1、【標題】關于遞推數列通項公式的求法研究 【作者】蔣 安 瓊 【關鍵詞】遞推公式通項公式方法 【指導老師】彭 祖 明 【專業】數學與應用數學 【正文】1引言遞推公式是認識數列的一種重要形式，是給出數列的基本方式之一。根據遞推關系式求出數列的通項公式既能考查學生對數列這部分知識是否掌握，也能考查學生的觀察能力，推理能力，判斷能力。因此，對學生遞推能力的考查一直是高考關注的重點。一些數學工作者對遞推數列通項公式的求法研究已取得了許多重要的進展，例如：方平，王學東,徐衛兵等對通項公式的研究已經取得了一定的成果。其中，方平老師主要研究了由遞推公式數列的通項公式的“遞推猜想證明”、“變換”、“累差積商”三

2、種方法1。王學東老師則是研究了遞推數列中常見的七種典型例題2。而徐衛兵老師主要研究了五種常見的求遞推數列通項公式的類型3。如：(1-1)(1-2)(1-3)(1-4)(都是常數，)(1-5)但是，缺少了對遞推數列常見類型的求法的研究。本文重點是研究遞推數列通項公式的主要算法以及每種算法應用的常見類型。并通過具體例子來鞏固各種算法。遞推數列通項公式的求解方法包括：“遞推猜想證明”、“變換”、“累差積商”1，“待定系數法”、“倒數法”“對數變換法”等。這些方法是解決中學數學的數列問題，處理數列的遞推公式時常用的方法。研究遞推數列通項公式的求法時，首先要將一般數列轉化為等差和等比兩種特殊數列，再選用

3、適當的方法求解。本文主要就近幾年的高考試卷中常見的求遞推數列通項公式的七種基本類型的求法進行了歸納，總結。具體的研究思路是：先介紹遞推數列通項公式的求法，然后指出該方法適用的類型，再舉例加強對方法的理解。2遞推數列所謂遞推公式是指:如果已知數列的第一項(或第幾項),且任一項與它的前一項或前幾項之間的關系可以用一個公式來表示,那么這個公式叫做數列的遞推公式.而如果數列的第n項與n之間可以用一個公式來表示，那么這個公式叫做這個數列的通項公式。如果一個數列可由遞推公式表示，我們稱該數列為遞推數列。遞推數列通項公式的七種基本類型有：(2-1)(2-2)(2-3)(2-4)(都是常數，)(2-5)(2-

4、6)已知遞推公式為與的關系式。3方法的應用3.1累加法3.1.1應用于型當數列的遞推公式可化為的形式時，而且是可求得的，那么可以用“累加法”求得通項公式。由上式可得：將等式的左右兩邊分別相加得到：+所以+(3-1)例 1已知數列滿足，求數列的通項公式。解：所以例 2已知數列滿足求數列的通項公式。分析此題較例1要復雜些，直接觀察不能發現其規律，要在等式兩邊除以。解：由兩邊同除以得令，則，即利用累加法，得此類型還有另外一種常見的類型（其中常數）解決這類問題，一般情況下先將此類數列變形得，再由等差數列的通項公式可求得。此類題目比較簡單，這里就不舉例說明了。3.1.2應用于（為常數）型把原遞推公式轉化

5、為(3-2)其中滿足，再應用累加的方法求解。例 3（2006年福建卷）已知數列滿足，求數列的通項公式。解：由可轉化為，即，所以解得或這里我們選用（當然大家也可以選用這里就不在重復計算。）則，所以是以首項為，公比為2的等比數列。所以，再應用累加法，令，代入上式得個等式累加，得+又因為所以。3.2累乘法累乘法主要應用應用于。當數列的遞推公式可化為的形式時，而且是可求得的，那么可以用“累乘法”求得通項公式。把原遞推公式轉化為，利用累乘法求解。原式可化為（3-3）即，迭乘得所以例4設是首項為1的正項數列，且），求（2000年全國高考題）解：由已知得由，知，即令，將這個式子相乘，得又例5已知，求數列的通

