1、1第第 七七 章章圓軸扭轉時的應力圓軸扭轉時的應力271 薄壁圓筒的扭轉薄壁圓筒的扭轉 薄壁圓筒：壁厚0101rt （r0：為平均半徑）一、實驗：1.實驗前：繪縱向線，圓周線；繪縱向線，圓周線；施加一對外力偶施加一對外力偶 m。32.實驗后：實驗后：圓周線不變；圓周線不變；縱向線變成斜直線。縱向線變成斜直線。3.結論：圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改結論：圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改 變，只是繞軸線作了相對轉動。變，只是繞軸線作了相對轉動。 各縱向線均傾斜了同一微小角度各縱向線均傾斜了同一微小角度 。 所有矩形網格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。所有矩形網格均歪斜成同樣大

2、小的平行四邊形。4 acddxbdy 無正應力無正應力 橫截面上各點處，只產橫截面上各點處，只產生垂直于半徑的均勻分布的剪生垂直于半徑的均勻分布的剪應力應力 ，沿周向大小不變，方，沿周向大小不變，方向與該截面的扭矩方向一致。向與該截面的扭矩方向一致。4. 與與 的關系：的關系：LRRL 微小矩形單元體如圖所示：微小矩形單元體如圖所示：5二、薄壁圓筒剪應力二、薄壁圓筒剪應力 大小：大小： tATtrTTtrrArTrAAA 2 2 2d d 0 200000A0：平均半徑所作圓的面積。6三、三、切應力互等定理： 0故dxdytdxdytmz上式稱為切應力互等定理切應力互等定理。 該定理表明：在單

3、元體相互垂直的兩個平面上，在單元體相互垂直的兩個平面上，剪應力必然成對出現，且數值相等，兩者都垂直于兩剪應力必然成對出現，且數值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向則共同指向或共同背離該交線。平面的交線，其方向則共同指向或共同背離該交線。acddxb dy tz7 單元體的四個側面上只有剪應力而無正應力單元體的四個側面上只有剪應力而無正應力作用，這種應力狀態稱為作用，這種應力狀態稱為純剪切應力狀態純剪切應力狀態。acddxb dy tz8 剪切虎克定律：剪切虎克定律：當剪應力不超過材料的剪切比例當剪應力不超過材料的剪切比例極限時（極限時（ p)，剪應力與剪應變成正比關系。剪應力與剪應變成正比

4、關系。G9 式中：G是材料的一個彈性常數，稱為剪切彈性模量，因 無量綱，故G的量綱與 相同，不同材料的G值可通過實驗確定，鋼材的G值約為80GPa。 可見，在三個彈性常數中，只要知道任意兩個，第三個量就可以推算出來。)1 (2EG G 、E和 是表明材料彈性性質的三個常數。對各向同性材料，這三個彈性常數之間存在下列關系（推導詳見后面章節）：10等直圓桿橫截面應力等直圓桿橫截面應力變形幾何方面變形幾何方面物理關系方面物理關系方面靜力學方面靜力學方面一、等直圓桿扭轉實驗觀察：一、等直圓桿扭轉實驗觀察： 各圓周線的形狀、大小各圓周線的形狀、大小和間距均未改變，僅繞軸線和間距均未改變，僅繞軸線作相對轉

5、動；各縱向線均傾作相對轉動；各縱向線均傾斜了同一微小角度斜了同一微小角度 。7-2 7-2 等直圓桿在扭轉時的應力等直圓桿在扭轉時的應力 強度條件強度條件11 可假設：可假設： 1. 橫截面變形后仍為平面；只是剛性地繞桿橫截面變形后仍為平面；只是剛性地繞桿軸線轉動；軸線轉動； 2. 軸向無伸縮；軸向無伸縮； 圓周扭轉時可視為圓周扭轉時可視為:許多薄壁筒鑲套而成。許多薄壁筒鑲套而成。12二、等直圓桿扭轉時橫截面上的應力：二、等直圓桿扭轉時橫截面上的應力：1. 變形幾何關系：變形幾何關系：xxGGdddtg1xdd距圓心為距圓心為 任一點處的任一點處的 與到圓心的距離與到圓心的距離 成正比。成正比

6、。xdd 扭轉角沿長度方向變化率。扭轉角沿長度方向變化率。132. 物理關系：物理關系：虎克定律：虎克定律：代入上式得：代入上式得： GxGxGGddddxGdd 143. 靜力學關系：靜力學關系：AxGAxGAMxAAAddd ddd d22AIApd2令xGIMxpdd pGIMxx dd 代入物理關系式 得：xGdd pIMxOdA15pIMx橫截面上距圓心處任一點剪應力計算公式。4. 公式討論：公式討論： 僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時的等圓僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時的等圓截面直桿。截面直桿。 式中：式中：Mx橫截面上的扭矩，由截面法求得。橫截面上的扭矩，由截面

