1、 景德鎮(zhèn)陶瓷學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)開題報(bào)告中文題目：關(guān)于matlab約束優(yōu)化算法軟件包的設(shè)計(jì) 英文題目： design of restraint optimization softwarefor instruction based on matlab 院 系： 機(jī)械電子工程學(xué)院 專 業(yè)： 機(jī)械設(shè)計(jì)制造及其自動(dòng)化 摘 要優(yōu)化設(shè)計(jì)作為現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法之一，在各個(gè)領(lǐng)域起著越來越重要的作用。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)是機(jī)械設(shè)計(jì)類專業(yè)的一門必修課程，其中優(yōu)化設(shè)計(jì)方法理論性較強(qiáng)，學(xué)生不易理解，從而使得學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中倍感吃力。本課題研制了一個(gè)基于matlab的約束優(yōu)化算法軟件包，該軟件包有著友好的圖形用戶界面（gui）和求解

2、的直觀性。圖形用戶界面由參數(shù)輸入框、結(jié)果輸出框和結(jié)果圖形化三部分組成。運(yùn)用該軟件可以幫助學(xué)生更好地理解優(yōu)化算法的尋優(yōu)過程，使抽象的問題具體化。本文介紹了約束優(yōu)化算法軟件包的開發(fā)過程和其使用方法，對計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)有一定的幫助。關(guān)鍵詞：優(yōu)化設(shè)計(jì) 軟件包 圖形用戶界面 abstractas one of the primary modem design ways, optimization plays a more important role then ever in kinds of areas.optimization design of machinicsis one of necessit

3、y courses of machinical design domain,in which optimization methods were abstrctive,it is hard to understand and this reslut the students felt difficulty in study process.in this task, the design of restraint optimization software based on matlab is introduced,what has a very friendly graphic user i

4、nterface (gui) and make the resluts visual.the gui was consisted of the parameter input frame、the parameter output frame and the figure of outcomes.the software can help the students understanding the process of looking for the best point,and to change the abstractive problem specific.in this paper,

5、the process of open up and the method of using were introduced about the restraint optimization software,which may apply some help for the computer aided instruction.keywords: optimal design software package graphic user interface目錄摘 要2abstract31 緒論51.1 本課題的現(xiàn)狀及其研究意義512 本課題的主要工作62 優(yōu)化算法原理82.1 最優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)

6、模型822約束優(yōu)化算法9221 懲罰函數(shù)內(nèi)點(diǎn)法102212 懲罰函數(shù)內(nèi)點(diǎn)法的迭代步驟：122213 應(yīng)注意的問題：13222 dfp變尺度法162221 dfp變尺度法的原理162222 dfp變尺度法的計(jì)算步驟18223 懲罰函數(shù)外點(diǎn)法192231 懲罰函數(shù)外點(diǎn)法的原理192232 懲罰函數(shù)外點(diǎn)法的迭代步驟：21224 懲罰函數(shù)混合法232241 懲罰函數(shù)混合法的原理232242 懲罰函數(shù)混合法的迭代步驟：25225 三種算法的比較253軟件開發(fā)及其使用2731 軟件開發(fā)過程2732 軟件的使用284.1 優(yōu)化算例304.2 結(jié)果分析315 結(jié)論33致謝34參考文獻(xiàn)35 1 緒論機(jī)械產(chǎn)品的傳

7、統(tǒng)設(shè)計(jì)方法，是根據(jù)產(chǎn)品的功能要求與使用條件，通過估算，類比或?qū)嶒?yàn)確定設(shè)計(jì)方案，然后進(jìn)行強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)特性等的分析驗(yàn)算，如果達(dá)不到要求，則修改有關(guān)參數(shù)，再進(jìn)行驗(yàn)算，直至滿足設(shè)計(jì)要求，這種設(shè)計(jì)方法不僅消耗大量的時(shí)間與精力，而且最終方案也是一種可行方案，并不是最佳方案。 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)就是把機(jī)械設(shè)計(jì)與數(shù)學(xué)規(guī)劃理論及方法相結(jié)合，借助電子計(jì)算機(jī)，尋求最優(yōu)設(shè)計(jì)方案和最佳設(shè)計(jì)參數(shù)。優(yōu)化設(shè)計(jì)是設(shè)計(jì)方法上的一大進(jìn)步，在工程設(shè)計(jì)中采用優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，可以提高產(chǎn)品的設(shè)計(jì)質(zhì)量，減輕設(shè)備自重，降低材料消耗與制造成本。現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展，促進(jìn)了數(shù)值計(jì)算尋優(yōu)方法的發(fā)展和推廣應(yīng)用，設(shè)計(jì)者在建立了優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型

