一圓的二次超靜定結構。的二次超靜定結構。 設上端支反力偶矩為設上端支反力偶矩為 X1 ，拉桿中，拉桿中的軸力為的軸力為 X2 。11XMEIR2正則方程系數：正則方程系數：202111d1dREIsEI

16、MX)(cos12 RMX12XN2d222222EARNsEIMXXEARRREI2dcos112022EAREIR2243311XMsEIMMXXd2112122EIRdcos1120RREIcos12XM12XN11XMsin21FRMFsEIMMXFFd1120dsin211RFREIEIFR22sEIMMXFFd22dcos1sin21120RRFREIEIFR430422431202122323122221EIFRXEAREIRXEIREIFRXEIRXEIR0022221211212111FFXXXX)()(222884ARIFX)()(228842ARIFN原拉桿的軸力：原拉桿的軸力：正則方程：正則方程：32212232221111aaaaaaEIEIa2311221322121122aaEIEIa67例 結構各部抗彎剛度均為 EI，畫出如圖結構的彎矩圖。121221322211212aaaEIEIa322解除頂部約束，可排除豎直解除頂部約束，可排除豎直方向支反力。方向支反力。aaqaaaqaEIF432