1、第二章矩陣變換和計算 一、內容提要 本章以矩陣的各種分解變換為主要內容，介紹數值線性代數中的兩個基本問題：線性 方程組的求解和特征系統的計算，屬于算法中的直接法。基本思想為將計算復雜的一般矩陣 分解為較容易計算的三角形矩陣 要求掌握Gauss （列主元）消去法、矩陣的（帶列主元的） LU分解、平方根法、追趕法、條件數與誤差分析、QR分解、Shur分解、Jordan分解和奇 異值分解. （一）矩陣的三角分解及其應用 1.矩陣的三角分解及其應用 考慮一個n階線性方程組 Ax b的求解，當系數矩陣具有如下三種特殊形狀：對角矩 陣D，下三角矩陣L和上三角矩陣U，這時方程的求解將會變得簡單 a D d2

2、 5 L I11 un U u21 u22 un1 un2 I21 丨22 5 dn l n1 ln2 l nn unn 對于 Dx b, 可得解為 Xi bi /di,i 1,2, ,n. 對于 Lx b, 可得解為 x b1 / l11 , xi i 1 (bil 1 ik xk ) / l ii , i 2,3, ,n. k 1 n 對于Ux b, 可得解為 Xn bn /lnn,Xj (bi l ikxk ) / l ii ,i n 1, n 2,1 k i 1 雖然對角矩陣的計算最為簡單，但是過于特殊，任意非奇異矩陣并不都能對角化，因此 較為普適的方法是對矩陣進行三角分解 1）. G

3、auss消去法 只通過一系列的初等行變換將增廣矩陣（A|b）化成上三角矩陣（U |c），然后通過回代 求與Ax b冋解的上三角方程組 Ux c的解其中第k步消兀過程中，在第 k 1步得到 的矩陣A（k 的主對角元素akk 1稱為主元.從A（k 的第j行減去第k行的倍數ljk Jk 1) ajk a(k 1) akk （k j n ）稱為行乘數（子） 2）.矩陣A的LU分解 對于n階方陣A，如果存在n階單位下三角矩陣 L和n階上三角矩陣U，使得A LU ,則 稱其為矩陣 A的LU分解，也稱為Doolittle分解.Gauss消去法對應的矩陣形式即為LU分 解，其中L為所有行乘子組成的單位下三角矩

4、陣，U為Gauss消去法結束后得到的上三角矩 陣.原方程組Ax b分解為兩個三角形方程組Ly b Ux y 3) .矩陣LU分解的的存在和唯一性 如果n階矩陣A的各階順序主子式 Dk(k 1,2,n)均不為零，則必有單位下三角矩 陣L和上三角矩陣U，使得A LU ,而且L和U是唯一存在的. 4) . Gauss列主元消去法 矩陣每一列主對角元以下(含主對角元)的元素中，絕對值最大的數稱為列主元為避 免小主元作除數、或 0作分母，在消元過程中，每一步都按列選主元的Guass消去法稱為 Gauss列主元消去法.由于選取列主元使得每一個行乘子均為模不超過1的數，因此它避免 了出現大的行乘子而引起的有

5、效數字的損失 5) .帶列主元的LU分解 Gauss列主元消去法對應的矩陣形式即為帶列主元的LU分解,選主元的過程即為矩陣的行 置換因此，對任意n階矩陣A，均存在置換矩陣 P、單位下三角矩陣 L和上三角矩陣U , 使得PA LU .由于選列主元的方式不唯一，因此置換矩陣 P也是不唯一的.原方程組 Ly Pb Ax b兩邊同時乘以矩陣 P得到PAx Pb,再分解為兩個三角形方程組. Ux y 5).平方根法(對稱矩陣的Cholesky分解) 對任意n階對稱正定矩陣 A，均存在下三角矩陣 L使A LLt，稱其為 對稱正定矩陣 A的Cholesky分解.進一步地，如果規定 L的對角元為正數 ，則L是

6、唯一確定的.原方程 組Ax b分解為兩個三角形方程組 Ly b LTx y 利用矩陣乘法規則和 L的下三角結構可得 j 1 1 2j 1 Ijjajjl jk 1 ij1|1 i jk /Ijj， i=j +1, j+2, - n, j=1,2, k 1 k 1 計算次序為l1121, ,l A1，1 22，|32，n2，nn . 由于 1 jk 77, k=1,2, 因此在分解 過程中L的元素的數量級不會增長，故平方根法通常是數值穩定的，不必選主元. 6).求解三對角矩陣的追趕法 a2 q tb C2 對于三對角矩陣 A ，它的LU分解可以得到兩個只有兩條對 an 1bn 1Cn 1 角元素

