1、數學建模比賽的選拔問題盧艷陽 王偉 朱亮亮（黃河科技學院通信系，鄭州）摘 要本文是關于全國大學生數學建模競賽選拔的問題，依據數學建模組隊的要求，每隊應具備較好的數學基礎和必要的數學建模知識、良好的編程能力和熟練使用數學軟件等的綜合實力，在此前提下合理的分配隊員，利用層次分析法，建立合理分配隊員的數學模型，利用MATLAB，LONGO工具求出最優解。、問題一：依據建模組隊的要求，合理分配每個隊員是關鍵，主要由團隊精神、建模能力、編程能力、論文寫作能力、思維敏捷以及數學知識等等，經過討論分析，確定良好的數學基礎、建模能力，編程能力為主要參考因素。問題二：根據表中所給15人的可參考信息，我們對每個隊

2、員的每一項素質進行加權，利用層次分析法選出綜合素質好的前9名同學，然后利用0-1規劃的相關知識對這9人進行合理分組，利用MATLAB、LINGO得到其中一個如下的分組：、；、；、問題三：我們將所選出的這9名同學和這個計算機編程高手的素質進行量化加權，然后根據層次分析法，利用MATLAB工具進行求解，得出了最佳解。由于我們選取隊員參考的是這個人的綜合素質，而不是這個人的某項素質，并由解出的數據可以看出這個計算機編程高手不能被直接錄用。所以說只考慮某項素質，而不考慮其他的素質的同學是不能被直接錄用的。問題四：根據前面三問中的分組的思路，我們通過層次分析法先從所有人中依據一種量化標準選出符合要求的高

3、質量的同學，然后利用0-1變量進行規劃，在根據實際問題的約束，對問題進行分析，然后可以得出高效率的分組。關鍵字：層次分析法 加權量化 0-1變量 LINDO MATLAB問題重述一年一度的全國大學生數學建模競賽是高等院校的重要賽事。由于競賽場地、經費等原因，不是所有想參加競賽的人都能被錄用。為了能夠選拔出真正優秀的同學代表學校參加全國競賽，數學建模教練組需要投入大量的精力，但是每年在參賽的時候還是有很多不如意之處：有的學生言過其實，有的隊員之間合作不默契，影響了數學建模的成績。數學建模需要學生具有較好的數學基礎和必要的數學建模知識、良好的編程能力和熟練使用數學軟件的能力、較強的語言表達能力和寫

4、作能力、良好的團隊合作精神，同時還要求思維敏捷，對建立數學模型有較好的悟性。目前選拔隊員主要考慮以下幾個環節：數學建模培訓課程的簽到記錄；數學建模的筆試成績，上機操作，學生個人簡介，面試，老師和學生的推薦等，通過這種方式選拔出隊員。然后按照3人一組分為若干小組，為了使得小組具有較好的知識結構，一般總是將不同專業的學生安排在一起，使得每個小組至少包含一位數學基礎較好的同學、計算機編程能力強的同學。各組通過做題進行交流和磨合，合作比較好的保留，合作不好的進行調整。下表列出了15個學生的部分信息，空白處為學生不愿意提供或未能了解的情況學生專業筆試班級排名聽課次數其它情況思維敏捷機試知識面S1數學96

5、22ABAS2電子信息936過計算機三級ABBS3機械924CDCS4機械82104上過建模選修課BBAS5數學823BCBS6電子信息8236ABDS7化工與材料8075CBBS8數學794考過程序員ABAS 9電子信息78124學過MATLABACCS10電子信息775學過MATLABABBS11化工與材料766CABS12化工與材料742ACAS13計算機782BADS14計算機765ABAS15計算機666CBB現在需要解決以下幾個問題：1根據你們所了解的數學建模知識，選拔數學建模隊員要考察學生的哪些情況？哪些素質是數學建模的關鍵素質，如何進行考察？2根據上表中信息，建立建模隊員選拔的