8、基礎(chǔ)上，可通過各種語言編制優(yōu)化方法程序，用計(jì)算機(jī)進(jìn)行迭代計(jì)算求解。1.1 本課題的現(xiàn)狀及其研究意義從70 年代起, 優(yōu)化方法開始應(yīng)用于工程設(shè)計(jì),各個(gè)專業(yè)的優(yōu)化設(shè)計(jì)研究工作有了不同程度的發(fā)展,出現(xiàn)了許多與各專業(yè)相聯(lián)系的工程優(yōu)化設(shè)計(jì)軟件。在機(jī)械行業(yè)中, 有許多用于工程設(shè)計(jì)的優(yōu)化軟件, 目前最常見的有華中科技大學(xué)的優(yōu)化方法程序庫opb-2和優(yōu)化方法程序庫opb-1等。這類優(yōu)化軟件著重于優(yōu)化方法的研究和實(shí)現(xiàn), 不僅提供了一批可高效可靠地處理連續(xù)設(shè)計(jì)變量優(yōu)化問題的方法及程序,而且提供了一批可處理混合離散設(shè)計(jì)變量優(yōu)化問題的方法及程序, 其中優(yōu)化方法程序庫opb-2包含了許多現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法, 如人工智能等方法

9、。另外還有一些與專業(yè)聯(lián)系緊密的優(yōu)化設(shè)計(jì)軟件, 如減速器的優(yōu)化設(shè)計(jì)軟件等, 主要是各應(yīng)用單位自行研制, 有很強(qiáng)的針對性。這些應(yīng)用軟件豐富多樣, 大大推動(dòng)了優(yōu)化方法在機(jī)械工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用。在我國, 優(yōu)化設(shè)計(jì)的推廣和應(yīng)用也遇到很多問題, 主要表現(xiàn)在目前的優(yōu)化設(shè)計(jì)應(yīng)用軟件都存在一定的局限性。例如, 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)軟件應(yīng)把各種機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)模型、各種優(yōu)化方法及一些其他輔助功能集成為一個(gè)有機(jī)的整體, 以便用戶使用。但現(xiàn)有許多通用的優(yōu)化設(shè)計(jì)應(yīng)用軟件和專業(yè)聯(lián)系并不是十分緊密, 可視性、可操作性不是很好。當(dāng)用戶進(jìn)行實(shí)際工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí), 不僅必須創(chuàng)建自己復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型, 而且要編制一些程序, 然后調(diào)用軟件中的

10、某一優(yōu)化子程序。這就要求用戶除了必須熟悉編程環(huán)境外, 還要對程序庫本身有一定的了解, 這使設(shè)計(jì)人員的工作量加大, 專業(yè)性加強(qiáng), 阻礙了優(yōu)化設(shè)計(jì)的推廣和應(yīng)用。有些專用的優(yōu)化軟件雖然與專業(yè)設(shè)計(jì)聯(lián)系十分緊密, 但優(yōu)化模型的針對性太強(qiáng), 優(yōu)化設(shè)計(jì)模型與優(yōu)化方法都比較單一。同時(shí), 現(xiàn)有的優(yōu)化軟件考慮軟件的擴(kuò)展性較少, 使用很不方便, 甚至無法求解。面對千差萬別的工程設(shè)計(jì)問題, 要求優(yōu)化模型及優(yōu)化方法具有多樣性。國外的優(yōu)化軟件目前來說較成熟和應(yīng)用較廣的為matlab的優(yōu)化工具箱。matlab(matrix laboratory)是功能十分強(qiáng)大的工程計(jì)算及數(shù)值分析軟件。80年代中期，mathworks公司將