7、法求得。 該點到圓心的距離。該點到圓心的距離。 Ip極慣性矩，純幾何量，無物理意義。極慣性矩，純幾何量，無物理意義。16單位：單位：mm4，m4。AIApd232d2 d42022DAIDAp對于實心圓截面：對于實心圓截面：DdO對于空心圓截面：對于空心圓截面：)1 (32)(32 d2d44442222DdDAIDdApdDOd)(Dd17 應力分布應力分布（空心截面）工程上采用空心截面構件：提高強度，節約材料，重工程上采用空心截面構件：提高強度，節約材料，重量輕，結構輕便，應用廣泛。量輕，結構輕便，應用廣泛。（實心截面）18 確定最大剪應力：確定最大剪應力：pIMx由知：當max , 2d

8、R)2 ( 22 maxdIWWMxdIMxIdMxptpp令tWMxmaxWt 抗扭截面系數抗扭截面系數,單位：單位：mm3或或m3。對于實心圓截面：對于實心圓截面：163DRIWpt對于空心圓截面：對于空心圓截面：16)1 (43DRIWpt19實心軸與空心軸實心軸與空心軸 Ip 與與 Wp 對比對比20練習練習判別下面截面上剪應力分布是否正確。判別下面截面上剪應力分布是否正確。TM a bTM cTM dTM21已知：已知：P7.5kW, n=100r/min, ,最大切最大切應力應力不得超過不得超過40MPa, ,空心圓軸的內空心圓軸的內外直徑之比外直徑之比 = 0.5。二軸長度相同。

9、二軸長度相同。求求: : 實心軸的直徑實心軸的直徑d1和空心軸的外和空心軸的外直徑直徑D2；確定二軸的重量之比。；確定二軸的重量之比。解：解： 首先由軸所傳遞的功率計算作用在軸上的扭矩首先由軸所傳遞的功率計算作用在軸上的扭矩31616 716 20 045m=45mm40 10.d實心軸實心軸MPadMxWMxP40163111max7 595499549716 2N m100.xPMTn Mx 22空心軸空心軸d20.5D2=23 mm324616 716 20 046m=46mm 1-40 10.D已知：已知：P7.5kW, n=100r/min, ,最大切最大切應力應力不得超過不得超過4

10、0MPa, ,空心圓軸的內空心圓軸的內外直徑之比外直徑之比 = 0.5。二軸長度相同。二軸長度相同。求求: : 實心軸的直徑實心軸的直徑d1和空心軸的外和空心軸的外直徑直徑D2；確定二軸的重量之比。；確定二軸的重量之比。MPaDMxWMxP4011643222max23確定實心軸與空心軸的重量之比確定實心軸與空心軸的重量之比空心軸空心軸D D2 246 mm46 mmd d2 223 mm23 mm 實心軸實心軸d d1 1=45 mm=45 mm 長度相同的情形下，二軸的重量之比即為長度相同的情形下，二軸的重量之比即為橫截面面積之比：橫截面面積之比：28. 15 . 011104610451

11、22332222121DdAA24P1=14kW, P2= P3= P1/2=7 kWn1=n2= 120r/min360r/minr/min12361203113zznn解：解：1 1、計算各軸的功率與轉速、計算各軸的功率與轉速M1=Mx1=1114 N.mM2=Mx2=557 N.mM3=Mx3=185.7 N.m2 2、計算各軸的扭矩、計算各軸的扭矩3 3已知：已知：P114kW,P2=P3=P1/2，n1=n2=120r/min,z1=36,z3=12;d1=70mm, d2=50mm,d3=35mm. 求求: :各各軸軸橫截面上的最大切應力橫截面上的最大切應力。25 16.54MPa

12、Pa1070111416E9-31P1maxWMx .69MPa22Pa105055716H9-32P2maxWMx .98MPa12Pa10537 .18516C9-33P3maxWMx3 3、計算各軸的橫截面上的、計算各軸的橫截面上的 最大切應力最大切應力3 326相對扭轉角相對扭轉角四、圓軸扭轉時的變形計算四、圓軸扭轉時的變形計算niPiiiGIlMx1p0pddGIMxlxGIMxll7-37-3 圓軸扭轉時的變形計算圓軸扭轉時的變形計算抗扭剛度抗扭剛度pGIxGIMxddpMxMxMxMx271. 1. 等截面圓軸：等截面圓軸：2. 2. 階梯形圓軸：階梯形圓軸：7-4 7-4 圓軸