7、非零的三角形矩陣 anbn l2 1 U2 Ll3 ,U 1 ln 1 di ( 1,2, ,n 1 其中U1 b1 li ai /u i 1, i 2,3, ,n ui 1 bil i ci 1 , i 2,3, ,n 計算次序是 U1 l2 U2 l 3 U3 Ly b 角形方程組 計算公式為 Ux y y1 b1 7 y bihyi 1,i 2,3, Xn yn / Un ,人 (CiXiJ/uJ 該計算公式稱為求解三對角形方程組的追趕法 追趕法求解，解存在唯一且數值穩定. d2 Un 1 dn 1 Un lnUn .原方程組 AX b分解為兩個三 ,n, n 1,n2,1. .當A嚴格

8、對角占優時，方程組 Ax b可用 7).矩陣的條件數 設A為非奇異矩陣，H J為矩陣的算子范數，稱cond(A) | A| A 為矩陣A的條件 數矩陣的條件數是線性方程組 Ax b,當A或b的元素發生微小變化，引起方程組解的 變化的定量描述，因此是刻畫矩陣和方程組性態的量 .條件數越大，矩陣和方程組越為病態 反之越小為良態.常用的矩陣條件數為 g條件數： cond (A) A A1 1-條件數： con d1(A) A1A11 , 2-條件數： con d2( A) A2A12 max(AHA) H min(A A) 矩陣的條件數具有如下的性質： (1) cond(A) 1; cond(A)

9、1 cond(A ); cond( A) cond(A), 0, R; 如果 U 為正交矩陣，則 cond2(U) 1, cond2(UA) cond2(AU ) cond2(A). 一般情況下，系數矩陣和右端項的擾動對解的影響為 定理2.5設Ax b，A為非奇異矩陣，b為非零向量且 A和b均有擾動若 A的擾 動SAE常小，使得|A 1|訓 1，則 cond(A) ( SA 叫 cond(A) ；( A b) 關于近似解的余量與它的相對誤差間的關系有 定理2.6設Ax b , A為非奇異矩陣，b為非零向量，則方程組近似解的事后估計 式為 1 b A cond(A) |b| x |x| 其中稱b

10、 Ax|為近似解x的余量，簡稱 余量。 8) 矩陣的QR分解 利用正交變換保條件數的性質，將滿秩矩陣化為主對角元都大于零的上三角矩陣，保持 矩陣條件數不變 設A是n階可逆實矩陣，則存在正交陣 Q和對角元都大于零的上三角陣R，使得 A QR,稱其為矩陣 A的QR分解，并且con d2(A) con d2(R). 2 為實現矩陣一般的 QR分解，我們引入Householder矩陣H ( 3) I 3 3 ,其中 3 3 3 Rn, 30 該矩陣具有如下性質： (1 ) 特征值為: (H( ) 1 T) 即, 1 1, 1, ,1; (2)H(3)H(3),即H陣為對稱陣; (3) H ( 3) H

11、 ( 3) I n，即H陣為正交陣； (4) 如果H ( 3)x y，則I y 2 |x 2 (不變長度，鏡面反射)； (5) 設 x (人*, ,Xn) Rn 且 x 0，取 3 x x 2e!，則 (6) H(3)x H (x x2q)x x2. 提示：Householder變換并不是直接變換n階矩陣A ,而是通過重復變換矩陣的下三角部分 的列向量得到上三角矩陣，因此，每次變換的 Householder矩陣 H ( 1), H ( 0), ,H (Wn-i)在逐漸降階,然后將它們分別 嵌入” n階單位矩陣得到相應的 n階正交陣Qi,Q2, ,Qn-i,最后得到正交陣 Q Qi,Q2,Qn-

12、1 .具體變換過程見例子 (二) 特殊矩陣的特征系統 特征系統即為矩陣的特征值和特征向量，本節主要介紹與其計算相關的Schur分解矩 陣變換的思想主要為兩點：一是三角矩陣的主對角元素即為其所有特征值，二是矩陣的特征 多項式和特征值在相似變換下是不變的因此，理論上獲得矩陣特征值的方法就是通過相似 變換將其變為一個三角矩陣. Schur 定理：設 A Cn n ， 則存在酉陣 U Cnn使得 A URU H，其中R Cn n為上三角矩陣. 由于實矩陣的特征值可能是復數，因此通常在復數域中考慮Schur分解.復數域中相應 的矩陣名稱及記號為： U的共軛轉置： uh UT, 它在實數域即為轉置矩陣.

