1、判定正項級數斂散性的思路與方法：判定正項級數斂散性的思路與方法：觀察lim0?nnu 不是發 散是比值審斂法 limn1nunu1收 斂發 散1不定 比較審斂法用它法判別部分和極限1是否為等比級數或p級數1nnu 是確定斂散不是二、交錯級數及其審斂法二、交錯級數及其審斂法 則各項符號正負相間的級數111231( 1)( 1)nnnnnuuuuu 稱為交錯級數交錯級數 .交錯級數審斂法交錯級數審斂法 ( Leibnitz 萊布尼茲定理萊布尼茲定理 )則級數; ),2, 1() 11nuunn,0lim)2nnunnnu11) 1(收斂 , 其和非負且,1uS 其余項滿足.1nnur,2, 1,0

2、nun設1231( 1)( 1)nnnnnuuuuu 或 若交錯級數 滿足條件:11( 1)nnnu證證: )()()(21243212nnnuuuuuuS)()()(1222543212nnnuuuuuuuS1u是單調遞增有界數列,nS212limuSSnn又)(limlim12212nnnnnuSSnnS2lim故級數收斂于S, 且10.Su0nu2nnSSr)(21nnuu21nnnuur1nu故S級數余項：收斂收斂nn1) 1(4131211) 11!1) 1(!41!31!211)21nn例例1 簡答：用Leibnitz 判別法判別法判別下列級數的斂散性:nnn10) 1(10410

3、3102101)31432收斂上述級數各項取絕對值后所成的級數是否收斂 ?;1) 11nn;!1)21nn.10)31nnn發散收斂收斂 ! ) 1(1 n!1n11 nnnuu1 101 1nnnn10 nn1101 三、絕對收斂與條件收斂三、絕對收斂與條件收斂 定義定義: 對任意項級數,1nnu若若原級數收斂, 但取絕對值以后的級數發散, 111) 1(nnn111( 1),!nnn1110) 1(nnnn1nnu收斂 ,1nnu數1nnu為條件收斂 .均為絕對收斂.例如例如 ：絕對收斂 ；則稱原級數條件收斂 .則稱原級定理定理2：若若證證: 設1nnunv),2,1(n根據比較審斂法顯然

4、,0nv1nnv收斂,收斂。12nnvnnnuvu 2,1nnu1nnu也收斂。)(21nnuu 且nv,nu收斂 ,令1nnu1nnu收斂 ,則也收斂而且1nnu注意：發散，只能說明原級數不絕對收斂；即：原級數可能發散，可能條件收斂。所以定理定理3 . 比值判別法 ( Dalembert 判別法)設 nu滿足1lim,nnnuu則(1) 當1(2) 當1時, 級數絕對收斂 ;時，級數發散 ；(3) 當1時，本法失效 .例例2 判定級數1!nnxn的斂散性 .的斂散性 .解：解：11!limlim(1)!nnnnnnxununx lim011nxn 所以，對一切 x 值，級數絕對收斂。例例3.

5、 判定下列級數是否收斂？若收斂，是絕對收斂，還是條件收斂？411sin1(1);(2)( 1)nnnnnn解解: (1),1sin44nnn而141nn收斂 ,41sinnnn收斂因此14sinnnn絕對收斂 .由比較審斂法可得p級數中p1的情形(2) 1111( 1)nnnnn111,1nnuunn所以根據萊布尼茲判別法，原級數收斂,且為條件收斂。11(2)( 1)nnn是發散的.1limlim0nnnun而且p級數中p1時，絕對收斂；當p 1時，條件收斂。例例4. 判定級數1nnxn解解: 11limlim1nnnnnnuxnunx所以，當時，級數絕對收斂 ；的斂散性lim1nnxxn1x 當1x 時，級數絕對發散 ；當1x 時，級數為11nn發散；當1x 時，級數為1( 1)nnn條件收斂。小結1.交錯級數的 Leibniz審斂法:01nnuu0limnnunnnu1) 1(收斂2.絕對收斂與條件收斂的概念。3.任意項級數