1、胸中有了超越的目標，就會充滿激情，學習就會充滿動力，生活就會充滿活力！第 7 頁 / 共 10 頁1. 常見題型一、小題：1. 函數的圖象知識改變命運 學習成就未來知識改變命運，學習成就未來培英堂教育個性化課外輔導導數各種題型及解法總結基礎知識梳理二、大題：1. 求曲線 y = f (x) 在某點處的切線的方程；2. 求函數的解析式3. 討論函數的單調性，求單調區間；4. 求函數的極值點和極值；5. 求函數的最值或值域；6. 求參數的取值范圍7. 證明不等式；8. 函數應用問題2. 函數的性質(單調性、奇偶性、周期性、對稱性);3. 分段函數求函數值；4. 函數的定義域、值域（最值）；5. 函

2、數的零點；6. 抽象函數；2. 在解題中常用的有關結論（需要熟記）：(1)曲線 y = f (x) 在 x = x0 處的切線的斜率等于 f (x0 ) ，且切線方程為 y = f (x0 )(x - x0 ) + f (x0 ) 。(2)若可導函數 y = f (x) 在 x = x0 處取得極值，則 f (x0 ) = 0 。反之，不成立。(3)對于可導函數 f (x) ，不等式 f (x) 0（） 0 ）。(6) f (x) 在區間 i 上無極值等價于 f (x) 在區間在上是單調函數，進而得到 f (x) 0 或f (x) 0 在 i 上恒成立(7)若 x i ， f (x) 0 恒成

3、立，則 f (x)min 0 ; 若x i ， f (x) 0 恒成立，則 f (x)max 0 ，則 f (x)max 0 ；若$ x0 i ，使得 f (x0 ) 0 ，則 f (x)min g(x) 恒成立，則有 f (x) - g(x) 0 .min(10)若對 x1 i1 、 x2 i2 ， f (x1 ) g(x2 ) 恒成立，則 f (x)min g(x)max .若對 x1 i1 ， $ x2 i2 ，使得 f (x1 ) g(x2 ) ,則 f (x)min g(x)min .若對 x1 i1 ， $ x2 i2 ，使得 f (x1 ) g(x2 ) ，則 f (x)max

4、0) ln（x+1 x (x -1) ex 1 + x e-x 1- x ln x 1) ln x 0)x +12x222x21. 關于函數單調性的討論：大多數函數的導函數都可以轉化為一個二次函數，因此，討論函數單調性的問題，又往往轉化為二次函數在所給區間上的符號問題。要結合函數圖象， 考慮判別式、對稱軸、區間端點函數值的符號等因素。2. 已知函數（含參數）在某區間上單調，求參數的取值范圍，有三種方法：子區間法；分離參數法；構造函數法。3. 解題方法規律總結培英堂教育個性化課外輔導知識改變命運 學習成就未來知識改變命運，學習成就未來3. 注意分離參數法的運用：含參數的不等式恒成立問題，含參數的

5、不等式在某區間上有解， 含參數的方程在某區間上有實根（包括根的個數）等問題，都可以考慮用分離參數法， 前者是求函數的最值，后者是求函數的值域。4. 關于不等式的證明：通常是構造函數，考察函數的單調性和最值。有時要借助上一問的有關單調性或所求的最值的結論，對其中的參數或變量適當賦值就可得到所要證的不等式。對于含有正整數 n 的帶省略號的不定式的證明，先觀察通項，聯想基本不定式（上述結論中的 13，確定要證明的函數不定式（往往與所給的函數及上一問所得到的結論有關， 再對自變量 x 賦值，令 x 分別等于 1、2、.、n,把這些不定式累加，可得要證的不定式。）5. 關于方程的根的個數問題：一般是構造

6、函數，有兩種形式，一是參數含在函數式中，二是參數被分離，無論哪種形式，都需要研究函數在所給區間上的單調性、極值、最值以及區間端點的函數值，結合函數圖象， 確立所滿足的條件，再求參數或其取值范圍。一、基礎題型：函數的單調區間、極值、最值；不等式恒成立；1、此類問題提倡按以下三個步驟進行解決：第一步：令 f (x) = 0 得到兩個根；第二步：畫兩圖或列表；第三步：由圖表可知； 其中不等式恒成立問題的實質是函數的最值問題，2、常見處理方法有三種：第一種：分離變量求最值用分離變量時要特別注意是否需分類討論（0,=0,0）第二種：變更主元（即關于某字母的一次函數） （已知誰的范圍就把誰作為主元）；例

