1、第五章 平拋運動5-1 曲線運動 & 運動的合成與分解1、 曲線運動1.定義：物體運動軌跡是曲線的運動。2.條件：運動物體所受合力的方向跟它的速度方向不在同一直線上。3.特點：方向：某點瞬時速度方向就是通過這一點的曲線的切線方向。 運動類型：變速運動（速度方向不斷變化）。 F合0，一定有加速度a。 F合方向一定指向曲線凹側。 F合可以分解成水平和豎直的兩個力。4. 運動描述蠟塊運動P蠟塊的位置vvxvy涉及的公式：2、 運動的合成與分解1. 合運動與分運動的關系：等時性、獨立性、等效性、矢量性。2. 互成角度的兩個分運動的合運動的判斷：兩個勻速直線運動的合運動仍然是勻速直線運動。速度方向不在同

2、一直線上的兩個分運動，一個是勻速直線運動，一個是勻變速直線運動，其合運動是勻變速曲線運動，a合為分運動的加速度。兩初速度為0的勻加速直線運動的合運動仍然是勻加速直線運動。兩個初速度不為0的勻加速直線運動的合運動可能是直線運動也可能是曲線運動。當兩個分運動的初速度的和速度方向與這兩個分運動的和加速度在同一直線上時，合運動是勻變速直線運動，否則即為曲線運動。3、 有關“曲線運動”的兩大題型（1） 小船過河問題vv水v船，ddvv水v船當v水v船時，v船d觸類旁通1(2011 年上海卷)如圖 54 所示，人沿平直的河岸以速度 v 行走，且通過不可伸長的繩拖船，船沿繩的方向行進此過程中繩始終與水面平行

3、，當繩與河岸的夾角為時，船的速率為（ C ）。 解析：依題意，船沿著繩子的方向前進，即船的速度總是沿著繩子的，根據繩子兩端連接的物體在繩子方向上的投影速度相同，可知人的速度 v 在繩子方向上的分量等于船速，故v船v cos，C 正確2(2011 年江蘇卷)如圖 55 所示，甲、乙兩同學從河中O 點出發，分別沿直線游到 A 點和 B 點后，立即沿原路線返回到 O 點，OA、OB 分別與水流方向平行和垂直，且 OAOB.若水流速度不變，兩人在靜水中游速相等，則他們所用時間 t甲、t乙的大小關系為(C)At甲t乙 D無法確定解析：設游速為v，水速為v0，OAOBl，則t甲；乙沿OB運動，乙的速度矢量

4、圖如圖4所示，合速度必須沿OB方向，則t乙2，聯立解得t甲t乙，C正確（2） 繩桿問題(連帶運動問題)1、實質：合運動的識別與合運動的分解。2、關鍵：物體的實際運動是合速度，分速度的方向要按實際運動效果確定； 沿繩（或桿）方向的分速度大小相等。模型四：如圖甲，繩子一頭連著物體B，一頭拉小船A，這時船的運動方向不沿繩子。 BOOAvAv1v2vA甲乙處理方法：如圖乙，把小船的速度vA沿繩方向和垂直于繩的方向分解為v1和v2，v1就是拉繩的速度，vA就是小船的實際速度。觸類旁通如圖，在水平地面上做勻速直線運動的汽車，通過定滑輪用繩子吊起一個物體，若汽車和被吊物體在同一時刻的速度分別為 v1 和 v

5、2，則下列說法正確的是( C）A物體做勻速運動，且 v2v1 B物體做加速運動，且 v2v1C物體做加速運動，且 v2v1 D物體做減速運動，且 v2r，聯立式解得rv.5-3 圓周運動 & 向心力 & 生活中常見圓周運動一、勻速圓周運動1.定義：物體的運動軌跡是圓的運動叫做圓周運動，物體運動的線速度大小不變的圓周運動即為勻速圓周運動。2.特點：軌跡是圓；線速度、加速度均大小不變，方向不斷改變，故屬于加速度改變的變速曲線運動，勻速圓周運動的角速度恒定；勻速圓周運動發生條件是質點受到大小不變、方向始終與速度方向垂直的合外力；勻速圓周運動的運動狀態周而復始地出現，勻速圓周運動具有周期性。3.描述圓

6、周運動的物理量：（1）線速度v是描述質點沿圓周運動快慢的物理量，是矢量；其方向沿軌跡切線，國際單位制中單位符號是m/s，勻速圓周運動中，v的大小不變，方向卻一直在變；（2）角速度是描述質點繞圓心轉動快慢的物理量，是矢量；國際單位符號是rads；（3）周期T是質點沿圓周運動一周所用時間，在國際單位制中單位符號是s；（4）頻率f是質點在單位時間內完成一個完整圓周運動的次數，在國際單位制中單位符號是Hz；（5）轉速n是質點在單位時間內轉過的圈數，單位符號為r/s，以及r/min4.各運動參量之間的轉換關系：5. 三種常見的轉動裝置及其特點：ABr2r1rROBA模型一：共軸傳動 模型二:皮帶傳動 模