11、matlab投向市場。90年代又逐步拓展其數(shù)值計(jì)算、符號解析運(yùn)算、文字處理、圖形功能等等，并采用面向?qū)ο蟮某呒壵Z言作為用戶界面，使matlab成為一個(gè)多領(lǐng)域、多學(xué)科、多功能的優(yōu)秀科技應(yīng)用軟件，占據(jù)了數(shù)值型軟件市場的主導(dǎo)地位。 利用matlab的優(yōu)化工具箱，可以求解線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃和多目標(biāo)規(guī)劃問題。運(yùn)用此工具箱進(jìn)行優(yōu)化求解時(shí)，要先對優(yōu)化問題進(jìn)行分析，建立優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，定義目標(biāo)函數(shù)，對于約束優(yōu)化問題要同時(shí)定義出其約束條件，列出約束函數(shù)。然后利用文件編輯器編寫一個(gè)能返回函數(shù)值的m文件，即把函數(shù)表達(dá)式寫入matlab系統(tǒng)中，再在命令窗口調(diào)用優(yōu)化程序，就能得到優(yōu)化解。 不論是國內(nèi)研制的優(yōu)化方法程序

12、庫opb-1、優(yōu)化方法程序庫opb-2、具有很強(qiáng)專業(yè)性的優(yōu)化設(shè)計(jì)軟件，還是國外常用的matlab的優(yōu)化工具箱，都沒有提供圖形用戶界面，使用起來非常不方便，而且對于一般的院校來說，為了教學(xué)而去購買那些軟件是很不現(xiàn)實(shí)的，基于此，開發(fā)一種用于教學(xué)的可視化優(yōu)化設(shè)計(jì)軟件包是很有意義的。12 本課題的主要工作利用matlab軟件開發(fā)和編寫約束優(yōu)化方法軟件包，包括間接解法中的內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)和混合懲罰函數(shù)法，并提供用戶可視化界面。主要做了以下工作：（1） 編寫內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)和混合懲罰函數(shù)法源程序；（2） 制作用戶圖形界面（gui），并使其有以下功能特點(diǎn)： 該軟件易于使用，操作簡單，界面友好，不需要用戶具備編程能力;

13、為用戶提供輸入數(shù)學(xué)模型、選擇算法、確定初始操作參數(shù)、顯示運(yùn)行結(jié)果等一系列服務(wù); 通過良好的可視化界面，可以較直觀地了解尋優(yōu)求解的過程。（3） 軟件具有一定的錯(cuò)誤檢測功能；（4） 優(yōu)化計(jì)算結(jié)果可以達(dá)到一定的精度。2 優(yōu)化算法原理“最優(yōu)化設(shè)計(jì)”是在現(xiàn)代計(jì)算機(jī)廣泛應(yīng)用的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一項(xiàng)新技術(shù)，是根據(jù)最優(yōu)化原理和方法綜合各方而的因素，以人機(jī)配合方式或“自動(dòng)探索”方式，在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行的半自動(dòng)或自動(dòng)設(shè)計(jì)，以選出在現(xiàn)有工程條件下的最佳設(shè)計(jì)方案的一種現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法。其設(shè)計(jì)原則是最優(yōu)設(shè)計(jì)；設(shè)計(jì)手段是電子計(jì)算機(jī)及計(jì)算程序；設(shè)計(jì)方法是采用最優(yōu)化數(shù)學(xué)方法。2.1 最優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型選取設(shè)計(jì)變量、列出目標(biāo)函數(shù)、給定

14、約束條件后便可構(gòu)造最優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型。任何一個(gè)最優(yōu)化問題均可歸結(jié)為如下的描述，即：在滿足給定的約束條件(決定n維空間en中的可行域)下，選取適當(dāng)?shù)脑O(shè)計(jì)變量x，使其目標(biāo)函數(shù)f（x）達(dá)到最憂值。其數(shù)學(xué)表達(dá)式(數(shù)學(xué)模型)為設(shè)計(jì)變量 = t，xen在滿足約束條件 v=1，2，p u=1，2，m的條件下，求目標(biāo)函數(shù)f（x）的最優(yōu)值。目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值一般可用最小值(或最大值)的形式來體現(xiàn)，因此，最優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型可簡化表示為min s.t.(subject to) v=1，2，p u=1，2，m建立數(shù)學(xué)模型是最優(yōu)化過程中非常重要的一步，數(shù)學(xué)模型直接影響設(shè)計(jì)效果。對于復(fù)雜的問題，建立數(shù)學(xué)模型往往會(huì)遇到很