7、1：設函數 y = f (x) 在區間 d 上的導數為 f (x) ， f (x) 在區間 d 上的導數為 g(x) ，若在區間 d 上，g(x) 0 恒成立，則稱函數 y = f (x) 在區間 d 上為“凸函數”，已知實數 m 是常數，x4mx33x2f (x) =- 1262（1） 若 y = f (x) 在區間0, 3上為“凸函數”，求m 的取值范圍；（2） 若對滿足 m 2 的任何一個實數 m ，函數 f (x) 在區間(a, b)上都為“凸函數”，求b - a 的最大值.培英堂教育個性化課外輔導知識改變命運 學習成就未來知識改變命運，學習成就未來例 2：設函數 f (x) = -

8、1 x3 + 2ax 2 - 3a 2 x + b(0 a g(x) 恒成立 h(x) = f (x) - g(x) 0 恒成立；從而轉化為第一、二種題型例 3；已知函數 f (x) = x3 + ax2 圖象上一點 p(1, b) 處的切線斜率為 -3 ，g(x) = x3 + t - 6 x2 -(t +1)x + 3(t 0)2（）求 a, b 的值；（）當 x -1, 4 時，求 f (x) 的值域；（）當 x 1, 4 時，不等式 f (x) g(x) 恒成立，求實數 t 的取值范圍。二、題型一：已知函數在某個區間上的單調性求參數的范圍解法 1：轉化為 f (x) 0或f (x) 0

9、 在給定區間上恒成立， 回歸基礎題型解法 2：利用子區間（即子集思想）；首先求出函數的單調增或減區間，然后讓所給區間是求的增或減區間的子集；做題時一定要看清楚“在（m,n）上是減函數”與“函數的單調減區間是（a,b）”，要弄清楚兩培英堂教育個性化課外輔導句話的區別：前者是后者的子集知識改變命運 學習成就未來知識改變命運，學習成就未來例 4：已知 a r ，函數 f (x) = 112x3 + a + 1 x 2 + (4a + 1)x 2（）如果函數 g(x) = f (x) 是偶函數，求 f (x) 的極大值和極小值；（）如果函數 f (x) 是(-,+ ) 上的單調函數，求 a 的取值范圍

10、例 5、已知函數 f (x) = 1 x3 + 1 (2 - a)x2 + (1 - a)x(a 0).32（i）求 f (x) 的單調區間；（ii）若 f (x) 在0，1上單調遞增，求 a 的取值范圍。子集思想三、題型二：根的個數問題題 1 函數 f(x)與 g(x)（或與 x 軸）的交點=即方程根的個數問題解題步驟第一步：畫出兩個圖像即“穿線圖”（即解導數不等式）和“趨勢圖”即三次函數的大致趨勢“是先增后減再增”還是“先減后增再減”；第二步：由趨勢圖結合交點個數或根的個數寫不等式（組）；主要看極大值和極小值與 0 的關系；第三步：解不等式（組）即可；例 6、已知函數 f (x) = 1

11、x 3 - (k + 1) x 2 ， g(x) = 1 - kx ，且 f (x) 在區間(2,+) 上為增函數323（1） 求實數k 的取值范圍；（2） 若函數 f (x) 與 g(x) 的圖象有三個不同的交點，求實數k 的取值范圍培英堂教育個性化課外輔導知識改變命運 學習成就未來知識改變命運，學習成就未來根的個數知道，部分根可求或已知。例 7、已知函數 f (x) = ax3 + 1 x2 - 2x + c2（1） 若 x = -1 是 f (x) 的極值點且 f (x) 的圖像過原點，求 f (x) 的極值；（2） 若 g(x) = 1 bx2 - x + d ，在（1）的條件下，是否

12、存在實數b ，使得函數 g(x) 的圖像與函數 f (x) 的2圖像恒有含 x = -1 的三個不同交點？若存在，求出實數b 的取值范圍；否則說明理由。題 2：切線的條數問題=以切點 x0 為未知數的方程的根的個數例 7、已知函數 f (x) = ax3 + bx2 + cx 在點 x0 處取得極小值4，使其導數 f (x) 0 的 x 的取值范圍為(1,3) ，求：（1） f (x) 的解析式；（2）若過點 p(-1, m) 可作曲線 y =值范圍f (x) 的三條切線，求實數 m 的取培英堂教育個性化課外輔導知識改變命運 學習成就未來知識改變命運，學習成就未來題 3：已知 f (x) 在給

