1、有理數(shù)及其運算培優(yōu)專題選擇題（共4小題）1. a, b互為相反數(shù)，下列各數(shù)中，互為相反數(shù)的一組為（）A. a2 與 b2 B. a3 與 b5C. a2n與b2n （n為正整數(shù)） D. a2n+1與b2n+1 （n為正整數(shù)）2. 十進制數(shù) 278,記作 278（io）,其實 278（io）=2X 102+7X 101+8 X 10,二進 制數(shù) 101（2）=1X22+0X21+1X 2.有一個 k（0vk 0，求- I的值.a b c【解決問題】解：由題意，得a，b，c三個有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個為正數(shù)，另兩個為 負數(shù). a， b， c都是正數(shù)，即a 0 ， b 0， c 0時，則 1-1 .

2、-；a b c a b c 當a，b，c中有一個為正數(shù)，另兩個為負數(shù)時，不妨設 a0，bv0，cv0,則.a b c a b c綜上所述，上-I - I 值為 3 或-1.【探究】請根據(jù)上面的解題思路解答下面的問題：(1) 三個有理數(shù)a，b，c滿足abcv0，求-的值；abc(2) 若a，b，c為三個不為0的有理數(shù)，且- - - ，求|小 的I曰I lb I lc|labc|值.8 .如圖，在單位長度為1的數(shù)軸上有，A、B、C、D四個點，點A、C表示占 I 占 I11 占 占 I的有理數(shù)互為相反數(shù)(1) 請在數(shù)軸上標出原點O,并在點A、B、C、D上方標出它們所表示的有 理數(shù)；(2) A、C兩點

3、間的距離AC=，B、D兩點間距離BD ;(3) 通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)軸上兩點之間的距離可以用這兩個點所表示的有理數(shù)的絕對值來表示，如果數(shù)軸上點 M表示的有理數(shù)是X,點N表示的有 理數(shù)是y，那么M、N兩地間的距離用含有絕對值的式子可以表示為 ;(4) 設點P在數(shù)軸表示的有理數(shù)是x,借助數(shù)軸解答下列問題： 式子| x- 4|表示點P與有理數(shù)所對應的點之間的距離：| x+1|表示點P與有理數(shù)所對應的點之間的距離； 當x是哪個有理數(shù)或哪個有理數(shù)范圍內時，式子|x- 4|+| x+1|的值最小？最小值是多少？ 若式子|x-4|+| x+1|的值是6，那么點P所表示的有理數(shù)是多少？ .9. 如圖所示，數(shù)軸

4、上一動點A向左移動2個單位長度到達點B,再向右移動 5個單位長度到達點C點.（1）求動點A所走過的路程及A、C之間的距離.（2） 若C表示的數(shù)為1，則點A表示的數(shù)為.5B A 0 C10. 從圖中最小的數(shù)開始，由小到大依次用線段連接各數(shù)，看看你畫出了什 么？.-H5|*4.9 + (-1 )11.已知有理數(shù)a，b，c，d，絕對值為2,求式子的值.12 .若（a- 2） 2+|b+3|=0,求（a+b） 2009 的值.d互為相反數(shù)，e的13. 計算:(- 8+ (- 10) + (- 2)-( - 5) 2、- -81 十(-2 )x 十(-16)49 -14-一 X 3-( -3)勺6 (廠

5、 +-36); 199X( - 5)(用簡便方法計算)14. 請先閱讀下列一段內容，然后解答后面問題:d 1 1 1 1 11X2 25 2X32 3 3乂4_3 4第四個等式為，第n個等式為根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算：I-y,.15. 計算題(2) 17 - 8-(-2) +4X( 3)(3) (4) :-:I(5) J丄丄：廠 : - I : (6) 25X匚；f.二尸.(丁16. 計算求值：(-1)2015x _： -. ：.：|_ .仃 計算：1-21 ：!- ： .算：二-!.18.若 a、b、c為整數(shù)，且| a- b| 19+| c- a| 2010=1,求| a- b|+| b- c|