6、項公式。分析本題解題的關鍵是把原來的解遞推公式轉化為，若令，則問題進一步轉化為我們熟知的形式，進而應用累乘法求出數列的通項公式。解：因為所以所以（3-4）又因為，即，所以由（3-4）式可知，故，由累乘法得則則數列的通項公式為。3.3換元法應用于類型。把原遞推數列轉化為：（3-5）其中，再利用換元法轉化為等比數列求解例 6（2006年福建理）已知，數列滿足（1）求數列的通項公式；（2）若數列滿足證明是等差數列；（3）證明分析：用觀察法或特征方程構造等比數列求通項公式是解決此題的基礎。解：（1）是首項為2，公比為2的等比數列。（2）（3）略。例7（2007年全國卷二理科試卷）設數列的首項，。（1）

7、求的通項公式。（2）設，證明，其中為正整數。解：（1）由，整理得有，所以的首項，公比為的等比數列故的通項公式為。（2）略。3.4待定系數法通過引入一些尚待確定的系數轉化命題結構，經過變形與比較，把問題轉化成基本數列（等差或等比數列），通常轉化為等比數列。待定系數法常用于（3-6）例 8已知數列滿足，求.解：令，再變形為比較條件得即數列是以為首項，以2為公比的等比數列例 9設數列滿足，求通項公式。解：設，則所以即設這時，且由于是以3為首項，以為公比的等比數列，所以有由此得3.5遞推猜想證明根據數列的遞推公式可以寫出數列的前幾項，再由前幾項猜想出數列的一個通項公式，最后用數學歸納法證明。已知遞推公

8、式為與的關系式，可以運用此方法例 10在數列中，已知，且，求解：當時，由此，可猜測：證明：（1）（2）運用“遞推猜想證明”的方法，求數列的通項公式需要積累一些經驗，掌握某些有一定規律的數列的特征。并且在“猜想”時要注意運用比較觀察方法，進行類比、歸納推理，以及是否是等差數列、等比數列的判斷。在已知遞推公式為與的關系式的情況下還可以運用其它方法求解。方法一：利用 （3-7）消去轉化為只含有的遞推公式再求解。例 11（2005年江西理）已知數列的前項和滿足，求數列的通項公式。解：檢驗時也成立，所以評注：此題得到后等式兩邊同乘以得令轉化為也可求通項公式。方法二：利用（3-8）消去轉化為只含有的遞推公

9、式再求解。例 12已知，求解：因為，所以即兩邊同除以，則有所以是首項為，公差為2的等差數列。所以則當時，不合題意。所以3.6兩種方法的綜合使用3.6.1應用于(都是常數，)該類型比前一種要復雜一些。一般要先在原遞推公式兩邊同除以，得（3-9）引入輔助數列（其中），得（3-10）再應用前一種類型的方法求解。例 13：在數列中，求。解：由兩邊同時除以可得令，則有，上式兩邊同時加上得令則即為公比是，首項的等比數列，即從而故例 14（2003年全國高考題）設為常數，且。證明對任意的，有證明：將遞推式兩邊同除以，得，令，則有則又是首項為，公比為的等比數列。即遞推式的通項，是由齊次解和特解組成，其中奇次方

10、程的解可由特征方程求出，特解可由的形式按一定的規律類似給出。這里就不再詳細解答了。3.6.2應用于例 15已知數列滿足且，求數列的通項公式。解：（換元）由，可得（3-11）令，則有各式相乘可得取得（3-12）由（3-12）式得（3-13）將（2）式代入（3-13）式可得（3-14）令，則（3-14）式為累加得：4總結以上提到的“累加法”、“累乘法”、“換元法”、“待定系數法”、“遞推猜想證明”是解決中學數學的數列問題，在處理數列的遞推公式時常用的方法。其中的七種類型均是歷年高考試卷中最常見的類型，在解題時應注意每種方法都和數列的遞推關系式的結構和特點緊密聯系。對于有些題，要學會運用適當的數學變換將