1、可測函數列常見的幾種收斂 摘 要：本文介紹了可測函數列常見的幾種收斂：一致收斂、幾乎一致收斂、幾 乎處處收斂、依測度收斂等以及它們之間的關系. 關鍵字：可測函數列；一致收斂；幾乎一致收斂；幾乎處處收斂；依測度收斂 刖言 在數學分析中我們知道一致收斂是函數列很重要的性質，比如它能保證函數列的 極限過程和(R)積分過程可交換次序等可是一般而言函數列的一致收斂性是不方便 證明的，而且有些函數列在其收斂域內也不一定是一致收斂的，如文中所給的例2 函數f(x)在收斂域0,1內不一致收斂，但對于一個0當 0時在0,內一致收 斂，這不見說明了一致收斂的特殊性，也驗證了我們平時常說的“矛盾的同一性和矛 盾的斗

2、爭性是相聯系的、相輔相成的” 1可測函數列幾種收斂的定義 一致收斂3 設f (x), fi(x), f2(x)丄，fk(x)丄 是定義在點集E上的實值函數若對于0,存 在K N ,使得對于 k K, x E都有 fk(x) f (x) 則稱fk(x)在E上一致收斂到f (x).記作：fk u f (其中u表示一致uniform). 點點收斂 若函數列f (x), fi(x), f2(x)丄,fk(x),L在點集DE上每一點都收斂，則稱它在 D上點點收斂. 1 例1定義在E 0,1上的函數列fk(x)-，則fk(x)在E上點點收斂到函數 1 kx f(x) 0,0 x 0, 而且還能看出 fk(

3、x)在0,1上不一致收斂到 x 1. f(x)，但對于0,fk(x)在,1上 致收斂到f(x). 幾乎一致收斂3 設E是可測集，若 0, E E,使得m(E E ),在E上有fk u f則稱 fk(x)在E上幾乎一致收斂與f(x)，并記作fk a.u. f (其中.表示幾乎一致almost uni form). 例2定義在E 0,1上的函數 k fk (x) x 在0,1上收斂卻不一致收斂.但是只要從0,1的右端點去掉任一小的一段使之成為 0,10,0則fk(x)在此區間上就一致收斂，像這樣的收斂我們就可以 稱之為在E0,1上幾乎一致收斂與0. 幾乎處處收斂3 設f (x), fx), f2(

4、x),L , fk(x),L是定義在點集E Rn上的廣義實值函數.若存在 E中點集Z，有m(Z) 0,及對于每一個元素x E Z，有 lim fk(x)f (x) x 則稱 fk(x)在E上幾乎處處收斂與f(x)，并簡記為fkf,a.eE或fka.e f. 若上文的例1也可以稱之為在0,1上幾乎處處收斂與f(x). 依測度收斂 例3在0,1)上構造函數列 fk(x)如下：對于k N，存在唯一的自然數i和j， 使得k 2ij,其中0 j2i,令 fk(x)j j 1、(x), k 1,2,L ,x 0,1). 任意給定的x0 0,1),對于每一個自然數i，有且僅有一個j，使得X。4,斗).數 2

5、 2 列f(x)中有無窮多項為1,有無窮多項為0.由此可知，函數列 fk(x)在0,1)上 點點不收斂.因此僅考慮點收斂將得不到任何信息.然而仔細觀察數列fk(x0)雖然 有無窮多個1出現，但是在“頻率”意義下，0卻也大量出現.這一事實可以用點集 測度語言來刻畫只要k足夠大，對于01,點集 x 0,1)|fk(x) 0 x 0,1) fk(x)1 的測度非常小事實上 1 m(x 0,1)|fk(x) 0|)2?- 這樣對于任給的 0,總可以取到k。,也就是取到i。,使得當kk0時，有 m(x 0,1)| fk(x) 0)1 其中2i0這個不等式說明，對于充分大的h，出現0的“頻率”接近1 我們

6、將 把這樣一種現象稱為函數列 fk(x)在區間0,1)上依測度收斂到零函數，并將抽象出 以下定義： 設f(x), f1(x), f2(x),L , fk(x)丄 是可測集E上幾乎處處有限的可測函數若對于 任意給定的0,有 imm(E(fk f)0, 則稱 fk(x)在E上依測度收斂到函數f (x)，記為fkm f. 2可測函數列幾種收斂的關系 點點收斂與一致收斂的關系 由上述定義我們可以知道fk u f，必有fk (x)點點收斂于f (x).如例1. 反之則不一定成立，如例2.而且還可以得到若fk(x)是可測集E上的可測函數列， 則f(x)也是可測函數. 幾乎處處收斂與一致收斂的關系 由定義可

7、知有一致收斂必幾乎處處收斂(fk a.u. ffka.e. f) 反之則不 然,如例2.而且還可以得到若 fk(x)是可測集E上的可測函數列，則極限函數f (x) (R) 也是可測函數.應用：從數學分析我們知道一致收斂的函數列對于求極限運算和 積分運算、微分運算與(R積分運算等可以交換次序. 幾乎處處收斂與一致收斂的關系 葉果洛夫(E opoB)定理5:設m(E),仁是E上一列收斂于一個有限的函 數f的可測函數，則對于任意的 0 ,存在子集E E，使 fn在E上一致收斂, 且 m(E E ). 注 定理中“ m(E)”不可去掉如：例4定義在E (0,)的函數列 1, x (0,m fm(x)(