6、+| c a| .3.已知 a= ( ： |，b=：lZ-丄)C-21516 八 1415有理數(shù)及其運算培優(yōu)專題參考答案與試題解析一 選擇題（共4小題）1. a，b互為相反數(shù)，下列各數(shù)中，互為相反數(shù)的一組為（）A. a十進制數(shù) 278,記作 278（ 10），其實 278（1o）=2X 102+7X 101+8 X 10，二進 與 b2 B. a制數(shù) 101（2）=1 X22+0X21+1 X 20.有一個 k（0vk 10 為整數(shù)）進制數(shù) 165（k）， 把它的三個數(shù)字順序顛倒得到的 k進制數(shù)561（k是原數(shù)的3 倍,則k=（）A. 10 B. 9 C. 8 D. 7【分析】依據(jù)定義列出關于

7、k的方程求解即可.【解答】解：由題意得：3 （k2+6k+5） =5k2+6k+1， 解得：k=7或k=- 1 （舍去）. 與 b故選：D.【點評】本題主要考查的是科學記數(shù)法，依據(jù)定義列出關于k的方程是解題的關鍵.C. a2n與b2n （n為正整數(shù)）D. a2n+1與b2n+1 （n為正整數(shù)）【分析】依據(jù)相反數(shù)的定義以及有理數(shù)的乘方法則進行判斷即可.【解答】解：A、a, b互為相反數(shù)，則a2=b2，故A錯誤；B、a，b互為相反數(shù)，則a3=- b3,故a3與b5不是互為相反數(shù)，故B錯誤； 、a，b互為相反數(shù)，則a2n=b2n，故C錯誤；D、a， b互為相反數(shù)，由于2n+1是奇數(shù)，則a21與b21

8、互為相反數(shù)，故D 正確；故選：D.【點評】本題考查了相反數(shù)和乘方的意義，明確只有符號不同的兩個數(shù)叫做 互為相反數(shù)，還要熟練掌握互為相反數(shù)的兩個數(shù)的偶數(shù)次方相等，奇次方還 是互為相反數(shù).F列敘述何者正確？（)A. a=c, b=cB. a=c, b工c C. ac, b=c D. ac, c【分析】根據(jù)有理數(shù)的減法的運算方法，判斷出 a、c, b、c的關系即可.【解答】 解： a=（JL-2）-丄=丄-2-丄，b-（2-丄）=JL 141516 14151614151614-,c= - - 1 ,15 16141516二 a=c,c.故選：B.【點評】此題主要考查了有理數(shù)的減法，要熟練掌握，解答

9、此題的關鍵是要 明確：有理數(shù)減法法則：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù).4 .在廣東省十三屆人大一次會議上的政府工作報告中指出：廣東全省生產(chǎn) 總值從2012年的5.8萬億元增加到2017年的8.99萬億元，五年年均增長 7.9%.將數(shù)據(jù)8.99萬億用科學記數(shù)法可表示為（）A. 89.9X 1011 B. 0.899X 1013 C. 8.99X 1012 D. 8.99X 1013【分析】科學記數(shù)法的表示形式為ax 10n的形式，其中 K |a| v 10, n為整 數(shù).確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對 值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當原數(shù)絕對值1時，n是正數(shù)；當原

10、數(shù)的絕 對值v 1時，n是負數(shù).【解答】解：將數(shù)據(jù)8.99萬億用科學記數(shù)法可表示為8.99X 1012.故選：C.【點評】此題考查科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為 aX 10n 的形式，其中1 0，求 的值.a b c【解決問題】解：由題意，得a，b，c三個有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個為正數(shù)，另兩個為 負數(shù). a， b， c都是正數(shù)，即a 0 ， b 0， c 0時，則.-；a b c a b c 當a，b，c中有一個為正數(shù)，另兩個為負數(shù)時，不妨設 a0，bv0，cv0,則.a b c a b c綜上所述，值為3或-1.a b c【探究】請根據(jù)上面的解題思路解答下面的問題：(1) 三個

