1、返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄高等數(shù)學(xué)多媒體課件華南農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系牛頓牛頓Newton）萊布尼茲萊布尼茲Leibniz）返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄第七章第七章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用推廣推廣一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué) 多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué) 注意注意: 善于類比善于類比, 區(qū)別異同區(qū)別異同返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄主主 要要 內(nèi)內(nèi) 容容第一節(jié)第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 第二節(jié)第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)第三節(jié)第三節(jié) 全微分全微分 第四節(jié)第四節(jié) 多元復(fù)合函數(shù)的微分法多元復(fù)合函數(shù)的微分法 第五節(jié)第五節(jié) 隱函數(shù)的微分法隱函數(shù)的微分法 第六節(jié)

2、第六節(jié) 多元微分學(xué)在幾何上的應(yīng)用多元微分學(xué)在幾何上的應(yīng)用 第七節(jié)第七節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度 第八節(jié)第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法多元函數(shù)的極值及其求法 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄第一節(jié)第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念 第七章第七章 (Conception of functions of several variables)四、多元函數(shù)的連續(xù)性四、多元函數(shù)的連續(xù)性一、平面點(diǎn)集一、平面點(diǎn)集 n 維空間維空間二、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的概念三、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的極限五、小結(jié)與思考練習(xí)五、小結(jié)與思考練習(xí)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄1.平面點(diǎn)集平面點(diǎn)集 坐標(biāo)

3、平面上具有某種性質(zhì)P的點(diǎn)的集合，稱為平面點(diǎn)集，記作 E=(x , y)|(x , y)具有性質(zhì)P. 例如，平面上以原點(diǎn)為中心、r為半徑的圓內(nèi)所有點(diǎn)的集合是222( , )|Cx yxyr一、平面點(diǎn)集一、平面點(diǎn)集 n 維空間維空間返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄鄰域鄰域0P ),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄 )(0oPPU00 PP點(diǎn)集點(diǎn)集, ) ,(0PPU稱為點(diǎn)稱為點(diǎn) P0 的的 鄰鄰域域.例如例如, ,在平面上在平面上, , ),(),(0yxPU( (圓鄰域圓鄰域) )在空間中在空間中, , ),(),(0zyxPU

4、( (球鄰域球鄰域) )說(shuō)明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑說(shuō)明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑 , ,也可寫(xiě)成也可寫(xiě)成. )(0PU點(diǎn)點(diǎn) P0 的去心鄰域記為的去心鄰域記為0PP)()(2020yyxx)()()(202020zzyyxx返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄在討論實(shí)際問(wèn)題中也常使用方鄰域在討論實(shí)際問(wèn)題中也常使用方鄰域, ,平面上的方鄰域?yàn)槠矫嫔系姆洁徲驗(yàn)?(,)( , ) U Px y.0P因?yàn)榉洁徲蚺c圓因?yàn)榉洁徲蚺c圓鄰域可以互相包含鄰域可以互相包含. .0,xx0yy返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄(1) 內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)、聚點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)、聚點(diǎn)設(shè)有點(diǎn)集設(shè)有點(diǎn)集 E 及一點(diǎn)及一點(diǎn) P :

5、若存在點(diǎn)若存在點(diǎn) P 的某鄰域的某鄰域 U(P) E , 若存在點(diǎn)若存在點(diǎn) P 的某鄰域的某鄰域 U(P) E = , 若對(duì)點(diǎn)若對(duì)點(diǎn) P P 的任一鄰域的任一鄰域 U(P) U(P) 既含有既含有 E E的點(diǎn)也的點(diǎn)也含含E則稱則稱 P 為為 E 的內(nèi)點(diǎn)；的內(nèi)點(diǎn)；則稱則稱 P 為為 E 的外點(diǎn)的外點(diǎn) ;則稱則稱 P 為為 E 的邊界點(diǎn)的邊界點(diǎn) .有不是有不是E的點(diǎn)的點(diǎn) ,顯然顯然, E 的內(nèi)點(diǎn)必屬于的內(nèi)點(diǎn)必屬于 E , E 的外點(diǎn)必不屬于的外點(diǎn)必不屬于 E , E 的的邊界點(diǎn)可能屬于邊界點(diǎn)可能屬于 E, 也可能不屬于也可能不屬于 E . 2. 區(qū)域區(qū)域返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄若對(duì)任意給定

6、的若對(duì)任意給定的 ,點(diǎn)點(diǎn)P 的去心的去心) ,(PUE鄰域鄰域內(nèi)總有內(nèi)總有E 中的點(diǎn)中的點(diǎn) , 那么那么稱稱 P 是是 E 的聚點(diǎn)的聚點(diǎn).內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)；說(shuō)明：說(shuō)明：10| ),(22 yxyx例例(0,0)既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn) 點(diǎn)集點(diǎn)集E的聚點(diǎn)可以屬于的聚點(diǎn)可以屬于E，也可以不屬于，也可以不屬于E10| ),(22 yxyx例如例如,(0,0) 是聚點(diǎn)但不屬于集合是聚點(diǎn)但不屬于集合1| ),(22 yxyx例如例如,邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄開(kāi)集開(kāi)集: 如果點(diǎn)

