1、精品文檔網上搜集的計算行列式方法總結,還算可以 .計算 n 階行列式的若干方法舉例閔蘭摘要：線性代數是理工科大學學生的一門必修基礎數學課程。行列式的計算是線性代數中的難點、 重點，特別是 n 階行列式的計算， 學生在學習過程中， 普遍存在很多困難，難于掌握。計算 n 階行列式的方法很多，但具體到一個題，要針對其特征，選取適當的方法求解。關鍵詞： n 階行列式計算方法n 階行列式的計算方法很多，除非零元素較少時可利用定義計算（按照某一列或某一行展開完全展開式）外，更多的是利用行列式的性質計算， 特別要注意觀察所求題目的特點，靈活選用方法，值得注意的是，同一個行列式，有時會有不同的求解方法。下面介

2、紹幾種常用的方法，并舉例說明。1利用行列式定義直接計算例 1計算行列式00100200Dnn 1000000n解 Dn 中不為零的項用一般形式表示為a1n 1a2 n 2an 11annn!.該項列標排列的逆序數t （n1n 2 1n）等于 (n 1)(n2) ，故2(n 1)( n 2)Dn (1)2n!.2 利用行列式的性質計算例 2 一個 n 階行列式 Dn aij 的元素滿足。1 歡迎下載精品文檔aija ji , i, j1,2, n,則稱 Dn 為反對稱行列式，證明：奇數階反對稱行列式為零.證明由 aija ji 知 aiiaii ，即aii0,i1,2,nn故行列式 D 可表示為

3、0a12a13a1na120a23a2nDna13a230a3na1na2na3n0由行列式的性質AA0a12a13a1na120a23a2nDn a13a230a3na1na2na3 n00a12a13a1na120a23a2n(1)na13a230a3na1na2 na3n0(1)n D n當 n 為奇數時，得 Dn =Dn，因而得 Dn = 0.3化為三角形行列式若能把一個行列式經過適當變換化為三角形， 其結果為行列式主對角線上元素的乘積。因此化三角形是行列式計算中的一個重要方法。例 3計算 n 階行列式abbbbabbD bbabbbba。2 歡迎下載精品文檔解 這個行列式的特點是每行

4、（列）元素的和均相等，根據行列式的性質，把第 2，3， ， n 列都加到第 1 列上，行列式不變，得a( n1)bbbba( n1)babbD a( n1)bbaba( n1)b bba1bbb1abb a(n1)b 1bab1bba1bbb0a b00 a (n 1)b 00a b0000ab a(n1)b( ab)n 14降階法降階法是按某一行（或一列）展開行列式，這樣可以降低一階，更一般地是用拉普拉斯定理，這樣可以降低多階，為了使運算更加簡便， 往往是先利用列式的性質化簡，使行列式中有較多的零出現，然后再展開。例 4計算 n 階行列式a00010a00000a00Dn000a01000a

5、解 將 Dn 按第 1 行展開。3 歡迎下載精品文檔a0000a000a0000a0Dn a 0 0a0( 1)n 1000a000a1000an( 1)n 1( 1)n an 2anan 2 .5遞推公式法遞推公式法：對n 階行列式 Dn 找出 Dn 與 Dn1 或 Dn 與 Dn1, Dn2 之間的一種關系 稱為逆推公式（其中DnDn 1Dn 2 等結構相同），再由遞推公式求出 Dn 的,方法稱為遞推公式法。例5 證明x10000x100Dn000x1anan 1an 2a2a1xxna1xn 1a2 xn 2an 1x an ,( n 2)證明 將 Dn 按第 1 列展開得x10000x

6、100Dn x000x1an 1an 2an 3a2a1x1000(x1001)n 1 an00x1anxDn 1由此得遞推公式：DnanxDn 1 ，利用此遞推公式可得D nanxDn 1anx(an 1xDn 2 )。4 歡迎下載精品文檔an an 1 x x2D n 2an an 1 xa1 xn 1xn6利用范德蒙行列式例 6 計算行列式111x11x21xn1Dx12x1x22x2xn2xnx1n 1x1n 2x2n 1x2n 2xnn 1xnn 2解 把第 1 行的 1 倍加到第 2 行，把新的第 2 行的 1 倍加到第 3 行，以此類推直到把新的第 n1 行的 1 倍加到第 n

7、行，便得范德蒙行列式111x1x2xnDx12x22xn2(xi x j )n i j1xn 1xn 1xn112n7加邊法（升階法）加邊法（又稱升階法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不變的方法。例 7計算 n 階行列式xa1a2ana1x a2anDna1a2ana1a2x an1 a1an0解DnDn0。5 歡迎下載精品文檔1a1a2an第i行減第 1行1x00i 2, , n1 10x0（箭形行列式）100x1na ja1a2an1 xj0x0000x0000xxn1na jxj 18數學歸納法例 8 計算 n 階行列式x10000x100Dn000x1anan 1an 2a

8、2a1 x解 用數學歸納法 .當 n = 2時D2x1x( xa1 )a2a2xa1x2a1x a2假設 n = k 時，有Dkxka1 xk 1a2 xk 2ak 1x ak則當 n = k+1 時，把 Dk+1 按第一列展開，得Dk 1 xDkak 1x(xka1 xk 1ak 1 x ak ) ak 1k 1k2xa1xak 1 x ak x ak 1由此，對任意的正整數n，有nn 12Dn x a1 xan 2 x an 1x an。6 歡迎下載精品文檔9拆開法把某一行（或列）的元素寫成兩數和的形式，再利用行列式的性質將原行列式寫成兩行列式之和，使問題簡化以利計算。a11a2an例 9計算行列式D na1a22ana1a2anna1a2an1a2an解 Dna1a22an0 a22ana1a2ann00anna1a2an02an1D n 100na12n1Dn1nai12n1i 1i上面介紹了計算n 階行列式的常見方