11、有理數(shù)a，b，c滿足abcv0,求的值；abc(2) 若a，b，c為三個不為0的有理數(shù)，且- 一一 -._-1，求的1日1 lb I Ic|labc|值.【分析】(1)仿照題目給出的思路和方法，解決(1)即可；(2) 根據(jù)已知等式，利用絕對值的代數(shù)意義判斷出a，b，c中負數(shù)有2 個,正數(shù)有1 個,判斷出abc的正負，原式利用絕對值的代數(shù)意義化簡計算即可.【解答】解：(1)v abcv0,a, b, c都是負數(shù)或其中一個為負數(shù)，另兩個為正數(shù)， 當a, b, c都是負數(shù)，即av0, bv0, cv0時，則：=+=+=- 1- 1-仁-3;a b c a b c a, b, c有一個為負數(shù)，另兩個為

12、正數(shù)時，設 av0, b0, c0,則 =一*+ =- 1+1+1=1.a b c abc(2)v a, b, c為三個不為0的有理數(shù)，且一:a, b, c中負數(shù)有2個，正數(shù)有1個，abc 0,=亠-=1Iabc | abc【點評】本題主要考查了絕對值的意義、分類討論的思想方法能不重不漏 的分類，會確定字母的范圍和字母的值是關鍵.8. 如圖，在單位長度為1的數(shù)軸上有，A、B、C、D四個點，點A、C表示 占 I A I11 占 占 I1的有理數(shù)互為相反數(shù)(1) 請在數(shù)軸上標出原點0,并在點A、B、C、D上方標出它們所表示的有 理數(shù)；(2) A、C兩點間的距離AC= 6，B、D兩點間距離BD= 5

13、;(3) 通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)軸上兩點之間的距離可以用這兩個點所表示的有理數(shù)的絕對值來表示，如果數(shù)軸上點 M表示的有理數(shù)是X,點N表示的有 理數(shù)是y,那么M、N兩地間的距離用含有絕對值的式子可以表示為 |x- y；(4) 設點P在數(shù)軸表示的有理數(shù)是x,借助數(shù)軸解答下列問題： 式子| x- 4|表示點P與有理數(shù) 4所對應的點之間的距離：| x+1|表示點P與有理數(shù)-1所對應的點之間的距離； 當x是哪個有理數(shù)或哪個有理數(shù)范圍內時，式子|x-4|+| x+11的值最小？ 最小值是多少？ 5 若式子|x-4|+| x+1|的值是6,那么點P所表示的有理數(shù)是多少？- 1.5或 4.5.【分析】(1)根據(jù)

14、圖示，點A、C之間的距離是6,據(jù)此求出點A、C表示的 數(shù)是多少，即可求出點B和D表示的數(shù)是多少，并畫數(shù)軸即可；(2) 直接由兩點的坐標之差可得結論；(3) 在數(shù)軸上M、N兩點之間的距離MN=| x-y|，依此即可求解；(4) 根據(jù)絕對值的幾何意義，進行解答； 根據(jù)數(shù)軸上|x+3|+| x-4|的幾何意義，進行解答. 分情況討論計算即可得出結論.【解答】解：(1)v點A C表示的兩個數(shù)互為相反數(shù)，點 A、C之間的距離 是6,點C表示的數(shù)是3, A表示的數(shù)是-3,點B表示的數(shù)是-1,點D表示的數(shù)是4;如圖所示:-14丄53丄he(2) 由數(shù)軸得：A、C兩點間的距離AC=6, B、D兩點間距離BD=

15、4-( - 1)=5；故答案為：6, 5;(3) MN=|x- y|故答案為：| x- y| ;(4) 式子| x- 4|表示點P與有理數(shù)4所對應的點之間的距離：|x+1|表示 點P與有理數(shù)-1所對應的點之間的距離； 在數(shù)軸上|x+3|+| x-4|的幾何意義是：表示有理數(shù) x的點到-3及到4的 距離之和，所以當-3x4時，它的最小值為7; |x-4|+| x+1| =6,分三種情況：如圖1,當點P在-1的左邊時，得:- 1 - x+4 - x=6,x=- 1.5,如圖2,當點P在-1和4之間時，| x- 4|+| x+1| =5,不符合題意，如圖3,當點P在4的右邊時，x - 4+x+1=6

