1、 Peking University1 Peking University2 集合是數(shù)學(xué)中最基本的概念。既然是最基本的概念，就不是很好定義，一般只是說明。要說明什么是集合，有多種描述方法：“所要討論的一類對象的整體”；“具有同一性質(zhì)單元的集體”等。當(dāng)我們討論某一類對象的時候，就把這一類對象的整體稱為集合。而集合中的對象就成為該集合中的元素。 Cantor是這樣描述集合的：所謂集合，是指我們無意中或思想中將一些確定的，彼此完全不同的客體的總和考慮為一個整體。這些客體叫做該集合的元素。 Peking University3 1.2 集合的概念和集合之間的關(guān)系 1.3 集合的運算 1.4 基本的集合

2、恒等式*1.5 集合列的極限 Peking University41.2 集合的概念和集合之間的關(guān)系集合的概念集合的表示集合間的關(guān)系冪集集族 Peking University5 Peking University6集合的表示集合的表示：集合用大寫字母，集合元素用小寫字母。如xA，yA。（1）列舉法 - 列出集合中的全體元素，元素之間用逗號分開，用花括號括起來。例：設(shè)A是由a,b,c,d為元素的集合，B是正偶數(shù)集合，則A=a,b,c,d, B=2,4,6,8,（2）描述法 - 通過說明集合中元素所具有的共同的性質(zhì)來定義一個集合。用謂詞P(x)表示x具有性質(zhì)P，x | P(x)表示具有性質(zhì)P的集

3、合。例：P(x):x是英文字母，Q(y):y是十進(jìn)制數(shù)字。則C=x|P(x)和D=y|Q(y)分別表示26個英文字母和10個十進(jìn)制數(shù)字集合。 Peking University7注意：1）集合中的元素各不相同2）集合中的元素不規(guī)定順序3）集合的兩種表示方法有時是可以相互轉(zhuǎn)化的例：B=x|x N且x為非0偶數(shù)，或x|x=2(k+1)且k N Peking University8幾個常用的集合及其記號：N(自然數(shù)集合): + *封閉,逆運算不封閉Z (整數(shù)集合): + 及其逆運算,*封閉, 但*的逆運算不封閉Q (有理數(shù)集合) : +,*,逆運算封閉，全序域，具有稠密性 空隙（不連通）R(實數(shù)集合

4、)C(復(fù)數(shù)集合) Peking University9集合之間的關(guān)系 子集、相等、真子集 空集、全集 冪集、n元集、有限集 集族 Peking University10定義1.11.1 給定集合和，如果B中每個元素都是A中的元素，則稱B為A的子集，記作或，讀作“包含于”或“包含”。 AB (x)(xAxB)設(shè)A=a,b,c, B=a,b,c,d, C=a,b，則A B, C A, C B 按子集的定義，對于任何集合按子集的定義，對于任何集合A A、B B、C C，(1)(1) A A A (A (自反性自反性) )(2)(2) ( (A A B)(BB)(B C)C)(A(A C) (C) (

5、傳遞性傳遞性) ) Peking University11“A是B的子集子集(subset)”，記作AB 是指：（1）A中的所有元素都是B的元素。或者（2）在A中找不到一個不屬于B的元素。或者（3）對xA，均有xB。“A不是不是B的子集”是指： A中至少有一個元素不屬于B。 （xA，但xB）記作A B。 Peking University12證明：AB (x)(xA xB)證明： AB (A B) (x)(xAxB) (x) (xA) (xB) (x) (xA xB) Peking University13定義1.2 1.2 兩個兩個和，若A包含B且B包含A，則稱A與與B相等相等，記作。集合與

6、不相等，記作。集合與不相等，記作記作。 A=B (x)(xAxB) (A B) (B A)例：設(shè)例：設(shè)A= 2, B=1，4, C=x|x2-5x+4=0, D= x| x為偶素數(shù)為偶素數(shù)則則 A=D , B=C Peking University14定義1.3 1.3 給定集合和，如果且，則稱為的真子集，記作。 AB (x)(xAxB)(x)(xBxA)設(shè)三個集合，C，從定義可以得到下面3個命題為真：(1)A A; (2)若AB，則 B A ; (3) 若A B 且 B C，則A C Peking University15 空集空集 定義1.4 不含任何元素的集合叫空集，記作。例如， x|P