13、定區間上的極值點個數則有導函數=0 的根的個數解法：根分布或判別式法例 8、例 9、已知函數 f (x) = a x3 + 1 x 2 ， (a r, a 0) （1）求 f (x) 的單調區間；（2）令32g(x) 1 x4f（x）（xr）有且僅有 3 個極值點，求 a 的取值范圍4培英堂教育個性化課外輔導知識改變命運 學習成就未來知識改變命運，學習成就未來其它例題1、（最值問題與主元變更法的例子）.已知定義在 r 上的函數 f (x) = ax3 - 2ax2 + b（a 0）在區間-2,1上的最大值是 5，最小值是11.（）求函數 f (x) 的解析式；（）若t -1,1 時， f (x

14、）+ tx 0 恒成立，求實數 x 的取值范圍.解 ：（）q f (x) = ax3 -4 2ax2 + b, f (x) = 3ax2 - 4ax = ax(3x - 4)令 f (x) =0, 得 x = 0, x = -2,1123因為 a 0 ，所以可得下表：x-2, 0)0(0,1f (x)+0-f (x)極大因此 f (0) 必為最大值, f（0）=5 因此b = 5 ， 即 f (-2) = -16a + 5 = -11， a = 1 ，q f (-2) = -16a + 5, f (1) = -a + 5, f (1) f (-2) ，f (x）= x3 - 2x 2 + 5.

15、（） f (x) = 3x 2 - 4x ， f (x）+ tx 0 等價于3x 2 - 4x + tx 0 ，令 g(t) = xt + 3x 2 - 4x ，則問題就是g(t) 0 在t -1,1 上恒成立時，求實數 x 的取值范圍，g(-1) 03x 2 - 5x 0為此只需 g（1) 0 ，即 x 2 - x 0 ，解得0 x 1，所以所求實數 x 的取值范圍是0，1.2、（根分布與線性規劃例子）已知函數 f (x) = 2 x3 + ax2 + bx + c3()若函數 f (x) 在 x = 1時有極值且在函數圖象上的點(0, 1) 處的切線與直線3x + y = 0 平行,求f

16、(x) 的解析式；() 當 f (x) 在 x (0,1) 取得極大值且在 x (1,2) 取得極小值時, 設點 m (b - 2,域為 s, 經過原點的直線 l 將 s 分為面積比為 1:3 的兩部分, 求直線 l 的方程.解： (). 由 f (x) = 2x2 + 2ax + b , 函數 f (x) 在 x = 1時有極值 , 2a + b + 2 = 0a +1) 所在平面區 f (0) = 1c = 1又 f (x) 在(0, 1) 處的切線與直線3x + y = 0 平行, f (0) = b = -3故a = 12 f (x) = 2 x3 + 1 x2 - 3x + 1 32

17、. 7 分() 解法一: 由 f (x) = 2x2 + 2ax + b 及 f (x) 在 x (0,1) 取得極大值且在 x (1,2) 取得極小值, f (0) 0 f (1) 0即x + 2 0b 02a + b + 2 0x = b - 2令 m (x,y) ,則 y = a +1a = y -1 2 y + x + 2 0培英堂教育個性化課外輔導知識改變命運 學習成就未來知識改變命運，學習成就未來易得 a(-2,0) , b(-2,-1) ,c(2,- 2),d(0,-1) ,e(0,- 3) ,2sdabc = 2同時 de 為abc 的中位線,s= 1 s所求一條直線 l 的方

18、程為: x = 0ddec3 四邊形abed另一種情況設不垂直于 x 軸的直線 l 也將 s 分為面積比為 1:3 的兩部分, 設直線 l 方程為 y = kx ,它與ac,bc 分別交于 f、g,則 k 0 , s四邊形degf = 12= 1 即 16k 2 + 2k - 5 = 02k1 y = kx2由 2 y + x + 2 = 0得點 f 的橫坐標為: xf = - 2k +1 y = kx6由 4 y + x + 6 = 0得點 g 的橫坐標為: xg = - 4k +1 s= s- s= 1 3 6- 1 1四邊形degfdogedofd15224k +121解得: k =或2