7、型三：齒輪傳動ABOrRO觸類旁通1、一個內壁光滑的圓錐形筒的軸線垂直于水平面，圓錐筒固定，有質量相同的小球A和B沿著筒的內壁在水平面內做勻速圓周運動，如圖所示，A的運動半徑較大，則( AC )AA球的角速度必小于B球的角速度BA球的線速度必小于B球的線速度CA球的運動周期必大于B球的運動周期DA球對筒壁的壓力必大于B球對筒壁的壓力解析：小球A、B的運動狀態即運動條件均相同，屬于三種模型中的皮帶傳送。則可以知道，兩個小球的線速度v相同，B錯；因為RARB，則AB,TATB,A.C正確；又因為兩小球各方面條件均相同，所以，兩小球對筒壁的壓力相同，D錯。所以A、C正確。2、兩個大輪半徑相等的皮帶輪

8、的結構如圖所示，AB兩點的半徑之比為2 : 1，CD兩點的半徑之比也為2 : 1，則ABCD四點的角速度之比為 1122 ，這四點的線速度之比為 2142 。二、向心加速度1.定義：任何做勻速圓周運動的物體的加速度都指向圓心，這個加速度叫向心加速度。注：并不是任何情況下，向心加速度的方向都是指向圓心。當物體做變速圓周運動時，向心加速度的一個分加速度指向圓心。2.方向：在勻速圓周運動中，始終指向圓心，始終與線速度的方向垂直。向心加速度只改變線速度的方向而非大小。3.意義：描述圓周運動速度方向方向改變快慢的物理量。4.公式：OOananrrv一定一定5.兩個函數圖像：AB觸類旁通1、如圖所示的吊臂

9、上有一個可以沿水平方向運動的小車A，小車下裝有吊著物體B的吊鉤。在小車A與物體B以相同的水平速度沿吊臂方向勻速運動的同時，吊鉤將物體B向上吊起。A、B之間的距離以d = H2t2(SI)(SI表示國際單位制，式中H為吊臂離地面的高度)規律變化。對于地面的人來說，則物體做( AC )速度大小不變的曲線運動速度大小增加的曲線運動加速度大小方向均不變的曲線運動加速度大小方向均變化的曲線運動2、如圖所示，位于豎直平面上的圓弧軌道光滑，半徑為R，OB沿豎直方向，上端A距地面高度為H，質量為m的小球從A點由靜止釋放，到達B點時的速度為，最后落在地面上C點處，不計空氣阻力，求：(1)小球剛運動到B點時的加速

10、度為多大，對軌道的壓力多大；(2)小球落地點C與B點水平距離為多少。三、向心力1.定義：做圓周運動的物體所受到的沿著半徑指向圓心的合力，叫做向心力。2.方向：總是指向圓心。3.公式：4.幾個注意點：向心力的方向總是指向圓心，它的方向時刻在變化，雖然它的大小不變，但是向心力也是變力。在受力分析時，只分析性質力，而不分析效果力，因此在受力分析是，不要加上向心力。描述做勻速圓周運動的物體時，不能說該物體受向心力，而是說該物體受到什么力，這幾個力的合力充當或提供向心力。四、變速圓周運動的處理方法1.特點：線速度、向心力、向心加速度的大小和方向均變化。2.動力學方程：合外力沿法線方向的分力提供向心力：。

11、合外力沿切線方向的分力產生切線加速度：FT=maT。3. 離心運動：（1） 當物體實際受到的沿半徑方向的合力滿足F供=F需=m2r時，物體做圓周運動；當F供F需=m2r時，物體做離心運動。（2） 離心運動并不是受“離心力”的作用產生的運動，而是慣性的表現，是F供小球固定在輕桿的一端在豎直平面內轉動桿對球可以是拉力也可以是支持力若F0，則mg，v若F向下，則mgFm，v若F向上，則mgF或mgF0，則0v小球在豎直細管內轉動管對球的彈力FN可以向上也可以向下依據mg判斷，若vv0，FN0；若vv0，FN向下球殼外的小球在最高點時彈力FN的方向向上如果剛好能通過球殼的最高點A，則vA0，FNmg如

