1、第三節(jié)等比數(shù)列 內(nèi)容索引內(nèi)容索引必備知識(shí)自主學(xué)習(xí)核心考點(diǎn)精準(zhǔn)研析核心素養(yǎng)微專(zhuān)題核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)【教材【教材知識(shí)梳理】知識(shí)梳理】1.1.等比數(shù)列定義與等比中項(xiàng)等比數(shù)列定義與等比中項(xiàng)(1)(1)定義：定義：文字語(yǔ)言：從文字語(yǔ)言：從_起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的_都等于都等于_一個(gè)常數(shù)；一個(gè)常數(shù)；符號(hào)語(yǔ)言：符號(hào)語(yǔ)言：_(nN_(nN* *，q q為非零常數(shù)為非零常數(shù)).).(2)(2)等比中項(xiàng)：如果等比中項(xiàng)：如果a a，G G，b b成等比數(shù)列，那么成等比數(shù)列，那么_叫做叫做a a與與b b的等比中項(xiàng)的等比中項(xiàng). .即：即：G G是是a a與與b b的等比中項(xiàng)的等比中項(xiàng)a a，G G

2、，b b成等比數(shù)列成等比數(shù)列G G2 2=_.=_.n 1naqa第第2 2項(xiàng)項(xiàng)比比同同G Gabab2.2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n n項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式(1)(1)通項(xiàng)公式：通項(xiàng)公式：a an n=_.=_.(2)(2)前前n n項(xiàng)和公式：項(xiàng)和公式：S Sn n= = _q 1_q1.， ，1nan1a (1q )1q1naa q1qa a1 1q qn-1n-13.3.等比數(shù)列的性質(zhì)等比數(shù)列的性質(zhì)(1)(1)通項(xiàng)公式的推廣：通項(xiàng)公式的推廣：a an n=a=am mq qn-mn-m(m(m，nNnN* *).).(2)(2)對(duì)任意的正整數(shù)對(duì)任意的正整數(shù)m m，n n

3、，p p，q q，若，若m+n=p+qm+n=p+q，則，則_=_._=_.特別地，若特別地，若m+n=2pm+n=2p，則，則_._.a am ma an na ap pa aq q2mnpaaa 【知識(shí)點(diǎn)辨析】【知識(shí)點(diǎn)辨析】( (正確的打正確的打“”,”,錯(cuò)誤的打錯(cuò)誤的打“”)”)(1)(1)等比數(shù)列等比數(shù)列aan n 的公比的公比q1,q1,則該數(shù)列單調(diào)遞增則該數(shù)列單調(diào)遞增. .( () )(2)(2)數(shù)列數(shù)列aan n,b,bn n 都是等比數(shù)列都是等比數(shù)列, ,則數(shù)列則數(shù)列aan nb bn n, , 仍然是等比數(shù)列仍然是等比數(shù)列. . ( () )(3)(3)數(shù)列數(shù)列aan n 的

4、通項(xiàng)的通項(xiàng)a an n=a=an n, ,則其前則其前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n= .= .( () )(4)(4)設(shè)設(shè)S Sn n是等比數(shù)列是等比數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和, ,則則S Sn n,S,S2n2n-S-Sn n,S,S3n3n-S-S2n2n是等比數(shù)列是等比數(shù)列. .( () )nnabna(1 a )1 a提示提示: :(1)(1). .在等比數(shù)列在等比數(shù)列aan n 中中, ,若公比若公比q1,q1,當(dāng)當(dāng)a a1 100時(shí)時(shí), ,該數(shù)列為遞增數(shù)列該數(shù)列為遞增數(shù)列,a,a1 100時(shí)時(shí), ,該數(shù)列為遞減數(shù)列該數(shù)列為遞減數(shù)列, ,所以所以(1)(1)錯(cuò)誤錯(cuò)誤.