7、(x)P(x)，P(x)是任意謂詞。 A=x|xRx210是空集，式中表示實數(shù)集合。 全集 定義1.5 在研究某一問題時，如果限定所討論的集合都是某一集合的子集，則稱該集合為全集，記作。即 x|P(x)P(x)。（P(x)是任意謂詞） 顯然，全集的概念相當(dāng)于論域，它是一個相對概念。例如，如果討論(a,b)上的實數(shù)，就取(a,b)為全集。也可以取a,b), (a,b,實數(shù)集R等為全集。 Peking University16n 定理1.1 空集是任意集合的子集。空集是任意集合的子集。證明：n 推論 空集是唯一的。空集是唯一的。證明：反證法反證法 Peking University17n 定理1.

8、1 空集是任意集合的子集。空集是任意集合的子集。證明：任給集合，是空集。則（x)(xxA) 永真，這是因為條件式的前件(x)永假，所以該條件式對一切皆為真。按子集的定義，A為真。 #n 推論 空集是唯一的。空集是唯一的。證明：證：假定證：假定1 1和和2 2為二空集。為二空集。 由定理由定理2 2，1 1 2 2，2 2 1 1。 再根據(jù)定理再根據(jù)定理1 1，1 12 2 。 # # Peking University18 定義1.6 集合的所有子集構(gòu)成的集合叫的冪集，記作P(A)。用描述法表示為：P(A)=x | x A。 性質(zhì)（1 1） x x P(A) P(A) 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) x x

9、 A A 。（2 2）設(shè)設(shè)A,BA,B是兩個集合是兩個集合, ,A A B B當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)P(P(A)A) P(B) P(B) 。 Peking University19例例, 設(shè)設(shè)a,b,c,a,b,c,則則0 0元子集：元子集： ；1 1元子集：元子集： a,b,c；2 2元子集：元子集： a,b,a,c,b,c3 3元子集：元子集： a,b,c P(A),a,b,c,a,b,a,c,b,c,a,b,c含有含有n個元素的集合為個元素的集合為n元集元集(n 1) Peking University20定理定理1.2 1.2 設(shè)設(shè)A A有個元素，則有個元素，則P(A)P(A)有有2 2n

10、n個元素。個元素。 !) 1).(2)(1(kknnnnCkn0().nnkkn knkxyC x ynkknnnknnnCCCCCN010.在在(x+y)n的展開式中的展開式中令令x=y=1得：得：另外，因另外，因 A，故，故P(A)中元素的個數(shù)可表示為：中元素的個數(shù)可表示為：證明：證明：A的所有由個元素組成的子集個數(shù)為從個元素的所有由個元素組成的子集個數(shù)為從個元素中取個元素的組合數(shù)中取個元素的組合數(shù)：NCnkknn 02# Peking University21 定義1.7 設(shè)A為一個集族，S為一個集合，若對于任意的S,存在唯一的 A與之對應(yīng)，而且A中的任何集合都對應(yīng)S中的某一個元素，則稱

11、A是以S為指標(biāo)集的集族集族，S稱為的指指標(biāo)集標(biāo)集。 為空集族空集族集族：集族：由集合構(gòu)成的集合定義： 設(shè)A是一個集合。若A的元素都是集合，則稱A為集合族集合族。若集合族A可表示為A=Sd|d D,則稱D為集合族A的指標(biāo)集指標(biāo)集。 Peking University22 例如例如1設(shè)設(shè)A A1 1=x|x=x|xN x為奇數(shù) ，A A2 2= x|x= x|xN x為偶數(shù) ，則，則AA1 1,A,A2 2 是以是以1,21,2為指標(biāo)集的集族為指標(biāo)集的集族2 P(A)2 P(A)是一個集合族，設(shè)是一個集合族，設(shè)A A1 1,A,A2 2,A,A3 3, . , . 是集合是集合的序列，且兩兩之間互