6、數學模型，從中選出9位同學，并組成3個隊，使得這三個隊具有良好的知識機構。3有的指導老師在對學生機試的時候發現一個計算機編程高手，然后直接錄用，不再考察其它情況，這種做法是否可取。4為數學建模教練組寫1份10001500字的報告，提出建模隊員選拔機制建議，幫助教練組提高建模隊員選拔的效率和質量。符號說明：目標層：準則層各準則，=16：方案層各方案，j=115：準則層權值：方案層對準則層的權值：方案層對目標層的總排序權值：各個參與選取的同學：機一致性指標：正互反矩陣的最大特征值：一致性指標：一致性比率：正互反矩陣：方案層對準則層的比較矩陣：選拔隊員的各項量化指標：是第個人對第個參考項目的選擇系數

7、，也是所設的0-1變量，=19，=13，分別對應的是筆試，機試以及思維敏捷和知識面綜合起來的一個指標模型假設1. 假設在選拔中可以做到公平選拔;2. 假設那位計算機高手除了計算機編程其他水平都按平均水平；3. 假設題目中所給的數據其他情況，作為對機試的附加分考慮；4. 假設筆試成績好就是數學成績好，機試等級高就是編程水平；5. 假設選拔過程取決于表中所給的各項條件，且表中的數據都是客觀公正的;模型的建立與求解問題一：選撥數學建模隊員要考察學生的那些情況，那些素質是數學建模的關鍵素質，如何進行考察？問題的分析考慮到數學建模一種綜合性較強，需要參賽隊伍所具備的知識較為全面的的競賽。所以，在考慮組隊

8、時要充分考慮各隊員的特點，盡可能做到優勢互補，將團隊的力量發揮到最大。在眾多需要考慮的因素中，數學基礎較好、計算機編程能力強和論文寫作能力強，是三個關鍵性的因素。而對于本題中，我們只需要考慮數學基礎和計算機編程能力的。所以，在考慮分組時，目的就是即要使得參加競賽的人員綜合能力最優，又要使得數學基礎和計算機編程能力組合后達到最優。模型的求解：建模分組主要由團隊精神、建模能力、編程能力、論文寫作能力、思維敏捷以及數學知識等等，經過討論分析，確定良好的數學基礎、建模能力，編程能力為主要參考因素，其他因素為次要參考。問題二：根據上表信息，建立建模隊員選撥的數學模型，從中選出9位同學并組成3個隊，使得這

9、三個隊具有良好的知識機構。問題的分析;由表中所給參考的內容考慮到所在專業和班級不同，則認為個人班級排名不能真實的反映他們實力排名，在此不做參考，對其他的六個方面進行量化加權，利用層次分析法對15個人進行比較，然后利用0-1變量對選出了的9個人進行合理的分組。將此模型按層次分析法分為三層如下圖：拔優秀隊員目標層O：準則層C：方案層P：其他情況聽課次數知識面思維敏捷機試成績筆試成績模型的求解：建立層次將決策問題分成3個層次：目標層（數學建模隊員的選拔）;準則層（選拔隊員的6指標），分別記為;方案層（15名學生），分別記為。確定準則層對目標層的權重設要比較各準則對目標的重要性。對于任意兩個因素，用和

10、對的影響程度之比，構造一個正互反矩陣如下：這是一個六階正互反矩陣，經計算求的的最大特征值為 ,相應的特征向量作歸一化有對應的隨機一致性指標,則一致性指標一致性比率指標于是可以作為層對層的權重向量。量化過程：對于每一個人的起點都是0；對筆試成績每10分為1，不做約等聽課次數1-2次為1，3-4為2，5-6為3思維敏捷A為4，B為3,C為2，D為1機試A為4,B為3，C為2，D為1知識面A為4，B為3，C為2，D為1其他情況作為獎勵，上過建模課，考過計算機等級，學過MATLAB為2，考過程序員的為3，其他情況默認為1量化結果可得下表：筆試成績聽課次數其它情況思維敏捷機試成績知識面9.6114349