12、果到達某點后離開球殼面，該點處小球受到殼面的彈力FN0，之后改做斜拋運動，若在最高點離開則為平拋運動六、有關生活中常見圓周運動的涉及的幾大題型分析（1） 解題步驟： 明確研究對象； 定圓心找半徑； 對研究對象進行受力分析； 對外力進行正交分解； 列方程：將與和物體在同一圓周運動平面上的力或其分力代數運算后，另得數等于向心力； 解方程并對結果進行必要的討論。（2） 典型模型：I、圓周運動中的動力學問題談一談：圓周運動問題屬于一般的動力學問題，無非是由物體的受力情況確定物體的運動情況，或者由物體的運動情況求解物體的受力情況。解題思路就是，以加速度為紐帶，運用那個牛頓第二定律和運動學公式列方程，求解

13、并討論。a、涉及公式：，由得：。b、分析：設轉彎時火車的行駛速度為v，則：（1） 若vv0，外軌道對火車輪緣有擠壓作用；（2） 若vv0，內軌道對火車輪緣有擠壓作用。模型一：火車轉彎問題：FNF合mghLa、涉及公式：,所以當，此時汽車處于失重狀態，而且v越大越明顯，因此汽車過拱橋時不宜告訴行駛。b、分析：當：（1） ，汽車對橋面的壓力為0，汽車出于完全失重狀態；（2） ，汽車對橋面的壓力為。（3） ，汽車將脫離橋面，出現飛車現象。c、注意：同樣，當汽車過凹形橋底端時滿足，汽車對橋面的壓力將大于汽車重力，汽車處于超重狀態，若車速過大，容易出現爆胎現象，即也不宜高速行駛。模型二：汽車過拱橋問題：

14、觸類旁通1、鐵路在彎道處的內外軌道高度是不同的，已知內外軌道平面與水平面的傾角為，如圖所示，彎道處的圓弧半徑為R，若質量為m的火車轉彎時速度小于，則( A )A內軌對內側車輪輪緣有擠壓B外軌對外側車輪輪緣有擠壓C這時鐵軌對火車的支持力等于 D這時鐵軌對火車的支持力大于解析：當內外軌對輪緣沒有擠壓時，物體受重力和支持力的合力提供向心力，此時速度為。2、 如圖所示，質量為m的物體從半徑為R的半球形碗邊向碗底滑動，滑倒最低點時的速度為v。若物體滑倒最低點時受到的摩擦力是f，則物體與碗的動摩擦因數為（ B ）。A、 B、 C、 D、解析：設在最低點時，碗對物體的支持力為F，則，解得，由f=F解得，化簡

15、得，所以B正確。II、圓周運動的臨界問題A. 常見豎直平面內圓周運動的最高點的臨界問題談一談：豎直平面內的圓周運動是典型的變速圓周運動。對于物體在豎直平面內做變速圓周運動的問題，中學物理只研究問題通過最高點和最低點的情況，并且經常出現有關最高點的臨界問題。（注意：繩對小球只能產生沿繩收縮方向的拉力.）（1）臨界條件：小球到達最高點時，繩子的拉力或單軌的彈力剛好等于0，小球的重力提供向心力。即：。（2） 小球能過最高點的條件：，繩對球產生向下的拉力或軌道對球產生向下的壓力。（3） 小球不能過最高點的條件：（實際上球還沒到最高點時就脫離了軌道）。模型三：輕繩約束、單軌約束條件下，小球過圓周最高點：

16、vvvO繩OR模型四：輕桿約束、雙軌約束條件下，小球過圓周最高點：桿Ov甲v乙當時，FN=0；當時，輕桿對小球有指向圓心的拉力，其大小隨速度的增大而增大。（3） 如圖乙所示的小球過最高點時，光滑雙軌對小球的彈力情況：當v=0時，軌道的內壁下側對小球有豎直向上的支持力FN，其大小等于小球的重力，即FN=mg；當時，軌道的內壁下側對小球仍有豎直向上的支持力FN，大小隨小球速度的增大而減小，其取值范圍是；當時，FN=0；當時，軌道的內壁上側對小球有豎直向下指向圓心的彈力，其大小隨速度的增大而增大。（1）臨界條件：由于輕桿和雙軌的支撐作用，小球恰能到達最高點的臨街速度（2）如圖甲所示的小球過最高點時，

17、輕桿對小球的彈力情況：當v=0時，輕桿對小球有豎直向上的支持力FN，其大小等于小球的重力，即FN=mg；當時，輕桿對小球的支持力的方向豎直向上，大小隨小球速度的增大而減小，其取值范圍是；兩種情況：（1）若使物體能從最高點沿軌道外側下滑，物體在最高點的速度v的限制條件是（2）若，物體將從最高電起，脫離圓軌道做平拋運動。模型五：小物體在豎直半圓面的外軌道做圓周運動：觸類旁通1、如圖所示，質量為0.5 kg的小杯里盛有1 kg的水，用繩子系住小杯在豎直平面內做“水流星”表演，轉動半徑為1 m，小杯通過最高點的速度為4 m/s，g取10 m/s2，求：(1)在最高點時，繩的拉力？baO(2)在最高點時