19、k = -8(舍去)故這時直線方程為:1y =x2綜上,所求直線方程為: x = 0 或y =x2.12 分() 解法二:由 f (x) = 2x2 + 2ax + b 及 f (x) 在 x (0,1) 取得極大值且在 x (1,2) 取得極小值, f (0) 0 f (1) 0a = y -1b 0即 2a + b + 2 0x + 2 0 2 y + x + 2 032易得 a(-2,0) , b(-2,-1) ,c(2,- 2),d(0,-1) ,e(0,- ) ,sdabc = 2同時 de 為abc 的中位線,s= 1 s所求一條直線 l 的方程為: x = 0ddec另一種情況由

20、于直線 bo 方程為:3 四邊形abedy = 1 x , 設直線 bo 與 ac 交于 h ,2 y = 1 x1由 2得直線 l 與 ac 交點為: h (-1,- 2)2 y + x + 2 = 0 s= 2 ,s= 1 1 2 =1 , s= s- s=1 2 1-1 2 1 = 1dabcddec222dabhdabodaoh2 所求直線方程為: x = 0 或 y = 1 x22223、（根的個數問題）已知函數f (x) + ax3 + bx2 + (c + 3a + 2b)x + d (a + 0) 的圖象如圖所示。第 8 頁 / 共 10 頁（）求c、 d 的值；（）若函數f(

21、x) 的圖象在點(2, f (2) 處的切線方程為3x + y +11 + 0， 求函數 f ( x )的解析式；（）若x0 + 5, 方程f(x) + 8a 有三個不同的根，求實數 a 的取值范圍。解：由題知： f +(x) + 3ax2 + 2bx+c-3a-2b（）由圖可知函數 f ( x )的圖像過點( 0 , 3 )，且 f (1)= 0胸中有了超越的目標，就會充滿激情，學習就會充滿動力，生活就會充滿活力！胸中有了超越的目標，就會充滿激情，學習就會充滿動力，生活就會充滿活力！第 10 頁 / 共 10 頁培英堂教育個性化課外輔導得+d + 3知識改變命運 學習成就未來知識改變命運，學

22、習成就未來d =33a + 2b + c + 3a + 2b + 0+c = 0（）依題意f (2)= 3 且 f ( 2 ) = 512a + 4b - 3a - 2b = -38a + 4b - 6a - 4b + 3 = 5解得 a = 1 , b = 6所 以f ( x ) = x3 6x2 + 9x + 3（）依題意f ( x ) = ax3 + bx2 ( 3a + 2b )x + 3 ( a0 )f (x)= 3ax2 + 2bx 3a 2b由 f (5)= 0 b = 9a若方程 f ( x ) = 8a 有三個不同的根，當且僅當滿足 f ( 5 )8af ( 1 ) 1由 得

23、 25a + 38a7a + 3 1a311所以 當a3 時，方程 f ( x ) = 8a 有三個不同的根。12 分114、（根的個數問題）已知函數 f (x) = 1 x3 - ax2 - x + 1(a r)3（1）若函數 f (x) 在 x = x1 , x = x2 處取得極值，且 x1 - x2 = 2 ，求 a 的值及 f (x) 的單調區間；（2）若 a 0 得 x 1令 f (x) 0 得 -1 x 1 f (x) 的單調遞增區間為(-, -1) ， (1, +) ，單調遞減區間為(-1,1)5 分（2） 由 題 f (x) = g(x) 得 1 x3 - ax2 - x +

24、 1 = 1 x2 - (2a + 1)x + 5 即 1 x3 - (a + 1 )x2 + 2ax + 1 = 0 326326令j(x) = 1 x3 - (a + 1 )x2 + 2ax + 1 (-2 x 1)6 分326x-2(-2,1)1j(x)j(x)-8a - 92aj(x) = x2 - (2a + 1)x + 2a = (x - 2a)(x - 1) 1令j(x) = 0 得 x = 2a 或 x = 17 分q a 0 ， a 0 ，有一個交點；2當 2a -2 即 -1 a 0 ,當 -8a - 9 0 即 -1 a - 9 時,有一個交點；3969216當 -8a - 0，且a 0 即 - a 0 時，有兩個交點；2 1916當0 a 時， -8a -