13、U為酉陣：若U HU uuh I,它在實數域即為正交陣. a為正規矩陣 :右 ah a AAH .常見的Hermite陣(AH A )、實對稱矩陣 (At A )、斜Hermite陣(AH A )、實反對稱矩陣(A A八 酉陣 (AhA AAh I )和正交矩陣(At A AAt I )等均為正規矩陣. Schur分解的一些特殊情況如下 ： 上三角矩陣R為正規矩陣當且僅當 R為對角矩陣. n階方陣A為正規矩陣當且僅當存在酉陣U使得A UDU H , D為n階對角陣. n階方陣A為Hermite陣當且僅當存在酉陣 U使得A UDU H ,D為n階實對角陣. n階方陣A為酉陣當且僅當存在酉陣 U使

14、得a UDU H , D為n階對角陣，且對角元的 模均為1. (三) 矩陣的Jordan分解介紹 矩陣的每一個特征值有兩個重要的指標：代數重數和幾何重數.一個特征值作為矩陣 多項式的根個重數稱為代數重數；它對應的特征子空間的維數稱為幾何重數.它們分別刻畫 了特征值在矩陣特征系統中的代數和幾何的性質.一般有，代數重數幾何重數.當一個特 征值的代數重數幾何重數，稱它為半單的；而當代數重數 幾何重數時稱它為虧損的. n階方陣A可對角化當且僅當它的所有特征值都是半單的，此時稱A為單純矩陣；否 則，a不可對角化當且僅當它有虧損的特征值，此時稱a為虧損矩陣. 對于虧損矩陣 , 只能將其經過相似變換為一個三

15、角矩陣 , 即為其 Jordan 標準型 . Jordan 標準型是一個塊對角矩陣， 每一個塊稱為 Jordan 塊, 其對角元便為矩陣的特征值 所謂矩陣 A 的 Jordan 分解即為通過可逆變換矩陣 T 化為與之相似的 Jordan 標準型 J , 使得 1 A TJT 1 . 1. 關于 Jordan 標準型 J 對于特征值 i , 它的代數重復度就是 Jordan 標準型中以 i 為 特征值的 Jordan 塊階數的和，而其幾何重復度（即與 i 相對應的線性無關的特征向量的個 數）恰為以 i 為特征值的 Jordan 塊的個數 J 中以 i 為特征值、階數為 l 的 Jordan 塊的

16、個 數為 rl 1rl 1 2rl ,其中 rl rank（ iIA）l, r0 rank（ iI A）0 rank（I） n 2. 關于變換矩陣 T 可以通過 Jordan 鏈得到 將 T 按 J 的對角線上的 Jordan 塊相 應地分塊為TTi,T2,Tk ,其中T i為nxhi型矩陣記Ti,t；,則 At1it1 At 2it2 t1 tijCn, i 1, 2, , k, 1,2, ,ni At i ni itnii tnii 我們稱向量 t1i,t2i , ,tni i 為關于特征值 i 的長度為 ni 的 Jordan 鏈顯然該 Jordan 鏈的第 一個向量就是矩陣 A的關于特

17、征值i的特征向量，稱其為 鏈首而鏈中的第j個向量則可 由等價的方程 A i I n tij t ij 1, j 2,3, ,ni（2-45） 求出. 但是應當注意 : 1）Jordan 鏈的鏈首 t1i 不僅要求是一個特征向量，而且還要求利用（ 2-45）可以求出 Jordan鏈中的其它向量t；,t；（即不是任何一個特征向量都可作為Jordan鏈的鏈首）. 2）對應于某個特征值 i 的 Jordan 鏈雖然一定存在，但當與 i 相對應的線性無關的 特征向量的個數大于或等于 2 時，關于特征值 i 的特征向量中的任何一個有可能都不能作 為鏈首 . 因此我們必須從 i的特征子空間中選取適當的向量作