18、水對小杯底的壓力？(3)為使小杯經過最高點時水不流出, 在最高點時最小速率是多少?答案：(1)9 N，方向豎直向下；(2)6 N，方向豎直向上；(3)m/s = 3.16 m/s2、如圖所示，細桿的一端與一小球相連，可繞過O點的水平軸自由轉動，現給小球一初速度，使其做圓周運動，圖中a、b分別表示小球軌道的最低點和最高點，則桿對球的作用力可能是( AB )QPMOLAFAa處為拉力，b處為拉力 Ba處為拉力，b處為推力Ca處為推力，b處為拉力 Da處為推力，b處為推力3、 如圖所示，LMPQ是光滑軌道，LM水平，長為5m，MPQ是一半徑R=1.6m的半圓，QOM在同一豎直面上，在恒力F作用下，質

19、量m=1kg的物體A從L點由靜止開始運動，當達到M時立即停止用力，欲使A剛好能通過Q點，則力F大小為多少？（取g=10m/s2）解析：物體A經過QPMmgFNOQ時，其受力情況如圖所示：由牛頓第二定律得：物體A剛好過A時有FN=0；解得，對物體從L到Q全過程，由動能定理得：，解得F=8N。B.物體在水平面內做圓周運動的臨界問題談一談：在水平面內做圓周運動的物體，當角速度變化時，物體有遠離或向著圓心運動（半徑變化）的趨勢。這時要根據物體的受力情況判斷物體所受的某個力是否存在以及這個力存在時方向如何（特別是一些接觸力，如靜摩擦力、繩的拉力等）。處理方法：先對A進行受力分析，如圖所示，注意在分析時不

20、能忽略摩擦力，當然，如果說明盤面為光滑平面，摩擦力就可以忽略了。受力分析完成后，可以發現支持力N與mg相互抵銷，則只有f充當該物體的向心力，則有，接著可以求的所需的圓周運動參數等。OANmgf等效為OBR模型六：轉盤問題等效處理：O可以看作一只手或一個固定轉動點，B繞著O經長為R的輕繩或輕桿的牽引做著圓周運動。還是先對B進行受力分析，發現，上圖的f在此圖中可等效為繩或桿對小球的拉力，則將f改為F拉即可，根據題意求出F拉，帶入公式，即可求的所需參量。【綜合應用】1、如圖所示，按順時針方向在豎直平面內做勻速轉動的輪子其邊緣上有一點 A，當 A 通過與圓心等高的 a 處時，有一質點 B 從圓心 O

21、處開始做自由落體運動已知輪子的半徑為 R，求：(1)輪子的角速度滿足什么條件時，點 A 才能與質點 B 相遇？(2)輪子的角速度滿足什么條件時，點 A 與質點 B 的速度才有可能在某時刻相同？解析：(1)點 A 只能與質點 B 在 d 處相遇，即輪子的最低處，則點 A 從 a 處轉到 d 處所轉過的角度應為2n，其中n為自然數由hgt2知，質點B從O點落到d處所用的時間為t，則輪子的角速度應滿足條件(2n)，其中n為自然數(2)點 A 與質點 B 的速度相同時，點 A 的速度方向必然向下，因此速度相同時，點 A 必然運動到了 c 處，則點 A 運動到 c 處時所轉過的角度應為2n，其中 n 為

22、自然數轉過的時間為 此時質點 B 的速度為 vBgt，又因為輪子做勻速轉動，所以點 A 的速度為 vAR由 vAvB 得，輪子的角速度應滿足條件，其中n為自然數2、(2009年高考浙江理綜)某校物理興趣小組決定舉行遙控賽車比賽比賽路徑如下圖所示，賽車從起點A出發，沿水平直線軌道運動L后，由B點進入半徑為R的光滑豎直圓軌道，離開豎直圓軌道后繼續在光滑平直軌道上運動到C點，并能越過壕溝已知賽車質量m0.1 kg，通電后以額定功率P1.5 W工作，進入豎直軌道前受到的阻力恒為0.3 N，隨后在運動中受到的阻力均可不記圖中L10.00 m，R0.32 m，h1.25 m，x1.50 m問：要使賽車完成

23、比賽，電動機至少工作多長時間？(取g10 m/s2)解析：設賽車越過壕溝需要的最小速度為v1，由平拋運動的規律xv1t，hgt2，解得：v1x3 m/s設賽車恰好越過圓軌道，對應圓軌道最高點的速度為v2，最低點的速度為v3，由牛頓第二定律及機械能守恒定律得mgm ， mvmvmg(2R)解得v34 m/s通過分析比較，賽車要完成比賽，在進入圓軌道前的速度最小應該是vmin4 m/s設電動機工作時間至少為t，根據功能關系PtFfLmv，由此可得t2.53 s.3、如下圖所示，讓擺球從圖中A位置由靜止開始下擺，正好到最低點B位置時線被拉斷設擺線長為L1.6 m，擺球的質量為0.5kg，擺線的最大拉