11、.3324339.2212128.2223348.2213238.2314318312337.9234347.8224227.7324337.6312437.4114247.8113417.6314346.631233 根據問題的條件和模型的假設, 對每個人各項條件的量化指標能夠充分反映出每個人的綜合實力。由此構造方案層對準則層的比較矩陣：，其中顯然,所有均為一致陣,由一致陣的性質可知，的最大特征值， ，其任一列向量都是的的特征向量。將其歸一化可得對的權重向量,記作即為P 層對C 層的權重, 且一致性比率指標為。然后利用MATLAB工具可得出：準則筆試機試思維知識面聽課次數其他情況方案層單排序

12、權值S1W10.0792730.0714290.0816330.0909090.0294120.047619S2W20.0767960.0714290.0816330.0681820.0882350.095238S3W30.0759700.0238100.0408160.0454550.0588240.047619S4W40.0677130.0714290.0612240.0909090.0588240.095238S5W50.0677130.0476190.0612240.0681820.0588240.047619S6W60.0677130.0714290.0816330.0227270.

13、0882350.047619S7W70.0660610.0714290.0408160.0681820.0882350.047619S8W80.0652350.0714290.0816330.0909090.0588240.142860S9W90.0644100.0476190.0816330.0454550.0588240.095238S10W100.0635840.0714290.0816330.0681820.0882350.095238S11W110.0627580.0952380.0408160.0681820.0882350.047619S12W120.0611070.047619

14、0.0816330.0909090.0294120.047619S13W130.0792730.0714290.0816330.0909090.0294120.047619S14W140.0767960.0714290.0816330.0681820.0882350.095238S15W150.0759700.0238100.0408160.0454550.0588240.047619為了從15個隊員中選出9個人需要考慮的是方案層到目標層的組合權重：由利用公式：求得每個隊員的組合權重，見下表。隊員S1S2S3S4S5S6S7S8權重0.07370.07680.04830.07090.05910

15、.06680.0640.076隊員S9S10S11S12S13S14S15權重0.06150.07290.07010.06130.06510.07290.0606對15名隊員按權重進行排序：隊員S2S8S1S10S14S4S11S6權重0.07680.0760.07370.07290.07290.07090.07010.0668隊員S13S7S9S12S15S5S3權重0.06510.0640.06150.06130.06060.05910.0483由表中數據可以選出9名綜合實力較強的選手結果是：將選出的9個人利用0-1規劃將之進行合理分為三組:我們主要選取筆試機試及思維敏捷與知識面作為參考進

16、行分組，考慮到各項目的重要程度，我們將思維敏捷與知識面和在一起取平均值作為一個參考項目。建立目標函數： 約束條件：利用LINGO工具進行求解可得出最優解：數學好編程好知識面和思維 每組包括各項能力好的各一人，共有27種組合，又考慮到各隊不有同專業的同學，則根據條件等實際情況將9個人分為三組其中合理的一種分組如下：、；、；、問題三：有的指導老師在對學生機試的時候發現一個計算機編程高手，然后直接錄用，不再考察其它情況，這種做法是否可取。問題的分析：我們在問題2的基礎上增加了一個計算機編程能力好的人，其他各項能力都按平均值進行量化，利用層次分析選出從16人中選出9人，看能否能被錄用。模型建立：套用問

17、題2的方法及步驟，得到最終各學生組合權重及排名,如下表：學生s1s2s3s4s5s6s7s8組合權重0.06940.07220.04560.06660.05570.06270.06010.0716名次31166158102學生s9s10s11s12s13s14s15s16組合權重0.0580.06850.06560.05780.06080.06860.05680.0598名次125713941411有表中排名得，該學生排在11名，因此不能被直接錄用。問題四：為數學建模教練組寫1份10001500字的報告，提出建模隊員選拔機制建議，幫助教練組提高建模隊員選拔的效率和質量。問題的分析：要提高建模隊