15、多困難，有時(shí)甚至比求解更為復(fù)雜。這時(shí)要抓住關(guān)鍵因素，適當(dāng)忽略不重要的成分，使問題合理簡化，以易于列出數(shù)學(xué)模型。另外，對于復(fù)雜的最優(yōu)化問題，可建立不同的數(shù)學(xué)模型。這樣，在求最優(yōu)解時(shí)的易難程度也就不一樣。有時(shí)，在建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型后由于不能求得最優(yōu)解而必須改變數(shù)學(xué)模型的型式。由此可見，在最優(yōu)化設(shè)計(jì)工作中開展對數(shù)學(xué)模型的理論研究，十分重要。22約束優(yōu)化算法優(yōu)化問題按有無約束可分為無約束優(yōu)化問題和約束優(yōu)化問題。無約束優(yōu)化問題指的是對設(shè)計(jì)變量的取值范圍不加任何限制，無約束優(yōu)化問題的一般形式為：求n維設(shè)計(jì)變量 = t使目標(biāo)函數(shù)為 min x對x沒有任何限制。在實(shí)際工程中，大部分問題的變量取值都有一定的限制，

16、也就是屬于有約束條件的尋優(yōu)問題。與無約束問題不同，約束問題目標(biāo)函數(shù)的最小值是滿足約束條件下的最小值，即是由約束條件所限定的可行域內(nèi)的最小值。如圖2-1（a）所示，而不一定是目標(biāo)函數(shù)的自然最小值。另外，只要由約束條件所決定的可行域是一個(gè)凸集，目標(biāo)函數(shù)是凸函數(shù)，其約束最優(yōu)解就是全域最優(yōu)解。否則，將由于所選擇的初始點(diǎn)的不同，而探索到不同的局部最優(yōu)解上，如圖2-1 (b)所示。所以在這種情況下，探索結(jié)果經(jīng)常與初始點(diǎn)的選擇有關(guān)。為了能得到全域最優(yōu)解，在探索過程中最好能改變初始點(diǎn)，有時(shí)甚至要改換幾次。 （a） （b） 圖2-1 約束最優(yōu)解的解域?qū)ψ顑?yōu)解的影響 （a）行域?yàn)橥辜?（b）可行域?yàn)榉峭辜s束最優(yōu)

17、化問題有解的條件為：(1)目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)為連續(xù)、可微函數(shù)，且存在一個(gè)有界的可行域；(2)可行域應(yīng)是一個(gè)非空集，即存在滿足約束條件的點(diǎn)列：（k=1，2，）。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的問題，大多數(shù)屬于約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，起數(shù)學(xué)模型為min s.t.(subject to) v=1，2，p u=1，2，m約束優(yōu)化問題的約束條件一般有等式約束和不等式約束，根據(jù)求解方式的不同，可分為直接解法和間接解法等。221 懲罰函數(shù)內(nèi)點(diǎn)法懲罰函數(shù)內(nèi)點(diǎn)法是求解不等式約束最優(yōu)化問題的一種十分有效的方法，但不能處理等式約束。其特點(diǎn)是將構(gòu)造的新的無約束目標(biāo)函數(shù)懲罰函數(shù)定義于可行域內(nèi)，并在可行域內(nèi)求懲罰函數(shù)的極值點(diǎn)，即求解無約束問題時(shí)

18、的探索點(diǎn)總是保持在可行域內(nèi)部。2211 懲罰函數(shù)內(nèi)點(diǎn)法原理對于目標(biāo)函數(shù)受約束于的最優(yōu)化問題，利用內(nèi)點(diǎn)法求解時(shí)懲罰函數(shù)的一般表達(dá)式為 =或 =而對于受約束于的最優(yōu)化問題，其懲罰函數(shù)的一般表達(dá)式為 =或 =式中 懲罰因子，是遞減的正數(shù)序列。即0，。通常取10，01，001，0001，。 上述懲罰函數(shù)表達(dá)式的右邊的第二項(xiàng)，稱為懲罰項(xiàng)，有時(shí)還稱為障礙項(xiàng)。只要設(shè)計(jì)點(diǎn)x在探索過程中始終保持為可行點(diǎn)，則懲罰項(xiàng)必為正值，且當(dāng)設(shè)計(jì)點(diǎn)又由可行域內(nèi)部遠(yuǎn)離約束邊界處移向邊界()時(shí)，則懲罰項(xiàng)的值就要急劇增大并趨向無窮大，于是懲罰函數(shù)亦隨之急劇增大直至無窮大。這時(shí)對設(shè)計(jì)變量起懲罰作用，使其在迭代過程中始終不會(huì)觸及約束邊界