24、力為10N，懸點與地面的豎直高度為H=4m，不計空氣阻力，g取10 m/s2。求：（1）擺球著地時的速度大小（2）D到C的距離。解析：（1）小球剛擺到B點時，由牛頓第二定律可知：，由并帶入數據可解的：，小球離開B后，做平拋運動.豎直方向：，落地時豎直方向的速度：落地時的速度大小：，由得：（2） 落地點D到C的距離第六章 萬有引力與航天6-1 開普勒定律 一、兩種對立學說（了解）1.地心說：（1）代表人物：托勒密；（2）主要觀點：地球是靜止不動的，地球是宇宙的中心。2.日心說：（1）代表人物：哥白尼；（2）主要觀點：太陽靜止不動，地球和其他行星都繞太陽運動。二、開普勒定律1.開普勒第一定律（軌道

25、定律）：所有行星圍繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在所有橢圓的一個焦點上。2.開普勒第二定律（面積定律）：對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等時間內掃過相等的面積。此定律也適用于其他行星或衛星繞某一天體的運動。3.開普勒第三定律（周期定律）：所有行星軌道的半長軸R的三次方與公轉周期T的二次方的比值都相同，即值是由中心天體決定的。通常將行星或衛星繞中心天體運動的軌道近似為圓，則半長軸a即為圓的半徑。我們也常用開普勒三定律來分析行星在近日點和遠日點運動速率的大小。牛刀小試1、關于“地心說”和“日心說”的下列說法中正確的是( AB )。A地心說的參考系是地球B日心說的參考系是太陽C地心說與日心說

26、只是參考系不同，兩者具有等同的價值D日心說是由開普勒提出來的2、開普勒分別于1609年和1619年發表了他發現的行星運動規律，后人稱之為開普勒行星運動定律。關于開普勒行星運動定律，下列說法正確的是( B )A所有行星繞太陽運動的軌道都是圓，太陽處在圓心上B對任何一顆行星來說，離太陽越近，運行速率就越大C在牛頓發現萬有引力定律后，開普勒才發現了行星的運行規律D開普勒獨立完成了觀測行星的運行數據、整理觀測數據、發現行星運動規律等全部工作6-2 萬有引力定律一、萬有引力定律1.月地檢驗：檢驗人：牛頓；結果：地面物體所受地球的引力，與月球所受地球的引力都是同一種力。2.內容：自然界的任何物體都相互吸引

27、，引力方向在它們的連線上，引力的大小跟它們的質量m1和m2乘積成正比，跟它們之間的距離的平方成反比。3.表達式：，4.使用條件：適用于相距很遠，可以看做質點的兩物體間的相互作用，質量分布均勻的球體也可用此公式計算，其中r指球心間的距離。5.四大性質：普遍性：任何客觀存在的有質量的物體之間都存在萬有引力。相互性：兩個物體間的萬有引力是一對作用力與反作用力，滿足牛頓第三定律。宏觀性：一般萬有引力很小，只有在質量巨大的星球間或天體與天體附近的物體間，其存在才有意義。特殊性：兩物體間的萬有引力只取決于它們本身的質量及兩者間的距離，而與它們所處環境以及周圍是否有其他物體無關。6.對G的理解：G是引力常量

28、，由卡文迪許通過扭秤裝置測出，單位是。G在數值上等于兩個質量為1kg的質點相距1m時的相互吸引力大小。G的測定證實了萬有引力的存在，從而使萬有引力能夠進行定量計算，同時標志著力學實驗精密程度的提高，開創了測量弱相互作用力的新時代。牛刀小試1、關于萬有引力和萬有引力定律理解正確的有( B ) A不可能看作質點的兩物體之間不存在相互作用的引力B可看作質點的兩物體間的引力可用F = 計算C由F = 知，兩物體間距離r減小時，它們之間的引力增大，緊靠在一起時，萬有引力非常大D引力常量的大小首先是由卡文迪許測出來的，且等于6.671011Nm2 / kg22、下列說法中正確的是( ACD )A總結出關于

29、行星運動三條定律的科學家是開普勒B總結出萬有引力定律的物理學家是伽俐略C總結出萬有引力定律的物理學家是牛頓D第一次精確測量出萬有引力常量的物理學家是卡文迪許 7.萬有引力與重力的關系：(1)“黃金代換”公式推導：當時，就會有。(2)注意：重力是由于地球的吸引而使物體受到的力，但重力不是萬有引力。只有在兩極時物體所受的萬有引力才等于重力。重力的方向豎直向下，但并不一定指向地心，物體在赤道上重力最小，在兩極時重力最大。隨著緯度的增加，物體的重力減小，物體在赤道上重力最小，在兩極時重力最大。物體隨地球自轉所需的向心力一般很小，物體的重力隨緯度的變化很小，因此在一般粗略的計算中，可以認為物體所受的重力