18、為Jordan鏈的鏈首. （四）矩陣的奇異值分解 .對非方陣情形 ,這些方法已經 對于方陣 ,利用其特征值和特征向量可以刻畫矩陣的結構 不適用而推廣的特征值-矩陣的奇異值分解理論能改善這種情況利用奇異值和奇異向量 不僅可以刻畫矩陣的本身結構，而且還可以進一步刻畫線代數方程組的解的結構，是構造性的 研究線代數問題的有利的工具 設A Cmn, Hermite半正定矩陣AH A的特征值為i 2n ,稱非負實 數i(A). (i 1,2, ,n)為矩陣A的奇異值. 奇異值分解：設A C” “，且其秩rank(A)=r,則存在m階、n階酉陣U、V使得 A U VH ,其中藝diag( 1, 2, r),

19、 i(i 1,2,r)為矩陣a的非零奇異 值.U與V的列向量U1,U2, , Um和V1,V2, ,Vn分別稱為矩陣 A的與奇異值i對應的左奇 異向量和右奇異向量. 利用矩陣的奇異值討論矩陣的性質： (1)矩陣A的非零奇異值的個數恰為矩陣A的秩. R(A)spanu1,U2, uj , N(A)spanvr1,Vr2,M，其中 ARmn , R(A) y Rm|Ax y, x Rn為由A的列向量生成的子空間，稱為A的值域或 像空間，即 R(A) spana1,a2, ,an 。 N(A) x Rn | Ax 0稱為 A 的零空間或 核，即 N(A) x Ax 0。 設 12r 0 ,則 |A

20、21 , I A F = 、12 如果A為Hermite矩陣，則A的奇異值即為 A的特征值的絕對值. n 如果A為n階方陣，則 det(A)i . i 1 秩為r的 mxn矩陣A可以表示為r個秩為 1 u1v1H 2U2V； rUrVH A Cn n為正規陣， 是A的特征值，x是相應于的特征向量，則 是Ah的特征 值，相應于的特征向量仍為x. (8) A Cn n為正規陣， 與y正交. 是A的特征值，x, y是相應的特征向量，如果 2.2典型例題分析 例1證明在對矩陣A (ai,j)n n進行Gauss消去法的過程中，主元ak；1(k 1,2, ,n) 均不為零的充要條件是A的各階順序主子式

21、Dk(k 1,2, ,n)均不為零. 證明 利用歸納法 , 當 k 1 時,D1a1,1 a1(,01 ) 結論顯然成立 . 假設結論直到 k 1成立, 則Gauss消去法可以進行到 k 1步，即存在k 1個Gauss變換L1, ,Lk 1, 使得 A (k 1) Lk 1 L1A 0 A(k 1) 1,2 A(k 1), A2,2 其中 A1(,k1 1)是對角元為 ai(,ii1)(i 1,2, ,k 1)的上三角陣，于是A(k 1的k階順序主子陣為 A1(,k1 1) 0 * (k 1) . 另一方面 , 將 A (Lk 1 ak,k k k Li) 1 A(k 1的兩端在第k行k列 處

22、分塊有 (Lk 1 L1) 1A(k 1) Ak(k 1) L2 其中Li為k階單位下三角陣.因此A的k階順序主子式 Dk det(L*1)det(Ak(k 1)det(Ak(k 1)a1(,01)ak(,kk1), 由歸納假設知，主元akkJ0當且僅當Dk 0,即結論對k成立.故由歸納法,a；10 (k 1,2, ,n)當且僅當 Dk 0(k 1,2, ,n). 例2證明：若A (aj,j)n n為可逆矩陣，則A可進行LU分解的充要條件是 A的各階順序 主子式 Dk(k 1,2, ,n ) 均不為零 . 證明 充分性 . 由例 1 結論知如果 Dk(k 1,2, ,n) 均不為零 , 則主元

23、 ak( ,kk 1 )0, 于是可 對A進行Gauss消去法，從而得到A的LU分解. 必要性若存在單位下三角陣L和上三角陣U使得A LU ,則 det(A) det(L)det(U) det(U ) a1(,01) an(,nn 1 ) , 由 A 可逆知 主 元 ak(k,k1)0( k 1,2, ,n ), 再由 例 1 可得 A 的各 階順序主子 式 Dk0(k 1,2, ,n). 例3證明，若可逆矩陣 A可進行LU分解，則分解必唯 證明 如果A存在兩個 LU分解,即A L1U1 L2U2,其中L1, L2皆為單位下三角陣, 1 1 Ui,U2皆為上三角陣由A可逆知Ui,U2也可逆,于