5、.(2).(2).設(shè)等比數(shù)列設(shè)等比數(shù)列aan n,b,bn n 的公比分別為的公比分別為q q1 1,q,q2 2, ,則則 =q=q1 1q q2 2( (與與n n無(wú)關(guān)的常數(shù)無(wú)關(guān)的常數(shù)),), ( (與與n n無(wú)關(guān)的常數(shù)無(wú)關(guān)的常數(shù)),),所以所以(2)(2)正確正確. .(3)(3). .對(duì)于數(shù)列對(duì)于數(shù)列aan n,當(dāng)當(dāng)a=1a=1時(shí)時(shí),S,Sn n=n,=n,當(dāng)當(dāng)a1a1時(shí)時(shí), ,則其前則其前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n= ,= ,所以所以(3)(3)錯(cuò)誤錯(cuò)誤. .n 1n 1nnaba bn 1n 11n2nabqaqbna(1 a )1 a(4)(4). .在公比在公比q=-1,n

6、q=-1,n為偶數(shù)時(shí)為偶數(shù)時(shí),S,Sn n=S=S2n2n-S-Sn n=S=S3n3n-S-S2n2n=0,=0,此時(shí)此時(shí),S,Sn n,S,S2n2n-S-Sn n,S,S3n3n-S-S2n2n不是等不是等比數(shù)列比數(shù)列, ,所以所以(4)(4)錯(cuò)誤錯(cuò)誤. .【易錯(cuò)點(diǎn)索引】【易錯(cuò)點(diǎn)索引】序號(hào)序號(hào)易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示典題索引典題索引1 1運(yùn)算錯(cuò)誤運(yùn)算錯(cuò)誤考點(diǎn)一、考點(diǎn)一、T5T52 2q=1q=1的特殊性是否討論的特殊性是否討論考點(diǎn)一、考點(diǎn)一、T2T23 3不能進(jìn)行正確轉(zhuǎn)化不能進(jìn)行正確轉(zhuǎn)化考點(diǎn)二、考點(diǎn)二、T2T24 4等比數(shù)列性質(zhì)應(yīng)用錯(cuò)誤等比數(shù)列性質(zhì)應(yīng)用錯(cuò)誤考點(diǎn)三、角度考點(diǎn)三、角度1,21,2【教

7、材【教材基礎(chǔ)自測(cè)】基礎(chǔ)自測(cè)】1.(1.(必修必修5P485P48練習(xí)練習(xí)BT1BT1改編改編 ) )對(duì)任意等比數(shù)列對(duì)任意等比數(shù)列aan n,下列說(shuō)法一定正確的是下列說(shuō)法一定正確的是( () )A.aA.a1 1,a,a3 3,a,a9 9成等比數(shù)列成等比數(shù)列B.aB.a2 2,a,a3 3,a,a6 6成等比數(shù)列成等比數(shù)列C.aC.a2 2,a,a4 4,a,a8 8成等比數(shù)列成等比數(shù)列D.aD.a3 3,a,a6 6,a,a9 9成等比數(shù)列成等比數(shù)列【解析】【解析】選選D.D.因?yàn)閿?shù)列因?yàn)閿?shù)列aan n 為等比數(shù)列為等比數(shù)列, ,設(shè)其公比為設(shè)其公比為q,q,則則a a3 3aa9 9=a=a

8、1 1qq2 2aa1 1qq8 8= = 所以所以a a3 3,a,a6 6,a,a9 9一定成等比數(shù)列一定成等比數(shù)列. .52216(a q )a ,2.(2.(必修必修5P515P51習(xí)題習(xí)題2-3AT12-3AT1改編改編 ) )已知等比數(shù)列已知等比數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n, ,且且a a1 1+a+a3 3= ,= ,a a2 2+a+a4 4= ,= ,則公比則公比q= q= ( () )【解析】【解析】選選C.C.由等比數(shù)列可得由等比數(shù)列可得, a, a2 2+a+a4 4=(a=(a1 1+a+a3 3)q= q= ,)q= q= ,解得解得q=2

