1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)高等教育出版社D103三重積分第三節(jié)一、三重積分的概念三重積分的概念 二、三重積分的計(jì)算二、三重積分的計(jì)算三重積分 第十章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)高等教育出版社D103三重積分一、三重積分的概念一、三重積分的概念 類似二重積分解決問題的思想, 采用kkkkv),(),(kkkkv引例引例: 設(shè)在空間有限閉區(qū)域 內(nèi)分布著某種不均勻的物質(zhì),),(Czyx求分布在 內(nèi)的物質(zhì)的可得nk 10limM“分割作近似，求和取極限！分割作近似，求和取極限！”解決方法解決方法:質(zhì)量 M .密度函數(shù)為目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)高等教育出版社D103

2、三重積分定義定義. 設(shè),),( , ),(zyxzyxfkkknkkvf),(lim10存在,),(zyxfdvzyxf),(稱為體積元素體積元素, vd.dddzyx若對(duì) 作任意分割任意分割: 任意取點(diǎn)任意取點(diǎn)則稱此極限為函數(shù)在 上的三重積分三重積分.在直角坐標(biāo)系下常寫作三重積分的性質(zhì)與二重積分相似.性質(zhì)性質(zhì): 例如 ),2,1(nkvk,),(kkkkv下列“乘中值定理中值定理.),(zyxf設(shè)在有界閉域 上連續(xù),則存在,),(使得dvzyxf),(Vf),(V 為 的體積, 積和式” 極限記作記作目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)高等教育出版社D103三重積分二、三重積分的計(jì)算二、三

3、重積分的計(jì)算1. 利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分方法方法1 . 投影法 (“先一后二”)方法方法2 . 截面法 (“先二后一”) 然后，結(jié)合二重 積分的方法即可轉(zhuǎn)化為三次積分。 ,0),(zyxf先假設(shè)連續(xù)函數(shù) 最后, 推廣到一般可積函數(shù)的定積分計(jì)算. 這里只敘述三重積分轉(zhuǎn)化為三次積分的方法:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)高等教育出版社D103三重積分zxyD方法方法1. 投影法投影法 (“先一后二先一后二” ) Dyxyxzzyxz),(),(),(:21則有：dvzyxf),(dxdydzzyxfDyxzyxz ),(),( ),( 21 ),( ),( 21),

4、(yxzyxzDdzzyxfdxdy),(2yxzz ),(1yxzz 記作yxddO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)高等教育出版社D103三重積分ab方法方法2. 截面法截面法 (“先二后一先二后一”)bzaDyxz),(:則有：dvzyxf),(bazDdxdyzyxf),(Dbadxdyzyxfz),(dzzDzd記作xyzO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)高等教育出版社D103三重積分投影法三次積分的轉(zhuǎn)化方法：三次積分的轉(zhuǎn)化方法：設(shè)區(qū)域:利用投影法結(jié)果 ,bxaxyyxyDyx)()(:),(21),(),(21yxzzyxz把二重積分化成二次積分即得:dvzyxf),()

5、,(),(21d),(yxzyxzDzzyxfdxdydvzyxf),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxf)()(21dxyxyybaxd目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)高等教育出版社D103三重積分當(dāng)被積函數(shù)在積分域上變號(hào)時(shí), 因?yàn)?,(zyxf2),(),(zyxfzyxf),(1zyxf),(2zyxf均為為非負(fù)函數(shù)根據(jù)重積分性質(zhì)仍可用前面介紹的方法計(jì)算.2),(),(zyxfzyxf目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)高等教育出版社D103三重積分其中 為三個(gè)坐標(biāo)例例1. 計(jì)算三重積分,dddzyxx12zyx所圍成的閉區(qū)域 .解解:zyxxddd)1(01021d

6、)21 (dxyyxxxyxz210d1032d)2(41xxxxyxz210)1(021xy10 x )1(021dxy10d xx481面及平面1xyz121O目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)高等教育出版社D103三重積分xyz例例2. 計(jì)算三重積分,ddd2zyxz. 1:222222czbyax其中解解: :zyxzddd2cczczbazd)1(222czc2222221:czbyaxDzzDdxdycczz d23154cbaabc用用“先二后一先二后一 ” zDzO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)高等教育出版社D103三重積分小結(jié)小結(jié): 直角坐標(biāo)下三重積分的計(jì)算方法直