19、。因此，第二項(xiàng)使約束邊界成為探索點(diǎn)的一個(gè)不能跳出可行域之外的障礙，所以又稱為障礙項(xiàng)或障礙函數(shù)，也有稱圍墻函數(shù)的。由懲罰函數(shù)的表達(dá)式可知，對懲罰函數(shù)求無約束極值時(shí)，其結(jié)果將隨給定的懲罰因子而異。為了取得約束面上的最優(yōu)解，在迭代過程中就要逐漸減小懲罰因子的值，直至為零，這樣才能迫使的極值點(diǎn)x*()收斂到原函數(shù)的約束最優(yōu)點(diǎn)x*。可以把每次迭代所求得的的無約束極值的最優(yōu)解x*()看作是以為參數(shù)的一條軌跡，當(dāng)取0且時(shí)，點(diǎn)列x*()就沿著這條軌跡趨于的約束最優(yōu)點(diǎn)。因此，懲罰因子又稱為懲罰參數(shù)。內(nèi)點(diǎn)法是隨著懲罰參數(shù)的遞減序列，使懲罰函數(shù)的無約束極值點(diǎn)x*()從可行域的內(nèi)部向原目標(biāo)函數(shù)的約束最優(yōu)點(diǎn)逼近，直到達(dá)

20、到最優(yōu)點(diǎn)。2212 懲罰函數(shù)內(nèi)點(diǎn)法的迭代步驟：1) 取初始懲罰因子0(例如取1)，允許誤差c0；2) 在可行域內(nèi)選取初始點(diǎn)，令kl；3) 從點(diǎn)出發(fā)用無約束最優(yōu)化方法求解： 的極值點(diǎn)x*()； 4) 檢驗(yàn)迭代終止準(zhǔn)則：如果滿足 和 則停止迭代計(jì)算，并以x*()為原目標(biāo)函數(shù)的約束最憂解，否則轉(zhuǎn)入下一步；5) 取c，x*()，kk+1，轉(zhuǎn)向步驟3）。遞減系數(shù)c01一05，常取01，亦可取002。內(nèi)點(diǎn)法的計(jì)算程序框圖如圖2-2所示： 圖2-2 內(nèi)點(diǎn)法程序框圖2213 應(yīng)注意的問題：1） 初始點(diǎn)的選擇因?yàn)閮?nèi)點(diǎn)法將懲罰函數(shù)定義于可行域內(nèi)，故要求嚴(yán)格滿足全部約束條件，且應(yīng)避免位于邊界上，即應(yīng)使。在機(jī)械最優(yōu)化

21、設(shè)計(jì)中，只要不顧及函數(shù)值的大小，這種點(diǎn)還是容易取得的。但當(dāng)約束條件多而復(fù)雜時(shí)，要確定一個(gè)初始可行點(diǎn)也并不十分容易。為此可先對設(shè)計(jì)問題估計(jì)一個(gè)初始點(diǎn)，這一點(diǎn)可能已滿足s個(gè)不等式約束條件，而剩下的(s-1)個(gè)約束條件未滿足，即 先求 然后將作為目標(biāo)函數(shù)，求使受約束于 （u=1，2，s） （u=s+1，s+2，m）由此構(gòu)造懲罰函數(shù)并利用程序自身的懲罰函數(shù)法求它的極值點(diǎn)。在計(jì)算中一旦取得即可以停機(jī)以節(jié)省時(shí)間，這樣得到的點(diǎn)作為初始點(diǎn)至少比原初始點(diǎn)要多滿足一個(gè)約束條件。如此反復(fù)進(jìn)行下去，直到所有約束條件均滿足為止。求初始可行點(diǎn)的另一種常用方法，可按下述迭代計(jì)算步驟進(jìn)行：i） 任取一點(diǎn)，（例如取），令k=0