13、扭轉時的強度條件圓軸扭轉時的強度條件 剛度條件剛度條件 PWMxmax PWMxmaxmax maxmaxPWMxMx28單位長度扭轉角單位長度扭轉角扭轉剛度條件扭轉剛度條件許用單位扭轉角許用單位扭轉角p0pddGIMxlxGIMxllmradGIMxdxdPmaxmGIMxdxdP180max max，MxMx29扭轉強度條件扭轉強度條件扭轉剛度條件扭轉剛度條件已知已知Mx 、D D 和和 ，校核強度校核強度已知已知Mx 和和 ,設計截面設計截面已知已知D D 和和 ，確定許可載荷確定許可載荷已知已知Mx 、D D 和和 ，校核剛度校核剛度已知已知Mx和和 ，設計截面設計截面已知已知D D

14、和和 ，確定許可載荷確定許可載荷 maxPGIMx PWMxmax30MxMxMxMxMx31 傳動軸的轉速為傳動軸的轉速為n=500r/min，主動輪，主動輪A 輸入功率輸入功率P1=400kW，從動輪從動輪C，B 分別輸出功率分別輸出功率P2=160kW，P3=240kW。已知已知=70MPa，=1/m，G=80GPa。 (1)(1)試確定試確定AC 段的直徑段的直徑d1 和和BC 段的直徑段的直徑d2； (2)(2)若若AC 和和BC 兩段選同一直徑，試確定直徑兩段選同一直徑，試確定直徑d； (3)(3)主動輪和從動輪應如何安排才比較合理主動輪和從動輪應如何安排才比較合理? ?1eMAB

15、C2eM3eM1d2dnPMe119549mN76405004009549mN306040016012eeMMmN458040024013eeMM解：解： 1.1.外力外力 32 2.2.扭矩圖扭矩圖 mm2 .82m102 .821070764016 1633631Mxd按剛度條件按剛度條件 mm4 .86m104 .8611080180764032180323429421GMxd3.3.直徑直徑d d1 1的選取的選取 按強度條件按強度條件 mm4 .861d 31max16dMx1803241maxdGMxmN7640mN4580 1eMABC2eM3eM1d2d33按剛度條件按剛度條件

16、 4.4.直徑直徑d d2 2的選取的選取 按強度條件按強度條件 mm3 .69m103 .6910704580161633632Mxdmm76m107611080180458032180323429422GMxdmm762d 5.5.選同一直徑時選同一直徑時mm4 .861 ddmN7640mN4580 1eMABC2eM3eM1d2d346.6.將主動輪按裝在將主動輪按裝在兩從動輪之間兩從動輪之間受力合理受力合理2eMCBA1eM3eM1d2dmN3060mN4580 1eMABC2eM3eM1d2dmN7640mN4580 357-5 7-5 材料扭轉時的力學性質材料扭轉時的力學性質36

17、低碳鋼扭轉破壞斷口 第三章第三章 扭轉扭轉37鑄鐵扭轉破壞斷口第三章第三章 扭轉扭轉38低碳鋼試件：沿橫截面斷開。鑄鐵試件：沿與軸線約成45的螺旋線斷開。因此還需要研究斜截面上的應力。391. 點M的應力單元體如圖(b)：(a)M(b) (c)2. 斜截面上的應力； 取分離體如圖(d)：(d) x40(d) xnt轉角規定：軸正向轉至截面外法線逆時針：為“+”順時針：為“”由平衡方程：0)cossind()sincosd(d ; 0AAAFn0)sinsind()coscosd(d ; 0AAAFt解得：2cos ; 2sin 412cos ; 2sin 分析：當 = 0時，max00 , 0

18、當 = 45時，0 , 45min45當 = 45時，0 , 45max45當 = 90時，max9090 , 0 45 由此可見：圓軸扭轉時，在橫截面和縱截面上的剪應力為最大值；在方向角 = 45的斜截面上作用有最大壓應力和最大拉應力。根據這一結論，就可解釋前述的破壞現象。4276 非圓截面等直桿在自由扭轉時的應力和變形非圓截面等直桿在自由扭轉時的應力和變形非圓截面等直桿：非圓截面等直桿：平面假設不成立。即各截面發生翹曲不保持平面。因此，由等直圓桿扭轉時推出的應力、變形公式不適用，須由彈性力學方法求解。43一一、自由扭轉、自由扭轉：桿件扭轉時，橫截面的翹曲不受限制，任意兩相 鄰截面的翹曲程度完全相同。二二、約束扭轉：、約束扭轉：桿件扭轉時，橫截面的翹曲受到限制，相鄰截面 的翹曲程度不同。三三、矩形桿橫截面上的剪應力、矩形桿橫截面上的剪應力: : hbh 1T max 注意！b1. 剪應力分布如圖：（角點、形心、長短邊中點）442. 最大剪應力及單位扭轉角max1 hbh 1T max 注意！b maxmaxtWT3 btW其中：4 bIt , tGIT其中：It相當極慣性矩。45hbtWWTt2maxmax :其中注意！注意！ 對于W t 和 It ，多數教材與手冊上有如下定義：h