18、員選撥的效率和質量就要從多方面綜合考慮每一項指標，使得每一項都盡可能達到一定的水平，然后再選取符合要求的同學來參加建模比賽，不能盲目性，下面是對每一項水平的具體要求。模型的求解：對建模選拔機制的建議 數學建模競賽的主角是學員，選拔參賽學員的成功與否直接影響到參賽成績。首先，要選拔那些對數學建模活動有濃厚興趣的學員。只有對數學建模真正感興趣的學員才會不遺余力地投入到這項活動中去。其次，選拔那些有創造力的學員。調查發現，數學建模方面有培養前途的學生并非都是常規教學考試中成績最好的學員。這就需要在數學建模課程中與學員密切接觸，通過討論、作業等手段考察學員實際情況，進行初步確定，再經選拔競賽，這樣往往

19、能選出比較理想的學員。第三，注意參賽隊學員能力搭配和團結協作。數學建模考察的是個參賽小組的整體水平，涉及到學員多方面的素質，如建模能力、計算機應用能力、寫作能力等，而不是個人的能力，這就要求我們對每個參賽隊的能力搭配和默契程度予以充分的考慮。根據前面所建的模型，為了提高建模隊員選拔的效率和質量，我們對數學建模教練組提出如下建議：1、 對于參賽報名的同學，應該盡可能的收集他們的資料。將個人信息統計整理后，再全方面的考慮各人優勢和不足，以便于更好地選拔隊員。但是需要注意的是，像本題中所提到的聽課次數和班級排名對于選拔隊員并沒有很大影響，統計信息的時候把這些不必要的方面去掉，可以大大提高統計的效率。

20、2、 相對而言，對于其他關鍵素質（數學基礎和必要的數學建模知識、良好的編程能力、較強的語言表達能力和良好的團隊合作能力），則應該側重考察。也就是針對性的多進行筆試、機試和情景面試，最好是在平時中的表現中選拔出來，而不單單依靠一兩次的測試來選擇。這樣選拔出來的參賽選手將更有競爭力，這種做法也會更加合理更具人性化。3、 數學建模是三個人合作努力的結果，所以每個人的團隊合作精神都很重要，建議學校在這方面加強測試，而不僅僅是考察一些能力，俗話說，單絲不成線，獨木不成林。具體測試方法建議采用情景測試法：將報名的同學分成若干小組,要求各組面試時在限定的時間內對一特定問題進行模型建立。面試教師根據每位同學在

21、與本小組其他成員合作建立模型時的表現進行打分。4、 組隊時盡量讓曾經參加過建模競賽的老隊員與未參加過的新隊員進行搭配，這樣初次接觸數學建模的同學能夠更快的入門，而他們對于建模過程中的一些新思想也能夠很好的和老隊員分享。假設還是讓老隊員和老隊員組合，可能他們就沒多大潛力可挖掘；而如果新隊員和新隊員組合，他們可能要花大量時間熟悉關于數學建模的一切，而且這個過程沒能指導免不了要走許多彎路。因此建議讓老隊員盡量與新隊員組合，在組隊的同時，要注意有不同方面優勢的同學應該盡量合理搭配以挖掘出他們的潛力，創造更大的輝煌。5、 在平日的培訓中，一方面由教師分析，講解實際案例，使學生了解在各個應用領域的不同數學

22、方法建模的大量實例。另一方面進行模擬訓練，讓學生自己動手作4個一5個實際題目。要求學生完全按競賽的要求作，三人一組在三天內獨立完成模型的建立、求解和論文的寫作，然后讓學生分別報告自己的論文。讓學生在實踐中提高自己的建模能力、臨場應變能力和組織協調能力。這是問題暴露最多的階段，也是學生收獲最大的階段。最后針對學生暴露出來的在數學知識及淪文寫作方面的薄弱環節，有重點地進行訓練和強化。 希望我們的建議能夠對你們的工作起到一定的作用，也希望你們把其中不成熟的部分告訴我們，我們將努力做的更好！模型的推廣與改進問題的表格中沒有對團隊合作能力的考察數據，因此本模型的準則層中未加入團隊合作能力這一項。而這項能