24、是有L2 Li U2U1 .不難驗證,單 位下三角陣的逆矩陣為單位下三角陣，而上三角陣的逆也為上三角陣進一步，單位下三角 陣的乘積仍是單位下三角陣，而上三角陣的乘積也為上三角陣 因此上式左端為一個單位下 三角陣，而右端為一個上三角陣顯然，等式成立當且僅當兩端皆為單位矩陣 L21Li U2U11 I ,故可得 L1L2,U1 U2,即分解唯一 1 1 2 1 1 例4 n階Hilbert矩陣為H n 2 3 丄 n 1 百，計算H 3的條件數 1 2n 1 2 3 9 36 30 解 H3 1 1 1 , H31 36 192 180 2 3 43 1 1 1 30 180 180 3 4 5

25、(1) 計算 H3 的條件數，容易 得到 H31 H3 1 1 1 11 H31 H31 IIH3IL 1.40832 , |H32 372115 ,于 是 cond(Hs)1 cond(H3) 408 , 748 , 78 cond(H 3)2 524.057 .同樣可計算 cond(H 6)2.9 10 , cond(H 7)9.85 10 . 當n越大，H n矩陣病態越嚴重. 1113 47 (2)考慮方程組H3x (,)T b,設H3和b有微小誤差(取3位有效數字)有 6 12 60 1.00 0.500 0.333 X1 X1 1.83 0.500 0.333 0.250 X2 X2

26、 1.08 0.333 0.250 0.200 X3 X3 0.783 簡 記 為 (H3 H 3)(x x) b b ，其 解 為 (x x) (1.089512538,0.487967062,1.491002798)T 而方程組 H 3x b 的精確解為 TTH3I3 x (1,1,1) 于是 x (0.0895, 0.5120,0.4910),0.18 100.02% , IIH 3II bx 0.182% , 51.2%.這就是說H3和b的相對誤差不超過 0.3%,而引起解 b|x| 的相對誤差超過50%. 例5 n階復Householder矩陣定義為 H ( 3) I 2 3 3H，

27、其中3 21證明H ( 3)為 Hermite矩陣，也是酉矩陣，并求它的特征值. 證明 H(3)H(I 23 3H )H I 2 3 3HH(3), Hh 2HH 2 e1 2 X H ( 3) H ( 3)H ( 3)H ( 3) (I 2 33 ) I 43 34( 33 ) I ,即 H( 3) H( 3) I 408 000 20 8 0 16 3-504-5 03- 5 為Hermite矩陣，也是酉矩陣. 由矩陣特征 值 的性質知， (H(3) 12( 3 3H ), 而 /H、. H . _ (3 3 )( 33), 0, ,0 1,0,0,因此H ( 3)的特征值為 1,1, ,

28、1. n 1個 n 1個 n 1個 例 6 已知 x (3,0,4),求 Householder 矩陣 H ,使得 Hx 3 5 解由 |x 25,取 3 x x 2e1 0 0 4 0 使得 Hx x 2e1(5,0,0)t. 例7設A為n階正規矩陣，證明若Ak 0 ,則A 0. 證明 根據Shur定理，正規矩陣A存在分解A UDU H ,其中U為n階酉陣，D為n階對 角矩陣 D k 1 由 Ak UDkU H U U H 0, 當且僅當 0 , i 1,2, ,n , 即 A 0. 2 0 0 0 1 2 1 1 的 Jordan 分解 0 0 2 2 0 0 0 2 例 8 求矩陣 A

29、2)4, 于是 A 的特征值為 解 det( I A) ( 2, 代數重數為 4, 故以2 為特征 值的 Jordan 塊階數之和為 4. 而 2 的幾何重數為 4 rank( I A) 2 , 故以 2為 C , i 1,2, ,n. 于是 特征值的 Jordan 塊的個數為 2. 注意到 r1 rank( I A) rank ( 2I A) 2, 22 r2 rank( I A)2 rank (2I A)2 1, 故以 2 為特征值的階數為 1的 Jor dan 塊的個數為 r2 r0 2r1 1 4 2 2 1. 因此 2 0 0 0 0 2 1 0 A的Jordan標準型為J 0 0