8、m 1,2,L). 0, x (m,) 則fm在(0, )上處處收斂于 1，但對于任何正數及任何可測集 E，當時 m(E E ) 時，fm在E上不一致收斂于1 這是因為，當時m(E E )時，E 不能全部含于(0,m中，必有xm E I (m,)，于是有fm(Xm) 0 . sup fm(x) 1 fm(Xm) 11 x E 所以fm(x)在E上不一致收斂與1,也即定理中“ m(E)”不可去掉4. 由定義我們知道一致收斂必是幾乎處處收斂的， 反之則不成立.但它們又有密切 的關系，即使上述定理告訴我們幾乎處處收斂“基本上”是一致收斂的 (在除去一個 測度為任意小集合的子集上) 應用由上述定理我們

9、還可以得到“魯津定理”： 設f (x)是E上有限的可測函數，則對于任意的0，存在閉子集F E， 使f(x)在F上是連續函數，且m(E F). 也就是說：在E上有限的可測函數“基本上”是連續的(在除去一個測度為任 意小集合的子集上)也即我們可以用連續函數來逼近有限的可測函數. 幾乎處處收斂與依測度收斂的關系 例5取E (0,1，將E等分，定義兩個函數: 1, f1(1)(x) 0, 1 (0,2 P, (1) 2 0, (x) 1, 1 (0,2 (2,1 然后將(0,1四等分、八等分等等. 般的，對于每個 n,作2n個函數: 1, (n). j (x) 0, x (jj 丄 22 j 1,2,

10、L ,2n. x (,丄 2 2 我們把 fj (x), j 1,2,L ,2n，先n按后按j的順序逐個的排成一列: fl(x), f2(x),L , fi(n)(x), f2(n)(x),L , f2n(n)(x),L (1) fj(n)(x)在這個序列中是第N 2n 2 j個函數可以證明這個函數列是依測度收斂 于零的這是因為對于任何的 E fj(n) 0 (n) 或是空集(當 1),或是( j 2 J,*(當0 1),所以 (n) m( E fj(n) 0 1) (當時1時, 左端為0). 由于當N 2n 2 j(j 1,2,L ,2n.)趨于 時n ，由此可見 Nim m(E fj (n

11、) 0 )0 , 也即 fj(n)(x) 但是函數列(1)在上的任何一點都不收斂.事實上，對于任何點X。(0,1,無論n多么 大，總存在j，使X。(丄J,*，因而fjX) 1,然而fj 1(n)(x0) 0或fjVX) 0 , 換言之，對于任何X。(0,1，在 fj(n)(x0)中必有兩子列，一個恒為1，另一個恒為0.所 以序列(1)在 (0,1上任何點都是發散的. 這也就說明依測度收斂的函數列不一定處處收斂，也就是說依測度收斂不能包含 幾乎處處收斂，但仍有： 黎斯(F. Riesz)5設在E上 fn測度收斂于f，則存在子列 fn在E上.收斂 于f . 例6如例4，當仁(對 1 (n )當X

12、E.但是當01時， E fm 1 (m,) 且m(m,) .這說明fn不依測度收斂于1. 這個例子又說明了幾乎處處收斂也不包含依測度收斂，但是有下述關系： 勒貝格(Lebesgue)設mE ， fn是E上.有限的可測函數列， fn在E 上.收斂于.有限的函數f，貝U fn(x) m f (X). 此定理中的“ mE”不可去掉，原因參看例 1.定理也說明在的在的條件 mE下，依測度收斂弱于幾乎處處收斂. 有以上定理黎斯又給出了一個用幾乎處處收斂來判斷依測度收斂的充要條件： 設mE ，fn是E上的可測函數列，那么fn依測度收斂于f的充要條件 是： fn的任何子列 fnk中必可找到一個幾乎處處收斂于

13、 f的子序列. 證明(必要性) 由于 fn依測度收斂于f，由定義知道這時 fn的的任何子 序列 fnk必也依測度收斂于f ,由黎斯定理可知 fnk中必存在幾乎處處收斂于f的 子序列. (充分性)如果fn不依測度收斂于f，即存在一個 0，使得 m(E| fn f ) 不趨于0 .因此必有子序列 fnk，使得 kim m(E( fnk f ) a 0. 這樣 fnk就不可能再有子序列幾乎處處收斂于f 了，否則由勒貝格定理知將有 fnk 依測度收斂于f，即 kim m(E( fnkf ) 0. 這與上式矛盾，所以 fn依測度收斂于f . 應用 依測度收斂在概率統計中有重要的意義，如例3;它也是證明中心極限定 理的重要依據，由中心極限定理我們可以知道用一個正態分布來模擬一個樣本容量較 大的樣本的概率分布，從而簡化了大樣本概率分布的處理和計算 . 結束語： 上述定義中的各種收斂的極限函數都是唯一的，而且從本文還可以知道一致收斂 是最強的收斂，它蘊含了點點收斂、幾乎處處收斂、依測度收斂等上述幾種收斂.各 種收斂都有不同的意義，在各種實踐中作用也各不同. 參考文獻： 1 馬克思主義基本原理概論教材編寫課題組馬克思主義基本原理概論M 高等教育出版社， 2009,7 2 華東師范大學數學系.數學分析(第三版)M.高等教育