1、 基于學情，精心建構，實現高效課堂 以“乘法分配律”建模教學為例【摘要】乘法分配律是乘法運算定律教學中的重點，也是學習簡便運算的難點。曾教學過乘法分配律的教師都有同感：該課容易上，但學生運用該定律進行簡便運算時，總是不盡人意，尤其是遇到變式后的題型，更是束手無策。有些教師認為這只是學生一種粗心的現象，于是在后期的學習中不斷地進行機械化的題組訓練。然而在題海戰術下，效果仍是甚微，于是有些教師又開始埋怨學生為什么會這么笨。學生粗心？學生笨？其實這只是一個假象，真相在于教師在教學中沒有引導學生成功建構乘法分配律的模型。如何有效地建模，提高課堂效率，這是我們每個教師都應思考的問題。現筆者透過錯例分析，

2、結合乘法分配律的教學經驗，淺談在數學教學中如何有效地建構數學模型，提高教學效率。【關鍵詞】模型、建構、乘法分配律一、透過錯例分析，了解教學現狀。筆者在對四、五年級錯例的整理和分析中，發現學生用乘法分配律進行簡便計算，無論是在新授課、練習課、單元測驗，還是在期末考試中的出錯率都較高。且四、五年級學生出現的錯例存在共性問題。例如：年級錯例原形出錯率四年級左：30% 右：42%五年級左：28% 右：50%這些經常練習的題型，為什么學生的出錯率這么高呢？尤其是右邊的錯例，看似受“湊整思想”所致，事實呢？解題不正確的學生，顯然是建模不成功。那能正確解題的學生是否就意味著建模成功呢？帶著這些疑惑，筆者決定

3、從教師和學生兩方面進行調查了解。（一）學生方面：首先筆者從四、五年級中共抽取了解題正確的學生40人進行了訪談。并設計了以下訪談問題：1 說說你對乘法分配律的認識。2 舉例說說什么是乘法分配律？3 你能用字母表示乘法分配律嗎？通過訪談，發現：僅10%的學生能用數學語言表述什么是乘法分配律。10%的學生能通過生活中的例子舉例說明乘法分配律，30%的學生舉出了類似“36123688=36（12+88）”的例子，認為該例子就是乘法分配律。20%的學生能用字母表示乘法分配律，其中四年級的學生占多數（因為四年級剛學完乘法分配律不久。）由此看來，大部分學生沒能真正理解乘法分配律，只是機械式地記住了乘法分配律

4、的表征。（二）教師方面：在交談中，發現一些教師在乘法分配律的教學中存在著三種情況：1沒有創設較好的生活情境幫助學生提煉乘法分配律在生活中的原型。2沒有充分地利用乘法的意義去分析該模型，著重點放在通過計算結果去證明乘法分配律的成立。3教師在教學中更多關注的是學生對定律的外在形式的記憶，過快地讓學生去歸納乘法分配律的公式。這三種情況都導致學生沒有充分經歷乘法分配律模型的構建過程，思維只停留在乘法分配律表征的認識上，機械化記住公式。因此，在解題過程中，學生只會解相同固定模式的題，而遇到同一知識的變式題型就變得無計可施，錯誤百出。 基于以上情況的分析，不難發現教師對模型思想缺乏理解，在教學中不夠重視數

5、學模型的建構，或是沒有精心設計建模過程，從而導致建模效果不理想。標準（2011年版）提出：“模型思想的建立是學生體會和理解數學與外世界聯系的基本途徑。”小學階段數學中的數學模型一般指能描述或反映特定問題或具體事物關系的數學結構。而“問題情境建立模型求解驗證的數學活動”則可充分體現模型思想的基本要求，有利于學生在活動的過程中理解、掌握有關知識與技能，積累數學活動經驗。在這些理論的指導下，筆者對乘法分配律的建模進行了研究，現以乘法分配律教學為例，淺談在教學中如何有效地構建數學模型。一、認真分析教材，把握知識本質。（一）理解乘法分配律的核心本質。乘法分配律的核心本質是乘法的意義，也就是對幾個相同加數

6、的合與分。例如：（ab）c=acbc，順著看是將（a+b）個c拆分成a個c和b個c，逆著看是將a個c和b個c合成（a+b）個c。因此，在教學中應引導學生從乘法的意義上去理解乘法分配律的模型結構。如果脫離了乘法的意義去理解，那學生就不能真正地理解乘法分配律的本質，在解題時只會“依葫蘆畫瓢”。（二）區分乘法分配律與其它運算定律的區別。乘法分配律和其它乘法運算定律的區別乘法分配律乘法交換律乘法結合律運算符號2種運算符號1種運算符號1種運算符號涉及四則混合運算乘法內部運算乘法內部運算（三）了解乘法分配律的延伸。乘法分配律較于乘法交換律和乘法結合律，它本身的知識延伸度較大。其主要存在多種變式，主要分兩個