12、不相同，則集合的序列，且兩兩之間互不相同，則集合AA1 1,A,A2 2, , A A3 3, ., .是一個集合族，可表示為是一個集合族，可表示為AAi i|i |i Z Z，其中其中Z Z為自然數(shù)集合，是指標(biāo)集。為自然數(shù)集合，是指標(biāo)集。3 3 設(shè)設(shè)p p是一個素數(shù)，是一個素數(shù)，A Ak k=x|x=k(mod p), k = 0, =x|x=k(mod p), k = 0, 1, 1, , p-1, p-1,則則AA1 1,A,A2 2, ,A,Ap-1p-1 是以是以0, 1, 0, 1, 2,2,p-1 ,p-1 為指標(biāo)集的集族為指標(biāo)集的集族 Peking University23 多

13、重集合 設(shè)全集為E，E中元素可以不止一次在A中出現(xiàn)的集合A，稱為多重集合多重集合.若E中元素在A中出現(xiàn)k(k0)次，則稱在A中的重復(fù)度為k. 例： 設(shè)全集E=a,b,c,d,e，A=a,a,b,b,c為多重集合，其中a,b的重復(fù)度為2，c的重復(fù)度為1，而d,e的重復(fù)度均為0。集合可看作是各元素重復(fù)度均小于等于集合可看作是各元素重復(fù)度均小于等于1的多重集合。的多重集合。 Peking University241.3 集合的運算定義1.8 設(shè)、為兩個集合，稱由與的所設(shè)、為兩個集合，稱由與的所有元素組成的集合為與的有元素組成的集合為與的并集并集，記作，記作，稱，稱為為并運算符并運算符， AB 的描述

14、法表示為的描述法表示為ABxxAxB設(shè)：設(shè)：A=x|x N 5 x 10，B=x| x N x 10 x為素數(shù)為素數(shù), 則則 A B = 2,3,5,6,7,8,9,10 Peking University25集合的并運算可以推廣到有限個或可數(shù)個集合集合的并運算可以推廣到有限個或可數(shù)個集合1,.,iiA 1 12 21 12 2對對 于于 可可 數(shù)數(shù) 個個 集集 合合 A A , ,A A記記 A AA A為為 并并 集集101 |0100,10niAx xRxn n設(shè)設(shè)A A = = x x| |x xR Rn n- -1 1x xn n , ,n n= =1 1, ,2 2, ,. . .

15、 ., ,1 10 0, ,則則 Peking University26定義1.9 設(shè)、為兩個集合，稱由與的公設(shè)、為兩個集合，稱由與的公共元素組成的集合為與的共元素組成的集合為與的交集交集，記作，記作，稱，稱為為交運算符交運算符， AB的描述法表示為的描述法表示為ABxxAxB設(shè)：設(shè)：A=x|x N 5 x 10，B=x| x N x 10 x為素數(shù)為素數(shù), 則則 A B = 5,7集合的交運算可以推廣到有限個或可數(shù)個集合集合的交運算可以推廣到有限個或可數(shù)個集合10 |010,1niAx xRxn n設(shè)設(shè)A A = = x x| |x xR Rx xn n , ,n n= =1 1, ,2 2

16、, ,. . . ., ,則則 Peking University27定義1.10 設(shè)、為兩個集合，若設(shè)、為兩個集合，若=，則稱，則稱A,B是是不交不交的，設(shè)的，設(shè)A1 , A2，是可數(shù)個集合，若對于任意的是可數(shù)個集合，若對于任意的i j，均有均有iAj=, 則稱則稱A1 , A2，是不相交的是不相交的12,.A An n設(shè)設(shè)A A = = x x| |x xR Rn n- -1 1 x x n n , ,n n= =1 1, ,2 2, ,. . . ., ,則則是是互互不不相相交交的的 Peking University28定義1.11 設(shè)、為兩個集合，稱屬于而不屬于的全設(shè)、為兩個集合，稱

17、屬于而不屬于的全體元素組成的集合為體元素組成的集合為B對的對的相對補(bǔ)集相對補(bǔ)集，記作，記作，稱稱為為相對補(bǔ)運算符相對補(bǔ)運算符， AB 的描述法表示為的描述法表示為ABxxAx B定義1.13 設(shè)設(shè)E為全集，為全集，A E，稱，稱A對對E的相對補(bǔ)集為的相對補(bǔ)集為A的的絕絕對補(bǔ)集對補(bǔ)集，并將，并將EA簡記為簡記為 A，稱，稱 為為絕對補(bǔ)運算符絕對補(bǔ)運算符， A的描述表示為的描述表示為 A =xxEx A Peking University29定義1.12 設(shè)、為兩個集合，稱屬于而不屬于設(shè)、為兩個集合，稱屬于而不屬于,或或?qū)儆趯儆贐而不屬于而不屬于A的全體元素組成的集合為與的全體元素組成的集合為與B