22、；ii） 定出下標(biāo)集與： iii） 檢查是否為空集，若是則停止迭代，并取塞為初始內(nèi)點(diǎn)，否則進(jìn)行下一步；iv) 以為初始點(diǎn)，解問題受約束于 令所得的這個(gè)問題的最優(yōu)解為，轉(zhuǎn)下一步；v） 令 (c可取為01一05，常取01亦可取002)，令kk+1，轉(zhuǎn)向步驟ii）。 還可以采用隨機(jī)選擇初始點(diǎn)的方法來尋找可行的初始點(diǎn)。2） 初始懲罰參數(shù)的選擇 的選擇對sumt法的計(jì)算效率影響很大，在sumt法中是個(gè)比較重要的環(huán)節(jié)，選擇時(shí)需有一定的技巧和經(jīng)驗(yàn)。若值選得太小，則在新目標(biāo)函數(shù)即懲罰函數(shù)中懲罰項(xiàng)的作用就會(huì)很小，這時(shí)求的無約束極值，猶如求原目標(biāo)函數(shù)本身的無約束極值，而這個(gè)極值點(diǎn)又不大可能接近的約束極值點(diǎn)，且有跑

23、出可行域的危險(xiǎn)。相反，若值取得太大，則開始幾次構(gòu)造的懲罰函數(shù)的無約束極值點(diǎn)就會(huì)離約束邊界很遠(yuǎn)，將使計(jì)算效率降低。可取l一50，但多數(shù)情況是取=1。通常，當(dāng)初始點(diǎn)是一個(gè)嚴(yán)格的內(nèi)點(diǎn)時(shí)，則應(yīng)使懲罰項(xiàng)在新目標(biāo)函數(shù)中所起的作用與原目標(biāo)函數(shù)的作用相當(dāng)，于是得 倘若約束區(qū)域是非凸的且初始點(diǎn)亦不靠近約束邊界，則的取值可更小些，約為上式算得值的0105倍。當(dāng)初姑點(diǎn)是一個(gè)接近邊界的點(diǎn)時(shí)，按上式所求得的就會(huì)過小。這時(shí)應(yīng)當(dāng)加大值。但如果值又取得太大，則又會(huì)發(fā)生上述毛病。所以在求解時(shí)，應(yīng)對做幾次試算，以取得最合適值。222 dfp變尺度法懲罰函數(shù)內(nèi)點(diǎn)法步驟3）中用到的無約束優(yōu)化算法為dfp變尺度法。變尺度法是無約束最優(yōu)

24、化方法在最近二十多年來發(fā)展中最有影響的研究成果之一，它被公認(rèn)為求解無約束極值問題最有效的算法之一，這種方法是在牛頓法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。2221 dfp變尺度法的原理牛頓法以及修正牛頓法雖然收斂很快，但是計(jì)算較繁，需要計(jì)算二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣(hessian矩陣)的逆矩陣，即，才能求得探索方向即牛頓方向： -如果能設(shè)法構(gòu)造出一個(gè)對稱正定矩陣來代替，并在迭代過程中使逐漸逼近，那末就簡化了牛頓法的計(jì)算，且保持丁牛頓法收斂快的優(yōu)點(diǎn)，這就是變尺度法的基本思想。由于這一類方法的迭代形式與牛頓法類似。 變尺度法的法代公式為 式中： 步長，可由式 求得； 探索方向 nxn階對稱正定矩陣。因?yàn)樗怯脕泶娴模覐?/p>

25、一次迭代到另一次迭代是變化的，故稱為變尺度矩陣。其遞推形式為 式中： e校正矩陣，它應(yīng)只依賴于本次迭代的，和相應(yīng)的梯度，向量。在迭代過程中應(yīng)逐漸地逼近。如果能利用變尺度條件構(gòu)造出一個(gè)矩陣來代替，再如果 能用來表示，而其中校正矩陣又可用一個(gè)統(tǒng)一的公式表示時(shí)，則只要知道(1)便可求出(2)，并依次求出(3)，(4)，或者若已知，則可利用上式求出(k+1)，(k+2)，。計(jì)算時(shí)可取(0)i，即第l步探索是用負(fù)梯度方向。wcdavido提出并經(jīng)過rf1etcher和mjdpowell修改的求校正矩陣的公式即所謂dfp公式為 因?yàn)閚 x n階對稱正定矩陣，故上式可寫為 式中 利用上式求出校正矩陣后，便可