30、等于物體所受地球的吸引力，即可得到“黃金代換”公式。牛刀小試設地球表面的重力加速度為g0，物體在距地心4 R(R為地球半徑)處，由于地球的作用而產生的重力加速度為g，則gg0為( D ) A161B41C14D1168.萬有引力定律與天體運動：(1) 運動性質：通常把天體的運動近似看成是勻速圓周運動。(2) 從力和運動的關系角度分析天體運動： 天體做勻速圓周運動運動，其速度方向時刻改變，其所需的向心力由萬有引力提供，即F需=F萬。如圖所示，由牛頓第二定律得：，從運動的角度分析向心加速度：（3） 重要關系式：牛刀小試1、兩顆球形行星A和B各有一顆衛星a和b，衛星的圓形軌道接近各自行星的表面，如果

31、兩顆行星的質量之比，半徑之比= q，則兩顆衛星的周期之比等于。2、 地球繞太陽公轉的角速度為1，軌道半徑為R1，月球繞地球公轉的角速度為2，軌道半徑為R2，那么太陽的質量是地球質量的多少倍？解析：地球與太陽的萬有引力提供地球運動的向心力，月球與地球的萬有引力提供月球運動的向心力，最后算得結果為。3、假設火星和地球都是球體，火星的質量M1與地球質量M2之比= p；火星的半徑R1與地球的半徑R2之比= q，那么火星表面的引力加速度g1與地球表面處的重力加速度g2之比等于( A )ABp q2CDp q 9.計算大考點：“填補法”計算均勻球體間的萬有引力：談一談：萬有引力定律適用于兩質點間的引力作用

32、，對于形狀不規則的物體應給予填補，變成一個形狀規則、便于確定質點位置的物體，再用萬有引力定律進行求解。模型：如右圖所示，在一個半徑為R，質量為M的均勻球體中，緊貼球的邊緣挖出一個半徑為R/2的球形空穴后，對位于球心和空穴中心連線上、與球心相距d的質點m的引力是多大？思路分析：把整個球體對質點的引力看成是挖去的小球體和剩余部分對質點的引力之和，即可求解。根據“思路分析”所述，引力F可視作F=F1+F2：,則挖去小球后的剩余部分對球外質點m的引力為。能力提升某小報登載：年月日，國發射了一顆質量為100kg，周期為1h的人造環月球衛星。一位同學記不住引力常量G的數值且手邊沒有可查找的材料，但他記得月

33、球半徑約為地球的，月球表面重力加速度約為地球的，經過推理，他認定該報道是則假新聞，試寫出他的論證方案。(地球半徑約為6.4103km)證明：因為GmR，所以T2，又Gmg得g，故Tmin22222s6.2103s1.72h。環月衛星最小周期約為1.72h，故該報道是則假新聞。6-3 由“萬有引力定律”引出的四大考點1、 解題思路“金三角”關系：（1） 萬有引力與向心力的聯系：萬有引力提供天體做勻速圓周運動的向心力，即是本章解題的主線索。（2） 萬有引力與重力的聯系：物體所受的重力近似等于它受到的萬有引力，即為對應軌道處的重力加速度，這是本章解題的副線索。（3） 重力與向心力的聯系：為對應軌道處

34、的重力加速度，適用于已知g的特殊情況。2、 天體質量的估算模型一：環繞型：談一談：對于有衛星的天體，可認為衛星繞中心天體做勻速圓周運動，中心天體對衛星的萬有引力提供衛星做勻速圓周運動的向心力，利用引力常量G和環形衛星的v、T、r中任意兩個量進行估算（只能估計中心天體的質量，不能估算環繞衛星的質量）。已知r和T:已知r和v:已知T和v:模型二：表面型：談一談：對于沒有衛星的天體（或有衛星，但不知道衛星運行的相關物理量），可忽略天體自轉的影響，根據萬有引力等于重力進行粗略估算。 變形：如果物體不在天體表面，但知道物體所在處的g，也可以利用上面的方法求出天體的質量：處理：不考慮天體自轉的影響，天體附