30、2 1. 0 0 0 2 面求矩陣 A 化 Jordan 標準型的變換矩陣 T . 首先求出 2所對應的線性無關的特征向 0 0 0 0 k1 1 0 1 1 k2 t1 k1x1 k2x2 , 由 (A I |t1) 2, 為使 (A I)y t1 有解 10 0 0 2 k11 0 0 0 0 0 量 為 x1 (1,0, 1,0)T x2 (0,1,0,0)T . 其次確 定長度為 3 的 Jordan 鏈 的鏈首 , 令 只需取 k1 0 即可. 再取 k2 2 , 此時 t1 (0,2,0,0)T 為鏈首 , 解得 y1 (0,1,2,0)T 0 0 0 0c2 1 0 1 1c1

31、y2 (1,0,1,0)T 令 t2 汕 C22，由(A I |t2) c ，為使 0 0 0 2 2c1 C2 0 0 0 0 0 (A I )z t2有解，只需取 C20即可 再取C11，此時 t2 (0,1,2,0)T， 解得鏈尾 t3 Z1(1,0,1,1)T 或者 t3 Z2(0,1,2,1)T. 于是可得 1 0 0 1 1 0 0 0 0 2 1 0 0 2 1 1 T 或者T 1 0 2 1 1 0 2 2 0 0 0 1 0 0 0 1 故有A的Jordan分解為A TJT 0,則A可逆,而且| A AI2 1 n 證明 由奇異 值 的 定義 det(A) 1 2 n 0,貝

32、 y A可逆 于是， AH A也可 逆 ，且 (AHA) (A 1)H A 1 (AAh )1 的 特征 例9證明若n階方陣A的奇異值滿足 1 1 2 det(A) det(AH A) max(AHA) 的特征值為 與(Ah A) 1 10 max(A H A 1)n1 設A,B Rm n，如果存在 m階和n階 的正交矩陣 1 1，注意 T1 B UAV UAV ，則稱A和B正交相抵.證明正交相抵的矩陣有相同的奇異值 證明由 B UAV T UAV 1 , BTB (UAV T )T UAV T VAT(U TU)AVT V(ATA)VT V(ATA)V 1，知 btb 與 At A相似，從而

33、它們由相同的特征值，故A和B有相同的奇異值 注：不難驗證，正交相抵具有自反性、對稱性和傳遞性因此正交相抵是等價關系它所形成 的等價類稱為正交相抵等價類此例說明，正交相抵等價類中的矩陣都有相同的奇異值 ，所以對此類中任一矩陣 A,所作的奇異值分解 A UDV T中的對角矩陣 D相同,并由它們的 奇異值組成即D是該矩陣類中的標準型矩陣 2.3習題 1. 填空題 (1) A 1 a 2 2 1 ,當a滿足條件 時， A可作LU分解. A 2 2 當a滿足條件 時， 2 5 a A可作LL分解，其中L是對角兀素 為正的下三角陣，則 L. 2 1 0 (3) A 1 21，則 cond?(A)=. 0

34、1 2 (4)設A Cnn,其Schur分解為A URU H，其中UCn n為酉矩陣，R Cn n為 上三角矩陣.特別地，當A為正規矩陣時，R為矩陣，A的特征值為 , A 的特征向量為 ;當A為Hermite矩陣時，R為矩陣；當A為斜Hermite矩 陣時，R為陣. 2. 利用Gauss消去法，Gauss列主元法解方程組 532 x2 2 3 5x3 3用Gauss列主元法求解方程組，并求出系數矩陣A的行列式det ( A )的值. 12x1 3x2 3x315 18x1 X1 3x2 X315 X2 3x36 1 2 1 2 25 3 2 4設A ,利用1題消兀過程求出L和U矩陣，并驗證 A

35、=LU 2 2 3 5 1323 123111126 A241,B221, C2515 46 73316 1546 6.利用Doolittle分解法，Cholesky法和三對角追趕法三種方法求解線性方程組: 4 1 X1 5 1 5 2 X2 8 2 8 X3 10 4 1 1 7設 A 3 3 2 求A的QR分解 0 4 3 &證明 (1) cond(A) 1 ； (2)cond(kA) cond(A)( k為非零常數). 9設A、B都是n階非奇異方陣，試證 cond(AB) cond(A) cond(B) 10證明上三角矩陣 R為正規陣的充分必要條件為R為對角矩陣. n 2 n n 2 1