7、方面：在“數”方面：從整數推廣到小數和分數。在“形”方面有：（ab）c=ac-bc （a+b+c）d=adbdcd ab+a aba。二、基于學情，精心建構模型。數學課程標準(實驗稿)指出：要讓學生親生經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程。就是教師要把數學教學和學生的生活實際相結合，從學生的生活實際和已有的知識出發，讓學生在熟悉的事物和具體情境中，通過數學活動理解數學知識的含義，主動建構數學知識。（一）借助生活原型，抽象出數學模型。數學學習要關注與學生生活相關的生活經驗。因為許多數學知識其實來源于生活原型，所以學生的生活經驗是一種寶貴的教學資源，可以利用它成為學生學習數學的一個切

8、入點。如在乘法分配律的教學中，我們可以借助學生熟悉的購物情境，有效幫引導學生從生活原型中抽象出數學模型。 【教學片斷】師：同學們，夏天到了，學校準備訂做夏裝校服。下面是兩款不同的校服，你們喜歡哪一款呢？課件出示：第一款：上衣35元，褲子25元。 第二款：上衣30元，褲子20元。（學生興致高漲地說出自己喜歡的款式）師：我們全班有48人，如果我們班都訂第一款校服，共需要多少錢？ 師：誰來說說你是怎樣列式的？ 生：（35+25）48 師：有沒有不同的列式？ 生：35482548師：說說這兩個式子分別表示什么意思？生：第一條式子表示先算一套校服的價錢，再算48套校服的總價。生：第二條式子表示先算出48

9、條 師：這兩個算式相等嗎？生：相等師：為什么？生：因為兩個算式的計算結果相等。師：那你會把這兩個算式寫成一條等式嗎？ 生：（35+25）48=35482548教學反饋：通過創設生活情境，讓學生在所熟悉的購物情境中解決生活中的問題，不但激發了學生的學習興趣，且學生能較好地用數學語言表述式子所表示的意思，讓學生經歷了從生活原型中抽象出乘法運算定律模型的過程。（二）借助學習經驗，理解數學模型。學生的認知基礎，是學習新知識的起點，它起著舊知向新知過渡的橋梁作用。教師在每次教學之前都應該充分地了解學生已有的認知基礎和學習經驗，理解新舊知識間的聯系，充分利用學生的學習經驗來服務于新知的教學，從而提高課堂教

10、學的有效性。在教學乘法分配律前，筆者分析了學生已經具有的與乘法分配律相關的學習經驗。人教版知識點舉例二年級上冊乘法的意義36=18 表示有6個數。三年級上冊長方形的周長 3厘米 5厘米3252 （5+3）2=6+10 =82 =16（厘米） =16（厘米）三年級下冊筆算乘法 根據以上學習經驗，可以運用乘法的意義來幫助學生從表及里地理解乘法分配律的內在意義。而后三種學習經驗可以在學生對乘法分配律有了初步認識后，用來加深對乘法分配律的理解。【教學片斷】師：同學們請觀察（35+25）48=35482548，等式的左邊先算出35+25=60，6048表示有多少個48？生：60個48師：那你能運用乘法的

11、意義來證明（35+25）48=35482548嗎？生：等式左邊有60個48，右邊35個48加上25個48，也是60個48，所以等式是成立的。師：如果我們要買c套第二款校服，一共要多少錢呢？生：（3020）c 生：30c20c師：這兩個算式相等嗎？怎樣可以證明它們是相等的呢？（在教師的引導下，學生能說出（3020）c表示50個c，而30c20c表示30個c加上20個c，也是50個c，所以兩個算式的結果是相同的。）教學反饋：在教師的引導下，學生能基于乘法的意義這一舊知的有效利用，學生從數字模型自然過渡地數字與字母相結合的模型，為抽象出字母公式作了一個很好的鋪墊。（三）通過觀察歸納，生成最終數學模型

12、。在建模的過程中,學生需要通過觀察、分析、抽象、概括、選擇、判斷等數學活動，完成模式抽象，生成最終數學模型。乘法分配律較為抽象，如果最終模型的生成僅靠一組等式來概括出數學模型，那會導致學生建模不深刻。因此，在乘法分配律的教學中，當學生已經經歷了解決問題得出一類具有相同結構的模式時，我們應充分利用這類式子，引導學生去進行類比觀察，歸納概括模型的結構特點，實現數學模型的最終生成。【教學片斷】師：仔細觀察這三組式子： （35+25）48=35482548 （30+20）48=30482048 （3020）c=30c20c說說這三組等式的左邊和右邊有什么相同和不同的地方？生：等式的左邊都是先求和，再算