26、按式求出下一輪迭代的(k+1)，。求出(k+1)后，便可按式的方法決定新的探索方向：可以證明，這樣產(chǎn)生的方向也是共扼方向，而且對于非二次函數(shù)來說，它比用其它方法產(chǎn)生的共輛方向共扼性更好。dfp變尺度法在函數(shù)的梯度向量容易求出的情況下，是非常有效的。對于多維(n100)問題，由于收斂快、效果亦佳，被認(rèn)為是無約束極值問題最好的優(yōu)化方法之一。但是計(jì)算的程序較復(fù)雜，且需要較大的存貯量，特別是在有舍入誤差時(shí)，也存在數(shù)值穩(wěn)定性不夠理想的情況。2222 dfp變尺度法的計(jì)算步驟1) 選定初始點(diǎn)并給定計(jì)算精度，維數(shù)n；2) 置k0，(0)i(單位矩陣)，計(jì)算，這時(shí)探索方向?yàn)椋?=- 3) 進(jìn)行一維探索求，使

27、4) 計(jì)算，如果，則即為極小點(diǎn)，停止迭代，否則轉(zhuǎn)下一步；5）檢查迭代次數(shù)，若k=n（問題的維數(shù)），則=，并轉(zhuǎn)向步驟2），若kn，則進(jìn)行下一步；6) 構(gòu)造新的探索方向 為此應(yīng)計(jì)算然后令 k=k+1，轉(zhuǎn)向步驟3)。變尺度法的計(jì)算程序框圖如圖下所示： 圖2-3 變尺度法程序框圖223 懲罰函數(shù)外點(diǎn)法2231 懲罰函數(shù)外點(diǎn)法的原理與懲罰函數(shù)內(nèi)點(diǎn)法將懲罰函數(shù)定義于可行域內(nèi)且求解無約束問題的探索點(diǎn)總是保持在可行域內(nèi)的特點(diǎn)不同，外點(diǎn)法的特點(diǎn)是將懲罰函數(shù)定義于約束可行域之外，且求解無約束問題的探索點(diǎn)是從可行域外部逼近原日標(biāo)函數(shù)的約束最優(yōu)解的。對于目標(biāo)函數(shù)受約束于的最優(yōu)化設(shè)計(jì)問題利用外點(diǎn)法求解時(shí)，作為無約束新目

28、標(biāo)函數(shù)的懲罰函數(shù)，其一般表達(dá)式為 式中右邊第二項(xiàng)懲罰項(xiàng)； 構(gòu)造懲罰項(xiàng)函數(shù)的指數(shù)，其值將影響函數(shù)等值線在約束面處的性質(zhì)，一般取2； 懲罰因子，是大于零的一個(gè)遞增數(shù)列，即應(yīng)滿足： 0 (當(dāng)時(shí)）在懲罰項(xiàng)中：(當(dāng)時(shí)） 由此可見，當(dāng)探索點(diǎn)在可行城內(nèi)時(shí)，懲罰項(xiàng)為零；若不在可行域內(nèi)，則不為零，且愈大，則受到的“懲罰”亦愈大。因此，要使極小，必須迫使懲罰項(xiàng)等于零，亦即要求滿足約束條件，即迫使。這就保證了在可行域內(nèi)與是等價(jià)的。當(dāng)約束條件為，則函數(shù)的一般表達(dá)式為： 一般=2。同樣有： 0(當(dāng)時(shí))在懲罰項(xiàng)中：(當(dāng)時(shí)) 當(dāng)約束條件中尚包括 (v1，2，p)的等式約束時(shí)，則在式中的右邊尚需加進(jìn)第三項(xiàng)懲罰項(xiàng)。對懲罰函數(shù)求

29、無約束極值，其結(jié)果將隨給定的懲罰因子的值而異。可以將懲罰函數(shù)無約束極值問題的最優(yōu)解看作是以為參數(shù)的一條軌跡，當(dāng)取00應(yīng)寫為-x1-x20），應(yīng)轉(zhuǎn)變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)格式：-x1+0*x20.4） 待所以參數(shù)錄入完成后，單擊按鈕，軟件自動(dòng)尋優(yōu)，計(jì)算結(jié)束后，尋優(yōu)結(jié)果顯示在結(jié)果輸出框中；5） 對于二維數(shù)學(xué)模型，可以以圖象的形式顯示尋優(yōu)結(jié)果，在計(jì)算完畢后，單擊按鈕，則可以在左邊的繪圖框中顯示目標(biāo)函數(shù)的等值線、約束條件圖形線和每次迭代尋優(yōu)所得的點(diǎn)。圖形縮放條的作用是縮放圖形的大小，以利于更好的理解迭代尋優(yōu)的過程；6） 如果要進(jìn)行下一次的尋優(yōu)計(jì)算，則可單擊 按鈕，把輸入?yún)?shù)、輸出參數(shù)以及圖形全部清除。4 優(yōu)化算例與分