36、1.證明Schur不等式：iaj ，其中i為A aj n n的特征值，并證明 i 1i 1 j 1 Schur不等式等號成立的充分必要條件是A為正規矩陣. 4 1 1 0 4 0 2 0 12.求矩陣A 的Jordan分解 0 0 2 0 0 0 6 1 13.證明定理2.15. 14. 證明正規矩陣的奇異值是其特征值的模，Hermite半正定矩陣的奇異值為其特征值. 、r4 4 15. 設M C ，特征值 2的代數重數為4,已知r12 , r20 ,其中 rlrank(M 2I )l，求 M 的 Jordan 標準型. 16. 設A的奇異值分解為 3 5 4 5 0 8 0 0 4 5 3

37、50 A 4 5 3 5 0 0 6 0 3 5 4 50 0 0 1 0 0 2 0 0 1 求 A 2 , cond2(A), A F . 17.設 A 求A的奇異值分解,并據此計算A 2, cond2(A). 2.4習題解答 1. (1)當 a 1時，A可作LU分解.注：矩陣A的各階順序主子式均不為零只是A可作 4 2 LU分解的一個充分條件.當a 3時，A,雖然A的行列式(2階順序主子式)為 2 1 4 2 零，但經第一步消元可得，這已是一個上三角矩陣，說明此時A也可作LU分解. 0 0 當a 2時，A正定，可作LLt分解，L cond2(A)32一2. 設A Cnn，其Schur分解

38、為A URU H，其中U Cn n為酉矩陣，R Cn n為上三 角矩陣特別地，當 A為正規矩陣時，R為 對角 矩陣,A的特征值為 R的對角元素 A的特征向量為 Hermite矩陣時， U的列向量：當A為Hermite 矩陣時， 陣 R為 實對角 矩陣； 當A為斜 R為 對角兀素為純虛數或零的對角 2解 (1) Gauss消兀法 1 2 1 2 4 1 2 1 2 4 1 2 1 2 4 2 5 3 2 7L1 0 1 1 2 1 1 L20 1 1 2 1 2 2 3 5 1 0 2 5 1 7 0 0 3 3 9 1 3 2 3 0 0 1 1 5 4 0 0 0 3 3 1 2 0 0 1

39、 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 x2 2 1 其中L1 J L2 5 所求解為 2 . 2 0 1 0 0 2 1 0 X3 1 0 0 1 0 1 0 1 X4 1 (2)帶列主兀的 Gauss消兀法 1 2 1 2 4 2 5 3 2 7 2 5 3 2 7 2 5 3 2 7 P1 1 2 1 2 4L1 0 丄 2 2 1 丄 2 2 2 3 5 1 2 2 3 5 1 0 3 6 3 6 1 3 2 3 0 1 3 2 3 0 0 丄 2 丄 2 4 1 0 0 0 1 0 0 0 X1 2 0 1 0 0 0 1 0 0 X2 1 0 1 1 0 1 L3 ,所求解為

40、 6 0 0 1 0 X3 2 0 1 6 0 1 0 0 1 1 X4 1 L2 0 3 6 3 6 0 1 2 1 T 1 1 2 0 1 2 1 2 4 7 2 25327 L2 0 3 6 3 0 0 1 2 1 T 0 0 1 -2 7 2 6l30 3 6 30 0 4 9ooo 36 13 22 33 0 10 0 廿出1000 其中 R 0 010 0 00 1 10 0 0 4100 10 10 4001 10 0 0 0 0 10 0 10 0 0 0 0 1 3. 解 12 3 3 15 18 3 1 15 18 3 1 15 R1 12 3 3 15 L 1 1 3 6

41、 1 1 3 6 18 3 1 15 0 1 7 5 0 7 53 31 6 78 6 18 3 1 15 R2 7 53 31 L 0 6 6 0 1 7 3 5 18 3 1 15 0 7 6 53 78 f,其中 0 0 102 莎 66 0 1 0 R 100 ,L1 0 0 1 0 0 X1 11 1 1 0 ,解為 X2 8 17 6 33 7 1 X3 77 1001 001,l20 0100 由 L2F2L1A u 18 3 1 0 7 6 箸,det(A) det(U )/det(L2R2L1Fj)102 0 0 102 2? 4.解：由第2題中Gauss消元過程可知 1 2