23、力卻是極其重要的，所以建議對在面試中對團隊合作能力進行考察，然后給出評判數據，在模型的層次分析法的準則層中加入團隊合作這一項，以建立更好的模型對學生進行全面的評價。我們可以利用層次分析法從15人選出較優秀的9人，然后對他們進行排序，將前三名a，b，c分別分為三個組A,B,C,然后將接下來的三個人d，e，f，分別給C,B,A，在將此A，B，C三個分組進行比較，將剩下來的三個人還是按照好壞的搭配，最后分出三個組。根據題中不能將同一個專業安排到一個組內的約束條件，然后做適量的調整，這樣能保證每個隊的綜合實力更加接近。模型的優缺點1、 模型中選擇出9名同學的依據僅為綜合實力，但對于數學建模來說有時需要

24、的是一些具有突出能力的同學。2、 對于9名的同學的組合，并不能保證為最優組合，只是相對較優。3、 由于沒有團隊合作能力的評價數據，因此此模型選擇出的同學可能不具備較好的團隊合作能力。4、 在題目給定數據的條件下，此模型應用層次分析法以及0-1規劃相對能夠較好的選擇及組合隊員，使得每個隊的實力不差上下，保證了每個隊的平衡。參考文獻1 韓中庚，數學建模方法及其應用，北京：高等教育出版社，2025.2 姜啟源，數學模型，北京：高等教育出版社，2003.3 拉克唐瓦爾德，數值方法和MATLAB實現與應用，北京：機械工業出版社，2004附錄一：問題二：程序一：說明：要運行下面的程序需要在MATLAB中插

25、入以下的矩陣，這個矩陣在下一個問題中也實用。15人中選出9個人的程序clca=1,1,2,3,4,5 1,1,2,3,4,5 1/2,1/2,1,2,3,4 1/3,1/3,1/2,1,2,3 1/4,1/4,1/3,1/2,1,2 1/5,1/5,1/4,1/3,1/2,1;x,y=eig(a);eigenvalue=diag(y);lamda=max(eigenvalue)ci=(lamda-6)/5cr=ci/1.24w1=x(:,1)/sum(x(:,1)G=zeros(15,6);wi=zeros(15,6);T=zeros(3,6)for m=1:6; B=s(1:15,m);D=

26、zeros(15,15);for i=1:15; for j=1:15; D(i,j)=B(i,1)/B(j,1); end endE=eig(D);T(1,m)=max(E);T(2,m)=(T(1,m)-15)/14;T(3,m)=T(2,m)/1.59;C,F=eig(D);G(:,m)=C(:,2);wi(:,m)=G(:,m)/sum(G(:,m)endw=wi*w1T結果：w1 =0.0737 0.0768 0.0483 0.0709 0.0591 0.0668 0.0640 0.0760 0.0615 0.0729 0.0701 0.0613 0.0651 0.0729 0.06

27、06程序二：將9人合理分配為3組的程序model:Max = 9.6*xa1+3*xa2+4*xa3 +9.3*xb1+3*xb2+3.5*xb3 +8.2*xc1+3*xc2+3.5*xc3 +8.2*xd1+3*xd2+2.5*xd3 +7.9*xe1+3*xe2+4*xe3 +7.7*xf1+3*xf2+3.5*xf3 +7.6*xg1+4*xg2+2.5*xg3 +7.8*xh1+4*xh2+2*xh3 +7.6*xi1+3*xi2+4*xi3;xa1+xa2+xa3=1;xb1+xb2+xb3=1;xc1+xc2+xc3=1;xd1+xd2+xd3=1; xe1+xe2+xe3=1;