16、,x=4.5,x= - 1.5 或 4.5,即點P表示的有理數(shù)是-1.5或4.5;故答案為：4,- 1 ;購7;-1.5或4.5.P|I|占|丄-5-4-3-2-101234x5S3PIII占I 4II4I、-5-4-3*2-102345III飛丄-5-4-3-2 x -1012345圖1【點評】此題主要考查了數(shù)軸上兩點間的距離的求法，以及相反數(shù)和絕對值 的含義和求法，要熟練掌握.9. 如圖所示，數(shù)軸上一動點A向左移動2個單位長度到達點B,再向右移動5個單位長度到達點C點.(1) 求動點A所走過的路程及A、C之間的距離.(2) 若C表示的數(shù)為1，則點A表示的數(shù)為 -2.I卜1B A 0 C【分

17、析】(1)根據(jù)題意列出算式2+5,求出即可得出動點A所走過的路程， 求出5- 2即可得出A、C之間的距離；(2)設點A表示的數(shù)十X，根據(jù)題意得出算式x+ ( - 2) + (+5) =1，求出x 即可.【解答】解：(1)動點A所走過的路程2+5=7,A、C之間的距離是 AC=5- 2=3;(2)設點A表示的數(shù)十X，則 x+ (- 2) + (+5) =1，x=- 2，故答案為：-2.【點評】本題考查了數(shù)軸和有理數(shù)的運算，關鍵是能根據(jù)題意列出算式，題 目比較好，但是一道比較容易出錯的題目.10. 從圖中最小的數(shù)開始，由小到大依次用線段連接各數(shù)，看看你畫出了什 么？4.9【分析】根據(jù)負數(shù)比較大小，

18、絕對值大的反而小，求出兩負數(shù)的大小，根據(jù)正數(shù)都大于0,負數(shù)都小于0比較即可.【解 答】 解：如 圖 所 示畫出的圖形是一條魚.【點評】本題考查了相反數(shù)，絕對值，有理數(shù)的大小比較等知識點的應用，求出I 4.51= 4.5, + (- 1) =- 1，- (- 5) =5，| - 10| =10，| - 6| =6,I -3|=3.11.已知有理數(shù)a, b，c，d，e，且a、b互為倒數(shù)，c、d互為相反數(shù),絕對值為2,求式子22的值.【分析】利用相反數(shù)，倒數(shù)，以及絕對值的定義求出ab, c+d以及e的值,代入原式計算即可得到結果.【解答】解：根據(jù)題意得：ab=1, c+d=0, e=2,原式=X 1

19、 +0+4=4 .2 2【點評】此題考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握相反數(shù)，倒數(shù)，以及絕對 值的定義是解本題的關鍵.12.若（a-2） 2+|b+3|=0,求（a+b） 2009 的值.【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質分別求出 a b，根據(jù)乘方法則計算即可.【解答】解：由題意得，a-2=0, b+3=0,解得，a=2, b= 3,則(a+b) 2009= - 1.【點評】本題考查的是非負數(shù)的性質，掌握當幾個非負數(shù)相加和為0時，則其中的每一項都必須等于0是解題的關鍵.13計算： 8+ ( 10) + ( 2) ( 5) 2 5 + (- 3一)7337 -81 十(-2 )x2十(-16)49 -14-