30、析4.1 優(yōu)化算例算例一：s. t. 理論最優(yōu)解：1 1t 1 分別用本課題開發(fā)的軟件和matlab優(yōu)化工具箱中優(yōu)化函數(shù)求解，結(jié)果如表4-1所示：算法最優(yōu)點(diǎn)最優(yōu)值迭代次數(shù)罰函數(shù)內(nèi)點(diǎn)法1 1112罰函數(shù)外點(diǎn)法1 10.999998罰函數(shù)混合法0.99999 1111matlab優(yōu)化工具箱中優(yōu)化函數(shù)fmincon1 11- 表4-1算例二：s. t. 理論最優(yōu)解：3.512 0.217 3.552t 961.715分別用本課題開發(fā)的軟件和matlab優(yōu)化工具箱中優(yōu)化函數(shù)求解，結(jié)果如表4-2所示： 算法最優(yōu)點(diǎn)最優(yōu)值迭代次數(shù)罰函數(shù)內(nèi)點(diǎn)法-罰函數(shù)外點(diǎn)法3.5193 0.21847 3.5607961.5

31、4051罰函數(shù)混合法3.5121 0.21699 3.5522961.715210matlab優(yōu)化工具箱中優(yōu)化函數(shù)fmincon1.3845 2.6553 1.1071977.5471- 表4-2 算例二中，用matlab優(yōu)化工具箱中優(yōu)化函數(shù)fmincon求解時(shí)，命令窗口中出現(xiàn)如下提示：maximum number of function evaluations exceeded; increase options.maxfunevals.這說明優(yōu)化工具箱的使用是比較煩鎖的。4.2 結(jié)果分析從以上兩個(gè)算例的結(jié)果可以看出：（1） 本課題開發(fā)的軟件起搜索精度是高的；（2） 相對優(yōu)化工具箱的優(yōu)化函數(shù)

32、而言，其收斂速度不夠快，還有待改進(jìn)，但優(yōu)化工具箱中的優(yōu)化函數(shù)是matlab自帶的函數(shù)，其優(yōu)先級最高；（3） 在人機(jī)交互方面，本軟件有著絕對的優(yōu)勢，圖形用戶界面友好、易懂，而優(yōu)化工具箱中的優(yōu)化函數(shù)使用起來頗費(fèi)周章。5 結(jié)論 本課題研制開發(fā)了一個(gè)可視化的約束優(yōu)化設(shè)計(jì)軟件，適用于教學(xué)過程中幫助學(xué)生更好的理解優(yōu)化算法的尋優(yōu)過程，主要完成了以下工作：（1）完成了懲罰函數(shù)內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)和混合法程序的編制；（2）算法具有可選性，即用戶可自主選擇所需優(yōu)化方法并設(shè)置優(yōu)化參數(shù)；（3）可求解任意維的約束優(yōu)化問題，對二維優(yōu)化問題，提供模型等值線圖和約束條件的圖象以及每次尋優(yōu)迭代的最優(yōu)點(diǎn)。并可以適當(dāng)?shù)目s放生成的圖形；（4）本軟件平臺(tái)具有方便易用的圖形用戶界面(gui )；（5）提供了一定的錯(cuò)誤檢測功能。本軟件有較好的穩(wěn)定性，但是還不夠成熟、完善，欲對軟件進(jìn)一步完善，還需要做以下方面的工作：（1） 添加完善約束優(yōu)化方法；（2） 完善圖形的縮放功能；（3） 優(yōu)化過程的可視化，實(shí)時(shí)圖形化地顯示系統(tǒng)優(yōu)化過程，讓用戶直觀形象的了解系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)。（4） 編譯成可執(zhí)行文件（.exe），能脫離matlab單獨(dú)運(yùn)行。致謝 首先，要感謝我的導(dǎo)