28、xf1+xf2+xf3=1;xg1+xg2+xg3=1;xh1+xh2+xh3=1;xi1+xi2+xi3=1;xa1+xb1+xc1+xd1+xe1+xf1+xg1+xh1+xi1=3;xa2+xb2+xc2+xd2+xe2+xf2+xg2+xh2+xi2=3;xa3+xb3+xc3+xd3+xe3+xf3+xg3+xh3+xi3=3;bin(xa1);bin(xa2);bin(xa3);bin(xb1);bin(xb2);bin(xb3);bin(xc1);bin(xc2);bin(xc3);bin(xd1);bin(xd2);bin(xd3);bin(xe1);bin(xe2);bin(

29、xe3);bin(xf1);bin(xf2);bin(xf3);bin(xg1);bin(xg2);bin(xg3);bin(xh1);bin(xh2);bin(xh3);bin(xi1);bin(xi2);bin(xi3);bin(w93);運算結果： Global optimal solution found. Objective value: 49.60000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost W11 1.000000 -9.600000 W12 0.000000

30、 -3.000000 W13 0.000000 -4.000000 W21 1.000000 -9.300000 W22 0.000000 -3.000000 W23 0.000000 -3.500000 W31 0.000000 -8.200000 W32 0.000000 -3.000000 W33 1.000000 -3.500000 W41 1.000000 -8.200000 W42 0.000000 -3.000000 W43 0.000000 -2.500000 W51 0.000000 -7.900000 W52 0.000000 -3.000000 W53 1.000000

31、-4.000000 W61 0.000000 -7.700000 W62 1.000000 -3.000000 W63 0.000000 -3.500000 W71 0.000000 -7.600000 W72 1.000000 -4.000000 W73 0.000000 -2.500000 W81 0.000000 -7.800000 W82 1.000000 -4.000000 W83 0.000000 -2.000000 W91 0.000000 -7.600000 W92 0.000000 -3.000000 W93 1.000000 -4.000000 Row Slack or S

32、urplus Dual Price 1 49.60000 1.000000 2 0.000000 0.000000 3 0.000000 0.000000 4 0.000000 0.000000 5 0.000000 0.000000 6 0.000000 0.000000 7 0.000000 0.000000 8 0.000000 0.000000 9 0.000000 0.000000 10 0.000000 0.000000 11 0.000000 0.000000 12 0.000000 0.000000 13 0.000000 0.000000問題三：將給出的15個人和計算機高手進

33、行合理量化加權的程序程序一：clca=1,1,2,3,4,5 1,1,2,3,4,5 1/2,1/2,1,2,3,4 1/3,1/3,1/2,1,2,3 1/4,1/4,1/3,1/2,1,2 1/5,1/5,1/4,1/3,1/2,1;x,y=eig(a);eigenvalue=diag(y);lamda=max(eigenvalue);ci=(lamda-6)/5;cr=ci/1.24;w=x(:,1)/sum(x(:,1);G=zeros(16,6);wi=zeros(16,6);T=zeros(3,6);for m=1:6; B=s(1:16,m);D=zeros(16,16);for

34、 i=1:16; for j=1:16; D(i,j)=B(i,1)/B(j,1); end endD;E=eig(D);T(1,m)=max(E);T(2,m)=(T(1,m)-16)/15;T(3,m)=T(2,m)/1.59;C,F=eig(D);G(:,m)=C(:,2);wi(:,m)=G(:,m)/sum(G(:,m)endw1=wi*wT;結果w =0.0694 0.0722 0.0456 0.0666 0.0557 0.0627 0.0601 0.0716 0.0580 0.0685 0.0656 0.0578 0.0608 0.0686 0.0568 0.0598附錄二：問題

35、二中的部分結果：方案層對準則層的比較矩陣：判斷矩陣：D = Columns 1 through 6 1.0000 1.0323 1.0435 1.1707 1.1707 1.1707 0.9688 1.0000 1.0109 1.1341 1.1341 1.1341 0.9583 0.9892 1.0000 1.1220 1.1220 1.1220 0.8542 0.8817 0.8913 1.0000 1.0000 1.0000 0.8542 0.8817 0.8913 1.0000 1.0000 1.0000 0.8542 0.8817 0.8913 1.0000 1.0000 1.000