20、x 3-( -3) 26(吉-頁 +爲)x(- 36);29 12199； x( - 5)(用簡便方法計算)【分析】首先根據(jù)有理數(shù)減法法則，把算式進行化簡，然后應用加法交換律和結合律，即可得出結論；根據(jù)加法結合律將同分母的分數(shù)相加，即可得出結論； 先確定符號，再根據(jù)有理數(shù)混合運算的運算順序進行計算即可得出結論; 原式先計算乘方運算，再計算乘法運算，最后算加減運算可得出結論； 利用乘法的分配律進行計算可得出結論； 先將帶分數(shù)化為200-丄，利用乘法的分配律進行計算即可得出結論.【解答】解： 8+ (- 10) + (- 2)-( - 5)，=8 - 10 - 2+5，=(8+5) + (- 10

21、- 2)，=13- 12，=-1 - 9,二10;-81-( - 2 )X (- 16),49=-81X 丄 X 丄X,9916=-1；-14-丄X 3-( -3) 2,6=-1 - - X( 3 - 9),6=-1- ； X( - 6),5=0；(- +)X( - 36); 29 12=- X 36+ X 36 -X 36,2912 =-18+20- 21, =-19;199、X( - 5)(用簡便方法計算)25=(200- 1 )X( - 5),2 b=200X( - 5) +5X =-1=-999.8.【點評】本題考查了有理數(shù)的混合運算，牢記有理數(shù)混合運算的運算法則是 解題的關鍵.14.

22、 請先閱讀下列一段內容，然后解答后面問題:1 =111 =1 _丄 1 =11、乏:，一宀:, 第四個等式為一二 根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算：-n個等式為一_寸二丄一；=+- -I-+ 2X3 3X4 4X511*12 1 -11,第【分析】先根據(jù)所給的式子找出第一、第二、第三個式子的規(guī)律，進而可 求出第四、第n個式子的表達式;把所給式子相加，找出規(guī)律即可進行計算.【解答】解：第一個式子為： =1-，1X22第二個式子為：=-,2X3 23第三個式子為：=-】，3*4 34第四個等式為：- ,第n個等式為：=-.4*5 45n(n+l) n n+l故答案為：1=丄-丄,1 =丄-;4乂5 45 n(

23、n+l) n n+1第二、第三個式子相加=- 1 +-=,23 34 4 1 + 一 + 1 - - +1 - +-1 _1 1 = 2X 3 3X 411X 12 23 341112 212 12【點評】本題考查的是有理數(shù)的混合運算，是一道找規(guī)律的題目，要求學生 通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題，熟練 掌握分數(shù)的拆分計算.15. 計算題(2) 17 - 8-(- 2) +4X( - 3)(八十(4) :-I(5) I丄 U | 廠 1 |(6) 25X i一|- i：-【分析】(1)先化簡，再計算加減法可得；(2) 先計算乘除，再算加減可得；(3) 運用乘法分配律

24、計算可得；(4) 首先計算乘方和括號里面的運算，然后計算乘法和減法可得.(5) 第一組括號里利用乘法分配律計算，第二組括號里是- 1的奇次方，得-1，并根據(jù)絕對值和乘方進行第三組式子進行計算可得；(6) 運用乘法分配律的逆運算計算可得.【解答】解：(1) 5： 一|，=(5：；+4二)+ (- 5 -),5533=10-6,=4(2) 17 - 8-( -2) +4X( - 3),=17+4 - 12,=21 - 12,=9；(3)，=60X 二 +60xE-60X - 60X 461512=45+50 - 44 - 35,=16;=4；(5) I - |“，=：X( -24) + 丄X( -

25、 24)- 2.75X( - 24)- 1 - 23, 3S=-32 - 3+66- 1- 8,=22; 25 ； : ,? 1 =25 X=25二 +25- 25_),=25X1 ,=25.【點評】此題主要考查了有理數(shù)的混合運算，要熟練掌握，注意明確有理數(shù) 混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應按從左到 右的順序進行計算；如果有括號，要先做括號內的運算.16. 計算求值：（-1）2015x廠； . .：:-1 .【分析】先計算小括號里，再計算中括號，最后計算大括號，先算乘方，再 算乘除，最后算加減.【解答】解: (- 1) 2015xI . :.=-1X -1-x +0.5