35、近物體的重力等于物體受的萬有引力，即：觸類旁通1、(2013福建理綜，13)設太陽質量為M，某行星繞太陽公轉周期為T，軌道可視作半徑為r的圓。已知萬有引力常量為G，則描述該行星運動的上述物理量滿足(A)AGMBGM CGM DGM解析：本題考查了萬有引力在天體中的應用。是知識的簡單應用。由mr可得GM，A正確。2、(2013全國大綱卷，18)“嫦娥一號”是我國首次發射的探月衛星，它在距月球表面高度為200km的圓形軌道上運行，運行周期為127分鐘。已知引力常量G6.671011Nm2/kg2，月球半徑約為1.74103km。利用以上數據估算月球的質量約為(D)A8.11010kg B7.410

36、13kg C5.41019kg D7.41022kg解析：本題考查萬有引力定律在天體中的應用。解題的關鍵是明確探月衛星繞月球運行的向心力是由月球對衛星的萬有引力提供。由Gmr得M，又rR月h，代入數值得月球質量M7.41022kg，選項D正確。3、 土星的9個衛星中最內側的一個衛星，其軌道為圓形，軌道半徑為1.59105 km，公轉周期為18 h 46 min，則土星的質量為 5.211026 kg。4、 宇航員站在一顆星球表面上的某高處，沿水平方向拋出一個小球。經過時間t，小球落到星球表面，測得拋出點與落地點之間的距離為L。若拋出時的初速度增大到2倍，則拋出點與落地點之間的距離為。已知兩落地

37、點在同一水平面上，該星球的半徑為R，萬有引力常數為G。求該星球的質量M。解析：在該星球表面平拋物體的運動規律與地球表面相同，根據已知條件可以求出該星球表面的加速度；需要注意的是拋出點與落地點之間的距離為小球所做平拋運動的位移的大小，而非水平方向的位移的大小。然后根據萬有引力等于重力，求出該星球的質量。5、“科學真是迷人。”如果我們能測出月球表面的加速度g、月球的半徑R和月球繞地球運轉的周期T，就能根據萬有引力定律“稱量”月球的質量了。已知引力常數G，用M表示月球的質量。關于月球質量，下列說法正確的是( A )AM =BM =CM = DM =解析：月球繞地球運轉的周期T與月球的質量無關。3、

38、天體密度的計算模型一：利用天體表面的g求天體密度： 變形物體不在天體表面：模型二：利用天體的衛星求天體的密度：4、 求星球表面的重力加速度：在忽略星球自轉的情況下，物體在星球表面的重力大小等于物體與星球間的萬有引力大小，即：牛刀小試（2012新課標全國卷，21）假設地球是一半徑為R、質量分布均勻的球體。一礦井深度為d。已知質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零。礦井底部和地面處的重力加速度大小之比為(A)A1 B1 C. D. 解析：設地球的質量為M，地球的密度為，根據萬有引力定律可知，地球表面的重力加速度g，地球的質量可表示為MR3因質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零，所以礦井下以(Rd

39、)為半徑的地球的質量為M(Rd)3，解得M()3M，則礦井底部處的重力加速度g，所以礦井底部處的重力加速度和地球表面處的重力加速度之比1，選項A正確，選項B、C、D錯誤。5、 雙星問題：特點：“四個相等”：兩星球向心力相等、角速度相等、周期相等、距離等于軌道半徑之和。符號表示：.處理方法：雙星間的萬有引力提供了它們做圓周運動的向心力，即：Gm12r1m22r2，由此得出：(1)m1r1m2r2，即某恒星的運動半徑與其質量成反比。 (2)由于，r1r2L，所以兩恒星的質量之和m1m2。牛刀小試1、(2010 年全國卷)如圖所示，質量分別為 m 和 M 的兩個星球 A 和 B 在引力作用下都繞 O

40、 點做勻速圓周運動，星球 A 和 B兩者中心之間的距離為 L.已知 A、B 的中心和 O 三點始終共線，A 和B 分別在 O 的兩側引力常量為 G.(1)求兩星球做圓周運動的周期；(2)在地月系統中，若忽略其他星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球 A 和B，月球繞其軌道中心運行為的周期記為 T1.但在近似處理問題時，常常認為月球是繞地心做圓周運動的，這樣算得的運行周期為 T2. 已知地球和月球的質量分別為 5.981024kg 和7.351022kg.求 T2與T1兩者的平方之比(結果保留兩位小數)解析：(1)A 和 B 繞 O 做勻速圓周運動，它們之間的萬有引力提供向心力，則 A 和 B

41、 的向心力相等，且 A 和 B 與 O 始終共線，說明 A 和 B 有相同的角速度和周期因此有m2rM2R，rRL聯立解得RL，rL對A根據牛頓第二定律和萬有引力定律得：，化簡得.(2)將地月看成雙星，由(1)得將月球看做繞地心做圓周運動，根據牛頓第二定律和萬有引力定律得化簡得所以兩種周期的平方比值為1.01.2、(2013山東理綜，20)雙星系統由兩顆恒星組成，兩恒星在相互引力的作用下，分別圍繞其連線上的某一點做周期相同的勻速圓周運動。研究發現，雙星系統演化過程中，兩星的總質量、距離和周期均可能發生變化。若某雙星系統中兩星做圓周運動的周期為T，經過一段時間演化后，兩星總質量變為原來的k倍，兩

