1、導數知識要點1. 導數（導函數的簡稱）的定義：設是函數定義域的一點，如果自變量在處有 增量，貝U函數值也引起相應的增量；比值稱為函數在點到之間的平均變化率； 如 果極限存在，則稱函數在點處可導，并把這個極限叫做在處的導數，記作或，即注：是增量，我們也稱為“改變量”，因為可正，可負，但不為零已知函數定義域為，的定義域為，則與關系為2. 函數在點處連續與點處可導的關系：函數在點處連續是在點處可導的必要不充分條件 .可以證明，如果在點處可導，那么點處連續.事實上，令，則相當于.于是如果點處連續，那么在點處可導，是不成立的.例：在點處連續，但在點處不可導，因為，當0時，；當v0時，故不存在.注：可導的

2、奇函數函數其導函數為偶函數.可導的偶函數函數其導函數為奇函數.3. 導數的幾何意義：函數在點處的導數的幾何意義就是曲線在點處的切線的斜率，也就是說，曲線在點P處的切線的斜率是，切線方程為4. 幾種常見的函數導數：（為常數）（）5. 求導數的四則運算法則：為常數) 注：必須是可導函數.若兩個函數可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函數均不可導，則它 們的和、差、積、商不一定不可導 .例如：設，則在處均不可導，但它們和在處均可導 .6. 復合函數的求導法則：或 復合函數的求導法則可推廣到多個中間變量的情形 .7. 函數單調性：函數單調性的判定方法：設函數在某個區間內可導，如果0,則為增函數；如

3、果v 0,則為減函數.常數的判定方法； 如果函數在區間內恒有 =0，則為常數. 注：是f (x)遞增的充分條件，但不是必要條件，如在上并不是都有，有一 個點例外即x=0時f (x) = 0，同樣是f (x)遞減的充分非必要條件.一般地，如果f (x)在某區間內有限個點處為零，在其余各點均為正(或負)， 那么f (x)在該區間上仍舊是單調增加(或單調減少)的.8. 極值的判別方法：(極值是在附近所有的點，都有V,貝U是函數的極大值， 極小值同理)當函數在點處連續時， 如果在附近的左側0，右側v 0，那么是極大值； 如果在附近的左側v 0，右側 0，那么是極小值.也就是說是極值點的充分條件是點兩側

4、導數異號，而不是=0.此外，函數不可導的點也可能是函數的極值點 . 當然，極值是一個局部概念，極值點的大小 關系是不確定的，即有可能極大值比極小值小(函數在某一點附近的點不同) . 注： 若點是可導函數的極值點， 則=0. 但反過來不一定成立 . 對于可導函數， 其一點是極值點的必要條件是若函數在該點可導，則導數值為零 . 例如：函數，使 =0，但不是極值點 .例如：函數，在點處不可導，但點是函數的極小值點 .9. 極值與最值的區別：極值是在局部對函數值進行比較，最值是在整體區間上 對函數值進行比較 .注：函數的極值點一定有意義 .導數練習一、選擇題1.設函數f(x)在R上可導,其導函數f (

5、x),且函數f(x)在x2處取得極小值,則函數y xf (x)的圖象可能是2設aO,bO,e是自然對數的底數A. 若 ea+2a=eb+3b,則 abB. 若 ea+2a=eb+3b,則 abD. 若 ea-2a=eb-3b,則 a0, b0.A.若 2a 2a 2b 3b ,則 abC.若 2a 2a 2b 3b ,則 ab( )B .若 2a 2a 2b 3b,則 abD.若 2a 2a 2b 3b ,則 ab9.設函數f(x)在R上可導，其導函數為f(x),且函數y(1 x)f (x)的圖像如題(8)圖所示,則下列結論中一定成立的是A.函數f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)B.函數

6、f(x)有極大值f( 2)和極小值f(1)C.函數f(x)有極大值f(2)和極小值f( 2)D.函數f(x)有極大值f( 2)和極小值f(2)函數)10 .設函數f (x) xex,則(A.x1為f (x)的極大值點B.x1為f (x)的極小值點C.x1為f (x)的極大值點D.x 1為f (x)的極小值點11 .設a 0且a 1 ,則“函數f(x) ax在R上是減函數”,是g(x) (2 a)x1a * 2 求函數f (x)的單調區間；(II) 若函數f(x)在區間(2,0)內恰有兩個零點,求a的取值范圍;在R上是增函數”的(A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也

7、不必要條件12 .已知函數y x3 3x c的圖像與x軸恰有兩個公共點,則c(A.2 或 2B.9或 3C.1 或 1D.3或 1二、填空題13 .曲線y x(3ln x 1)在點(1,1)處的切線方程為 14 .曲線y x3 x 3在點1,3處的切線方程為 .三、解答題15 .已知函數f (x) ax3 bx c在x 2處取得極值為c 16(1) 求a、b的值;(2)若f(x)有極大值28,求f(x)在3,3上的最大值.16 .已知 a R,函數 f (x) 4x3 2ax a(1) 求f(x)的單調區間(2) 證明：當 0W x0.(Ill)當a 1時,設函數f(x)在區間t,t 3上的最大值為 M(t),最小值為m(t),記g(t) M (t) m(t),求函數g(t)在區間3, 1上的最小值.