1、高等數(shù)學第四節(jié)多元復合函數(shù)的求導法則1第四節(jié)第四節(jié) 多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則25P:一元函數(shù)的鏈式法則, )(, )(xguufy設xdxgufudufyd)()()(則.)()(xgufxdyd或:多元函數(shù)的鏈式法則,可微uf,)()(, ),(.tyytxxyxfu設定理1.)(, )(,可導可微tytxf則)()(tyutxutdudyxtuxy高等數(shù)學第四節(jié)多元復合函數(shù)的求導法則2,.yxtt 其余變量獲得相應增量獲得增量設證,u 所以可微由于,),(yxfu )( oyfxfuyx 22yx tyxotyftxftuyx 22 )(tyftxftutytxt 00

2、0limlimlim222200tytxot lim)(lim 220yxtyftxfyx)()()()(tyftxftdudyx.即高等數(shù)學第四節(jié)多元復合函數(shù)的求導法則3,)()()(, ),(.tzztyytxxzyxfu對于推廣.有xyztu.)(, )(, )(,可導可微tztytxf)()()(tzutyutxutdudzyx以上公式中的導數(shù)以上公式中的導數(shù) 稱為稱為tdud高等數(shù)學第四節(jié)多元復合函數(shù)的求導法則4, ),(, ),(, ),(yxvyxuvufz 設:推廣xvxuvzuzxz則yvyuvzuzyzzuvxy:再推廣,),(可微設wvuzz ,xwxvxuwzvzuzx

3、z則.ywyvyuwzvzuzyzzwvuyx,),(可偏導可微vuvufz 可偏導),(, ),(, ),(yxwwyxvvyxuu高等數(shù)學第四節(jié)多元復合函數(shù)的求導法則5xvvzxuuzxz.解1 veyveuucossin,)cossin(vvyeu1 vexveuucossin.)cossin(vvxeuzuvxy,sin.yxvyxuvezu而設例1.yzxz和求yvvzyuuzyz高等數(shù)學第四節(jié)多元復合函數(shù)的求導法則61 tztdvdvztduduztdzd.解#cossinttuvetttetettcossincos.cos)sin(costttetzuvtt,cos,sin.tv

4、eutuvzt而設例2.tdzd求全導數(shù)高等數(shù)學第四節(jié)多元復合函數(shù)的求導法則7w12xyz.,余類推再對第一變量求偏導先對第二變量表示對其第一個變量求偏導表示多元函數(shù)ffff121 xxzyxfzyxfxw)()(. 21解21fzyfzxw2)(21fzyfz;zfzyfyzf221zfzf21,下面分別計算具有二階連設例fzyxzyxfw, ),(.3.,zxwxw2和求續(xù)偏導數(shù)高等數(shù)學第四節(jié)多元復合函數(shù)的求導法則8zf11211fyxf zf22221fyxf zxw2于是2111fyxf 2fy )(2212fyxfzy .)(22222111fyfzyxfzxyf w12xyz),(

5、11zyxzyxff 注注),(22zyxzyxff zzzyxfzyxf)()( 2111zzzyxfzyxf)()( 2212 zxw2;221zfyzf yzf ),(12212ffCf 1f 高等數(shù)學第四節(jié)多元復合函數(shù)的求導法則9,),(, ),(.可偏導可微設例 fyxuyxufz4zuxxyy21fufxzx .解.,),(的偏導數(shù)的偏導數(shù)關于關于yyufz xxx.),(個變量的偏導數(shù)個變量的偏導數(shù)關于第二關于第二yufx31fufyzy .類似地分析它們的區(qū)別類似地分析它們的區(qū)別.,yzxz求高等數(shù)學第四節(jié)多元復合函數(shù)的求導法則10全微分形式不變性全微分形式不變性則有可微設函數(shù)

6、,),(vufz 則有可微若, ),(, ),(vuyxvvyxuuyvvzyuuzyzxvvzxuuzxz,因為:)(式有代入 2)(1vdvzuduzzd)(2ydyzxdxzzd高等數(shù)學第四節(jié)多元復合函數(shù)的求導法則11xdxvvzxuuzydyzxdxzzdydyvvzyuuzydyuxdxuuzydyvxdxvvzuduz.vdvz都有是自變量還是中間變量由此說明不論,vuvdvzuduzzd.性此為全微分的形式不變高等數(shù)學第四節(jié)多元復合函數(shù)的求導法則12,)(.02zyxezed解,)(02zdezdyxdezyxzdexdyydxezyx)()(2ydeexxdeeyzdzyxzy

7、x)()(22,2zyxeeyxz.2zyxeexyz.,.yzxzezezyx和和求求已已知知例例024高等數(shù)學第四節(jié)多元復合函數(shù)的求導法則13復合函數(shù)的高階偏導數(shù)復合函數(shù)的高階偏導數(shù).22122211142fyxfyxfyxf ., ),(.yxzCfyxyxfz22225求設例, )(.xfyfxz221 解yxz2112112fyyfxf )()()(xyfxf222221 fz 21yx高等數(shù)學第四節(jié)多元復合函數(shù)的求導法則14.22222xzatz, )()(.26Cgftaxgtaxfz設例.22222xzatz求證.證)()()(ataxgataxftzgafa22tz.gafa 22)( agaafa )()(taxgtaxfxz. )()(taxgtaxfxz 22),(都是一元函數(shù)gf高等數(shù)學第四節(jié)多元復合函數(shù)的求導法則15設設),(xv