42、星之間的距離變為原來的n倍，則此時圓周運動的周期為( B )A.T B.T C.T D.T解析：本題考查雙星問題，解題的關鍵是要掌握雙星的角速度(周期)相等，要注意雙星的距離不是軌道半徑，該題考查了理解能力和綜合分析問題的能力。由mr12；Mr22；rr1r2得：r2r同理有nr，解得T1T，B正確。6-4 宇宙速度 & 衛星1、 涉及航空航天的“三大速度”：（一）宇宙速度：1. 第一宇宙速度：人造地球衛星在地面附近環繞地球做勻速圓周運動必須具有的速度叫第一宇宙速度，也叫地面附近的環繞速度，v1=7.9km/s。它是近地衛星的運行速度，也是人造衛星最小發射速度。（待在地球旁邊的速度）2. 第二

43、宇宙速度：使物體掙脫地球引力的束縛，成為繞太陽運動的人造衛星或飛到其他行星上去的最小速度，v2=11.2km/s。（離棄地球，投入太陽懷抱的速度）3. 第三宇宙速度：使物體掙脫太陽引力的束縛，飛到太陽以外的宇宙空間去的最小速度，v2=16.7km/s。（離棄太陽，投入更大宇宙空間懷抱的速度）（二）發射速度：1.定義：衛星在地面附近離開發射裝置的初速度。2.取值范圍及運行狀態：,人造衛星只能“貼著”地面近地運行。，可以使衛星在距地面較高的軌道上運行。,一般情況下人造地球衛星發射速度。（三）運行速度：1.定義：衛星在進入運行軌道后繞地球做圓周運動的線速度。2.大小：對于人造地球衛星，該速度指的是人

44、造地球衛星在軌道上的運行的環繞速度，其大小隨軌道的半徑r而v。3.注意：當衛星“貼著”地面飛行時，運行速度等于第一宇宙速度；當衛星的軌道半徑大于地球半徑時，運行速度小于第一宇宙速度。牛刀小試1、地球的第一宇宙速度約為8 km/s，某行星的質量是地球的6倍，半徑是地球的1.5倍。該行星上的第一宇宙速度約為( A )A16 km/sB32 km/sC46 km/sD2 km/s解析：由公式m= G，若M增大為原來的6倍，r增大為原來的1.5倍，可得v增大為原來的2倍。2、 某行星的質量為地球質量的16倍，半徑為地球半徑的4倍，已知地球的第一宇宙速度為7.9 km/s ,該行星的第一宇宙速度是多少？

45、 解析：思路與第一題相同，答案可易算得為15.8 km/s。3、 某星球半徑為R，一物體在該星球表面附近自由下落，若在連續兩個T時間內下落的高度依次為h1、h2，則該星球附近的第一宇宙速度為。2、 兩種衛星：（一）人造地球衛星：1.定義：在地球上以一定初速度將物體發射出去，物體將不再落回地面而繞地球運行而形成的人造衛星。2.分類：近地衛星、中軌道衛星、高軌道衛星、地球同步衛星、極地衛星等。3.三個”近似”：近地衛星貼近地球表面運行，可近似認為它做勻速圓周運動的半徑等于地球半徑。在地球表面隨地球一起自轉的物體可近似認為地球對它的萬有引力等于重力。天體的運動軌道可近似看成圓軌道，萬有引力提供向心力

46、。4.四個等式：運行速度：。角速度：。周期：。向心加速度：。（二）地球同步衛星：1.定義：在赤道平面內，以和地球自轉角速度相同的角速度繞地球運行的衛星。2.五個“一定”：周期T一定：與地球自轉周期相等（24h），角速度也等于地球自轉角速度。軌道一定：所有同步衛星的運行方向與地球自轉方向一致，軌道平面與赤道平面重合。運行速度v大小一定：所有同步衛星繞地球運行的線速度大小一定，均為3.08km/s。離地高度h一定：所有同步衛星的軌道半徑均相同，其離地高度約為3.6104km。向心加速度an大小一定：所有同步衛星繞地球運行的向心加速度大小都相等，約為0.22m/s2。注：所有國家發射的同步衛星的軌道都與赤道為同心圓，它們都在同一軌道上運動且都相對靜止。3、 衛星變軌問題：1.原因：線速度v發生變化，使萬有引力不等于向心力，從而實現變軌。2.條件：增大衛星的線速度v，使萬有引力小于所需的向心力，從而實現變軌。3.注意：衛星到達高軌道