42、 1 2 1 0 1 1 21 U , L (L2L1) 2 1 l2l1a ,容易驗證A LU 0 0 3 3 2 2 1 0 0 0 3 1 1 0 1 5. 解A 2 4 1 第一次消元 005 不能繼續消兀 ,因此不能進行 LU分解. 4 6 7 025 1 1 1 1 1 1 1 1 1 B 2 2 1 L1 U1 0 0 1 L2 U200 1 , 其中 3 3 1 0 0 2 0 0 0 1 0 0 1 0 0 L1 2 1 0 ,1 L20 1 0 .經過第一 次消兀得到一個上三角矩陣 U1 L1B, 3 0 1 0 2 1 由于第2列主對角線以下的元素已經是0,還可以利用L2

43、把最后一行消去，也得到一個上三 角矩陣U? L2L1B 因此得到了矩陣B兩個不同的LU分解B L11U1 1 (L2L1) U2. 這說 明在某些情況下，即使矩陣的各階順序主子式不為0,也能進行 LU分解， 但分解不唯一 1 0 0 1 2 6 對于矩陣C,其各階順序主子式為1,1,1.可得唯一的LU分解C 2 1 0 1 3 . 6 3 1 1 6.解Doolittle分解 1 0 0 1 0 0 4 1 0 1 1 0 4 1 0 0 1 0 4 1 0 A 1 5 2 0 0 1 0罟 2 0 8 19 1 0 19 4 2 ,貝U A的 Dool ittle 分 0 2 8 0 2 8

44、 0 0 136 1 0 0 4 1 0 解 為 A LU 1 4 1 0 0 19 4 2 按 L Ux b 得 Ly b 由 0 8 19 1 0 0 136 79 Ux y 1 0 0 y1 5 y1 5 4 1 0 X1 5 X1 1 1 4 1 0 y2 8 解得 y2 27 4 , 再由 0 29 2 X2 27 解得 X2 1. 0 8 19 1 y3 10 y3 136 19 0 0 136 X3 136 帀 X3 1 ChoQ sky 分解 S 0 0 I11 l21 1 l31 4 1 0 2 0 0 由 llt 121 1 22 0 0 l22 l 32 1 5 2 解

45、得 L 丄 2 19 2 0 按 2 133 0 0 l 33 0 2 8 0 4 19 136 19 llt x b 得 Ly LTx b y ,由 1 T 0 19 2 4 19 2 1 2 0 x 5 2 X1 0 19 4 19 X2 27 2 19 解得 X2 0 0 136 .19 X3 136 , 19 X3 1 1. 1 (3)追趕法 yi y2 y3 5 * 5 2 8 解得 y2 2 19 再由 10 y3 136 _ 19 利用三對角矩陣的 LU分解公式可得與Doolittle分解一致的結果 7. a1 Q1 H( 1) 4 5 3 5 0 3 5 4 5 0 H( 1)

46、A a1 H( 2) 3 T 4 5 4 5 3 5 H( 2)A 1 0 Q20 H( 2) 1 0 0 5 1 2 0 3 5 4 5 ,則有 Q2 Q1 A 0 5 3 R,得到分解A QR 0 4 5 3 5 0 0 1 4 912 5 2525 31216 52525 其中Q qT q； 8證明：(1)根據矩陣范數的相容性和單位矩陣的算子范數為1的性質有 con d(A) IAA1 aA1 |l| 1. 當k 0 ,根據矩陣范數的齊次性和逆矩陣的性質有 cond(kA) |k|(kA) 1 k IIA k 1A1 |A|A cond(A). 9. 證 明 ： 由 矩 陣 范 數 的 相 容 性 con d(AB)AB (AB) 1 A B A B con d(A) con d(B). 10. 證明： 由定義， 上三角陣 R r1,1 0 0 斤,1 0 0 r1,1 r1,2 r1,n 斤,2 r2,2 0 r2,2 0 rn 1, n R,n rn 1,nrn,n 0 0 rn,n 分別比較等式兩端乘積矩陣的主對角元素即可得知 為對角矩陣. r1,2 r1,n r2,2 是正規 矩 陣當 且僅當 rn 1