7、角坐標(biāo)下三重積分的計(jì)算方法方法方法1. “先一后二先一后二”方法方法2. “先二后一先二后一”注：注：“三次積分三次積分”的計(jì)算：的計(jì)算：),(),(21d),(yxzyxzDzzyxfdxdydvzyxf),(zDbadxdyzyxfdz),( ),(),()()(2121d),(ddyxzyxzxyxybazzyxfyxdvzyxf),(dvzyxf),(目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)高等教育出版社D103三重積分xyz2. 利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分 ,),(3RzyxM設(shè),代替用極坐標(biāo)將yx),z（則就稱為點(diǎn)M 的柱面坐標(biāo).z200sinyzz cosx直

8、角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系:常數(shù)坐標(biāo)面分別為圓柱面常數(shù)半平面常數(shù)z平面z),(zyxM)0 ,(yxO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)高等教育出版社D103三重積分如圖所示, 在柱面坐標(biāo)系中體積元素為zvdddd因此dxdydzzyxf),(),(zF其中),sin,cos(),(zfzF適用范圍適用范圍:1) 積分域積分域表面用柱面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡(jiǎn)單方程簡(jiǎn)單 ;2) 被積函數(shù)被積函數(shù)用柱面坐標(biāo)表示時(shí)變量互相分離變量互相分離.zdddzzddddxyzddO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)高等教育出版社D103三重積分2axyzO其中 為例例3. 計(jì)算三重積分zyxyxzddd22xy

9、x2220),0(, 0yaazz所解解: 在柱面坐標(biāo)系下:cos202ddcos342032acos2020az 0及平面zvdddd20dazz0dzzddd2原式298a由柱面cos2圍成半圓柱體.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)高等教育出版社D103三重積分OOxyz例例4. 計(jì)算三重積分解解: 在柱面坐標(biāo)系下h:hz42dhh2022d)4(124)41ln()41(4hhhhz h2020h202d120d,122yxdxdydzzyx422)0( hhz所圍成 .與平面其中 由拋物面42zvdddd原式 =目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)高等教育出版社D103三重積分

10、3. 利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分 ,),(3RzyxM設(shè)),(z其柱面坐標(biāo)為就稱為點(diǎn)M 的球面坐標(biāo).直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系,zOMzr),(r則0200rcossinrx sinsinry cosrz 坐標(biāo)面分別為常數(shù)r球面常數(shù)半平面常數(shù)錐面, rOM 令),(rMsinrcosrz MxyzO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)高等教育出版社D103三重積分rddrdd如圖所示, 在球面坐標(biāo)系中體積元素為dddsind2rrv 因此有dxdydzzyxf),(),(rF其中)cos,sinsin,cossin(),(rrrfrF適用范圍適用范圍:1) 積分域積分域表

11、面用球面坐標(biāo)表示時(shí)方程簡(jiǎn)單方程簡(jiǎn)單;2) 被積函數(shù)被積函數(shù)用球面坐標(biāo)表示時(shí)變量互相分離變量互相分離.dddsin2rrxyzO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)高等教育出版社D103三重積分xyzO例例5. 計(jì)算三重積分,)(222dxdydzzyx22yxz為錐面2222Rzyx解解: 在球面坐標(biāo)系下:zyxzyxddd)(222所圍立體.40Rr 020其中 與球面dddsind2rrv Rrr04d)22(515R40dsin20d4Rr 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)高等教育出版社D103三重積分內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)zyxdddzddddddsin2rr積分區(qū)域多由坐標(biāo)面被積函

12、數(shù)形式簡(jiǎn)潔, 或坐標(biāo)系 體積元素 適用情況直角坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系變量可分離.圍成 ;目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)高等教育出版社D103三重積分2,zxz1. 將. )(),(Czyxf用三次積分表示,2,0 xx,42, 1yxyvzyxfId),(其中 由所提示提示:20 xxy21212 zxI2d),(xzzyxf xy2121d20d x思考與練習(xí)思考與練習(xí)六個(gè)平面圍成 ,:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)高等教育出版社D103三重積分2. 設(shè) 由錐面22yxz和球面4222zyx所圍成 , 計(jì)算.d)(2vzyxI提示提示:zOxy24利用對(duì)稱性vzyxd)(222vzxzyyxzyxId)222(222用球坐標(biāo) rr d420dsin