9、.q=2.545211A.B.4C.2D.4254523.(3.(必修必修5P465P46例例4 4改編改編 ) )在在3 3與與192192中間插入兩個(gè)數(shù)中間插入兩個(gè)數(shù), ,使它們同這兩個(gè)數(shù)成等比數(shù)列使它們同這兩個(gè)數(shù)成等比數(shù)列, ,則這兩個(gè)數(shù)為則這兩個(gè)數(shù)為_(kāi)._.【解析】【解析】設(shè)該數(shù)列的公比為設(shè)該數(shù)列的公比為q,q,由題意知由題意知,192=3,192=3q q3 3,q,q3 3=64,=64,所以所以q=4.q=4.所以插入的所以插入的兩個(gè)數(shù)分別為兩個(gè)數(shù)分別為3 34=12,124=12,124=48.4=48.答案答案: :12,4812,484.(4.(必修必修5P515P51練習(xí)

10、練習(xí)BT1BT1改編改編 ) )等比數(shù)列等比數(shù)列aan n 的首項(xiàng)的首項(xiàng)a a1 1=-1,=-1,前前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n, ,若若 , ,則則aan n 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式a an n=_.=_.105S31S32【解析】【解析】因?yàn)橐驗(yàn)?, ,所以所以 , ,因?yàn)橐驗(yàn)镾 S5 5,S,S1010-S-S5 5,S,S1515-S-S1010成等比數(shù)列成等比數(shù)列, ,且且公比為公比為q q5 5, ,所以所以q q5 5=- ,q=- ,=- ,q=- ,則則a an n= .= .答案答案: : 105S31S321055SS1S3213212n1n1111 ()()22 n

11、11()2 【解題新思維】解題新思維】 活用等比數(shù)列前活用等比數(shù)列前n n項(xiàng)和的性質(zhì)解題項(xiàng)和的性質(zhì)解題【結(jié)論】【結(jié)論】在等比數(shù)列在等比數(shù)列aan n 中中, ,其前其前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n, ,當(dāng)公比當(dāng)公比q-1q-1時(shí)時(shí),S,Sn n,S,S2n2n-S-Sn n,S,S3n3n- -S S2n2n, ,成等比數(shù)列成等比數(shù)列(nN(nN* *).).【典例】【典例】設(shè)等比數(shù)列設(shè)等比數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n, ,若若 =3,=3,則則 =_.=_.【解析】【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)由等比數(shù)列的性質(zhì)S S3 3,S,S6 6-S-S3 3,S,S9 9-S-

12、S6 6仍成等比數(shù)列仍成等比數(shù)列, ,由已知得由已知得S S6 6=3S=3S3 3, ,所以所以 即即S S9 9-S-S6 6=4S=4S3 3,S,S9 9=7S=7S3 3, ,所以所以 . .答案答案: : 63SS96SS6396363SSSSSSS96S7S373【一題多解】【一題多解】因?yàn)橐驗(yàn)閍an n 為等比數(shù)列為等比數(shù)列, ,由由 =3,=3,設(shè)設(shè)S S6 6=3a,S=3a,S3 3=a(a0),=a(a0),所以所以S S3 3,S,S6 6- -S S3 3,S,S9 9-S-S6 6為等比數(shù)列為等比數(shù)列, ,即即a,2a,Sa,2a,S9 9-S-S6 6成等比數(shù)列

13、成等比數(shù)列, ,所以所以S S9 9-S-S6 6=4a,=4a,解得解得S S9 9=7a,=7a,所以所以 答案答案: : 63SS96S7a7.S3a373【遷移應(yīng)用】【遷移應(yīng)用】已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 是等比數(shù)列是等比數(shù)列,S,Sn n為其前為其前n n項(xiàng)和項(xiàng)和, ,若若a a1 1+a+a2 2+a+a3 3=4,a=4,a4 4+a+a5 5+a+a6 6=8,=8,則則S S1212=(=() )A.40A.40B.60B.60C.32C.32D.50D.50【解析】【解析】選選B.B.數(shù)列數(shù)列S S3 3,S,S6 6-S-S3 3,S,S9 9-S-S6 6,S,S1212-S-S9 9是等比數(shù)列是等比數(shù)列