13、積；右邊都是先求積再求和。生：左邊是用兩個數的和與一個數相乘，右邊是把括號里的兩個數分開，分別與這個數相乘再相加。師：同學們，你們觀察得真仔細，那你能照樣子寫出具有這些特點的式子嗎？師：誰來說說，你寫的式子是什么？不用計算，你能用乘法的意義去證明你所寫的式子的左右兩邊是相等的嗎？ 師：接下來，請同學們根據自己所寫的式子，同桌間互相說說為什么式子的兩邊相等。 師：同學們，存在這樣規律的式子還有很多，能寫完嗎？ 生：寫不完。 師：想一想，能否用字母式子來表示這一規律？試著寫一寫。 （學生用了不同的字母來表達乘法分配律。筆者選擇了（ab）c=acbc來進行板書。） 師 ：同學們，這就是我們今天所學的

14、乘法分配律。 師：誰能結合這條式子用文字說一說什么是乘法分配律？ 生：兩個數的和與一個數相乘變成把兩個數分別與這個數相乘，再相加。 出示課件：乘法分配律的概念：兩個數的和與一個數相乘，可以先把它們與這兩個數分別相乘，再相加。 師：觀察這條式子，從左邊往右邊看，我們知道了兩個數的和與一個數相乘，可以先把它們分別與這個數相乘，再相加。這就是乘法分配律。 如果從右邊往左邊看呢？ 生：兩個數分別與同一個數相乘再相加，可以先把這兩個數相加，再與這個數相乘。 師：說得真好，其實這是乘法分配律的逆向思維。 教學反饋：在教師的引導下，多數學生能較好地概括乘法分配律的結構特點，能結合這些特點寫出類似的式子，能根

15、據乘法的意義去證明式子的兩邊相等，能用字母表示這一規律，能用文字語言較為完整地表述乘法分配律。（四）分層設計練習，應用數學模型數學模型是數學基礎知識與數學應用之間的橋梁。而課堂練習則是實現數學模型這一價值的途徑之一。因此完成新授知識的教學后，應分層設計練習，讓數學模型得以應用和深化，讓學生充分體驗模型的價值。且可以通過課堂練習的完成情況了解學生對知識的掌握情況。1設計基礎練習，鞏固數學模型。運用乘法分配律填上合適的數。 （404）25=12（2537）= 125（808）=36126412=（）6855-685=（）把左右兩邊相等的算式用線連起來。4812+5212 3215+681532+6

16、815 2540+25425(40+4) (48+52)1214(45-5) 114+254(1125)4 1445-145 教學反饋：解第組題，正確率達約96%。解第組題時，約20%的學生將(1125)4和114+254連線，約30%的學生將32+6815 和3215+6815連線，在評講中，針對學生課堂生成的錯例，教師及時引導學生運用對比觀察的方法去分析錯因，進一步鞏固乘法分配律的模型。在后期的練習中這幾類錯例的出錯率有較大的降低。2設置變式練習，拓展數學模型（1）從“數”上變式 在學生掌握了乘法分配律的模型，可以適當地把整數拓展到小數。例如設置該題：在下面的方框里填上同一個數，再計算出結

17、果。 4456= 師：無論在方框里填什么數，只要是同樣的數，我都能很快地算出結果，你們知道其中的秘密嗎？ 師：如兩個方框里的都是0.5，你還能運用乘法分配律寫出右邊的式子嗎？ 教學反饋：該題能較好地調動學生思考欲望，約80%的學生能說出解題的秘密：運用了乘法分配律，且能寫出440.5+560.5=(44+56)0.5. （2）從“形”上變式 將（ab）c=acbc拓展為（a-b）c=ac-bc 【教學片斷（練習環節）】師：同學們，我現在來看看第一款校服一套要多少元？（60元）第二款校服一套要多少元？（50元）師：這兩款校服的質量都很好，那你們認為我們訂做哪一款校服更好？為什么？生：第二款。因為

18、第二款既便宜又好看。師：你真有經濟頭腦，學校也是這么想的，所心決定統一訂做第二款校服，這樣一來，我們全班訂做第二款校服比訂做第一款校服節省多少錢呢？引導學生得出： （6050）48 = 60485048 （ab）c=ac-bc將（ab）c=acbc拓展為（a+b+c）d=adbdcd課件出示第二款校服和運動鞋。 師：買6件上衣、6條褲子和6雙運動鞋，一共需要多少錢？引導學生得出：（302050）6=306206506 （a+b+c）d=adbdcd。教學反饋：大部分學生都能結合情境以及剛才的學習經驗推導出（ab）c=ac-bc和（a+b+c）d=adbdcd。將（ab）c=acbc拓展為ab+a=a(b+1)或aba=a(b-1)設置課后思考題：填一填：35935=（）？ 你能很快地算出兩道