18、的的對稱對稱差差，記作，記作 ，稱，稱 為對稱差運算符，為對稱差運算符，A B 的描述法的描述法表示為表示為A B x (xAx B) ( x A xB)A B =（AB）（BA）（）（A B） （A B ）設(shè)：設(shè)：A=x|x R 0 x 2，B=x| x R 1 x 3, 則則 A B = x| x R 0 x 1 = 0,1)B - A = x| x R 2 x 3 = 2, 3)A B = 0,1) 2,3)將將R作為全集，則作為全集，則A = (- , 0) 2, + ) Peking University30用文氏圖可將集合表示如下：用文氏圖可將集合表示如下：ABxxAxBABxxA

19、xBABxxAx BA B（AB）（BA） A =xxEx A文氏圖文氏圖：用矩形代表全集，用圓或其他閉合曲：用矩形代表全集，用圓或其他閉合曲線的內(nèi)部代表線的內(nèi)部代表E的子集，并將運算結(jié)果得到的的子集，并將運算結(jié)果得到的集合用陰影部分表示。集合用陰影部分表示。注意：文氏圖只是對某些集合之間的關(guān)系及運算結(jié)果給出一注意：文氏圖只是對某些集合之間的關(guān)系及運算結(jié)果給出一種種直觀而形象的示意性的表示直觀而形象的示意性的表示，而，而不能用來證明不能用來證明集合等式及集合等式及包含關(guān)系。包含關(guān)系。 Peking University31例2 設(shè)設(shè) a,b,c,d,Aa,b,c,d,Aa,c,Ba,c,Ba,

20、b,c,d,ca,b,c,d,c, 求求 A , B , C 。解解：例1 設(shè)A1,2,3，B1,4，C3。求AB, BA AB, BA ,AB , AB, CA, BC。解解: Peking University32例2 設(shè)設(shè) a,b,c,d,Aa,b,c,d,Aa,c,Ba,c,Ba,b,c,d,ca,b,c,d,c, 求求 A , B , C 。解解：A b,d， B ， C a,b,c,dE。例1 設(shè)A1,2,3，B1,4，C3。求AB, BA AB, BA ,AB , AB, CA, BC。解解:AB1,2,3,4BA AB1BA AB2,3 AB2,3,4 CA3, BC Peki

21、ng University33定義1.14 設(shè)設(shè)A A 為一個集族，稱由為一個集族，稱由A A中全體元素的元素組成中全體元素的元素組成的集合為的集合為A A的的廣義并集廣義并集，記作，記作A，稱，稱為為廣義并運算符廣義并運算符，讀作讀作“大并大并”， A 的描述法表示為的描述法表示為 A A xz(z A A xz)例：設(shè)A=a,b,c,d,d,e,f,則A=a,b,c,d,e,f定義1.15 設(shè)設(shè)A A 為非空的集族，稱由為非空的集族，稱由A A 中全體元素的公共元中全體元素的公共元素組成的集合為素組成的集合為A A 的的廣義交集廣義交集，記作，記作A，稱，稱為為廣義交廣義交運算符運算符，讀

22、作，讀作“大交大交”， A 的描述法表示為的描述法表示為 A A x z(zA A xz)例：設(shè)A=1,2,3, 1,a,b,1,6,7,則A=1 Peking University34廣義并、廣義交 舉例 Peking University35 第一類運算：絕對補(bǔ)，求冪集，廣義并，廣義交 按由右到左的順序進(jìn)行 第二類運算：并，交，相對補(bǔ)，對稱差 往往由括號決定，按左向右的順序進(jìn)行運算的優(yōu)先級 Peking University36有窮集合的計算有窮集合的計算包含排斥原理 設(shè)A1 ，A2 ， ， An為n個集合，則11112| .( 1)|.|nniiijijkiijij kinkAAAAAAAAAA 此定理稱為包含排斥原理，簡稱容斥定理 Peking University37 Peking University38容斥定理的應(yīng)用 例例1.1 在1到10000之間既不是某個整數(shù)的平方，也不是某個整數(shù)