36、0 0.8333 0.8602 0.8696 0.9756 0.9756 0.9756 0.8229 0.8495 0.8587 0.9634 0.9634 0.9634 0.8125 0.8387 0.8478 0.9512 0.9512 0.9512 0.8021 0.8280 0.8370 0.9390 0.9390 0.9390 0.7917 0.8172 0.8261 0.9268 0.9268 0.9268 0.7708 0.7957 0.8043 0.9024 0.9024 0.9024 0.8125 0.8387 0.8478 0.9512 0.9512 0.9512 0.79

37、17 0.8172 0.8261 0.9268 0.9268 0.9268 0.6875 0.7097 0.7174 0.8049 0.8049 0.8049 Columns 7 through 12 1.2000 1.2152 1.2308 1.2468 1.2632 1.2973 1.1625 1.1772 1.1923 1.2078 1.2237 1.2568 1.1500 1.1646 1.1795 1.1948 1.2105 1.2432 1.0250 1.0380 1.0513 1.0649 1.0789 1.1081 1.0250 1.0380 1.0513 1.0649 1.0

38、789 1.1081 1.0250 1.0380 1.0513 1.0649 1.0789 1.1081 1.0000 1.0127 1.0256 1.0390 1.0526 1.0811 0.9875 1.0000 1.0128 1.0260 1.0395 1.0676 0.9750 0.9873 1.0000 1.0130 1.0263 1.0541 0.9625 0.9747 0.9872 1.0000 1.0132 1.0405 0.9500 0.9620 0.9744 0.9870 1.0000 1.0270 0.9250 0.9367 0.9487 0.9610 0.9737 1.

39、0000 0.9750 0.9873 1.0000 1.0130 1.0263 1.0541 0.9500 0.9620 0.9744 0.9870 1.0000 1.0270 0.8250 0.8354 0.8462 0.8571 0.8684 0.8919 Columns 13 through 15 1.2308 1.2632 1.4545 1.1923 1.2237 1.4091 1.1795 1.2105 1.3939 1.0513 1.0789 1.2424 1.0513 1.0789 1.2424 1.0513 1.0789 1.2424 1.0256 1.0526 1.2121

40、1.0128 1.0395 1.1970 1.0000 1.0263 1.1818 0.9872 1.0132 1.1667 0.9744 1.0000 1.1515 0.9487 0.9737 1.1212 1.0000 1.0263 1.1818 0.9744 1.0000 1.1515 0.8462 0.8684 1.0000判斷矩陣：D = Columns 1 through 6 1.0000 1.0000 3.0000 1.0000 1.5000 1.0000 1.0000 1.0000 3.0000 1.0000 1.5000 1.0000 0.3333 0.3333 1.0000

41、 0.3333 0.5000 0.3333 1.0000 1.0000 3.0000 1.0000 1.5000 1.0000 0.6667 0.6667 2.0000 0.6667 1.0000 0.6667 1.0000 1.0000 3.0000 1.0000 1.5000 1.0000 1.0000 1.0000 3.0000 1.0000 1.5000 1.0000 1.0000 1.0000 3.0000 1.0000 1.5000 1.0000 0.6667 0.6667 2.0000 0.6667 1.0000 0.6667 1.0000 1.0000 3.0000 1.000

42、0 1.5000 1.0000 1.3333 1.3333 4.0000 1.3333 2.0000 1.3333 0.6667 0.6667 2.0000 0.6667 1.0000 0.6667 1.3333 1.3333 4.0000 1.3333 2.0000 1.3333 1.0000 1.0000 3.0000 1.0000 1.5000 1.0000 1.0000 1.0000 3.0000 1.0000 1.5000 1.0000 Columns 7 through 12 1.0000 1.0000 1.5000 1.0000 0.7500 1.5000 1.0000 1.0000 1.5000 1.0000 0.7500 1.5000 0.3333 0.3333 0.5000 0.3333 0.2500 0.