7、集如果點(diǎn)集E的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱E為開(kāi)集為開(kāi)集.。為，因此的中每個(gè)點(diǎn)都是例如 21),( :112221EEyxyxE內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)開(kāi)集開(kāi)集閉集：如果點(diǎn)集閉集：如果點(diǎn)集E的余集的余集 為開(kāi)集，則稱為開(kāi)集，則稱E為閉集為閉集.;21| ),(,22yxyx是集合例如開(kāi)集開(kāi)集既非開(kāi)集，也非閉集既非開(kāi)集，也非閉集.21| ),(22yxyx集合22( , )|12;x yxy集是閉集合cE(2)開(kāi)集、閉集開(kāi)集、閉集返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄連通集：如果點(diǎn)集連通集：如果點(diǎn)集E內(nèi)的任何兩點(diǎn)，都可用折線連接內(nèi)的任何兩點(diǎn)，都可用折線連接起來(lái)，且該折線上的點(diǎn)都屬于起來(lái)，且該折線上的點(diǎn)都屬于E，

8、則稱，則稱E為連通集為連通集.例如：例如：.21 ),( 222集合是閉區(qū)域yxyx閉區(qū)域：開(kāi)區(qū)域連同它的邊界一起所構(gòu)成的點(diǎn)集稱為閉區(qū)域：開(kāi)區(qū)域連同它的邊界一起所構(gòu)成的點(diǎn)集稱為閉區(qū)域閉區(qū)域.區(qū)域區(qū)域(或開(kāi)區(qū)域或開(kāi)區(qū)域)：連通的開(kāi)集稱為區(qū)域或開(kāi)區(qū)域：連通的開(kāi)集稱為區(qū)域或開(kāi)區(qū)域.例如：例如：.21),( 222是區(qū)域集合yxyx（4區(qū)域區(qū)域返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄0),( yxyx41),(22yxyx0),( yxyx41),(22yxyx開(kāi)區(qū)域開(kāi)區(qū)域閉區(qū)域閉區(qū)域 xyo21xyoxyoxyo21例如，在平面上例如，在平面上返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄 整個(gè)平面整個(gè)平面 點(diǎn)集點(diǎn)集 1

9、),(xyx是開(kāi)集，是開(kāi)集， 是最大的開(kāi)域是最大的開(kāi)域 , 也是最大的閉域；也是最大的閉域；但非區(qū)域但非區(qū)域 .11oxy 對(duì)區(qū)域?qū)^(qū)域 D , 若存在正數(shù)若存在正數(shù) K , 使一切點(diǎn)使一切點(diǎn) P D 與某定點(diǎn)與某定點(diǎn) A 的距離的距離 AP K , 則稱則稱 D 為有界區(qū)域?yàn)橛薪鐓^(qū)域 , 無(wú)界域無(wú)界域 .否則稱為否則稱為有界集：對(duì)于平面點(diǎn)集有界集：對(duì)于平面點(diǎn)集E，如果存在某一正數(shù)，如果存在某一正數(shù)r，使，使得得 ，其中，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則稱是坐標(biāo)原點(diǎn)，則稱E為有界集為有界集.無(wú)界集：不是有界集的集合稱為無(wú)界集無(wú)界集：不是有界集的集合稱為無(wú)界集. ( , )EU O r返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下

10、頁(yè)目錄目錄n 元有序數(shù)組元有序數(shù)組),(21nxxx),(21nxxx的全體稱為的全體稱為 n 維空間維空間,Rnn 維空間中的每一個(gè)元素維空間中的每一個(gè)元素稱為空間中的稱為空間中的kx數(shù)稱為該點(diǎn)的第稱為該點(diǎn)的第 k 個(gè)坐標(biāo)個(gè)坐標(biāo) .記作記作即即RRRRnnkxxxxkn,2, 1,R),(21一個(gè)點(diǎn)一個(gè)點(diǎn), 當(dāng)所有坐標(biāo)當(dāng)所有坐標(biāo)時(shí)，0kx稱該元素為稱該元素為 nR中的零元中的零元,記作記作 O .3. n 維空間維空間返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄 設(shè)設(shè)x=(x1,x2,xn)，y=(y1,y2,yn)為為Rn中任意兩中任意兩個(gè)元素個(gè)元素 ，規(guī)定，規(guī)定R112212(,),(,).nnnx

11、yxy xyxyxxxx返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄的距離記作的距離記作2222211)()()(),(nnyxyxyxyx),(21nyyyy與點(diǎn)),(R21nnxxxx中的點(diǎn),),(yxyx或規(guī)定為規(guī)定為 n n維空間中鄰域、內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等維空間中鄰域、內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念也可定義概念也可定義 特殊地當(dāng)特殊地當(dāng) 時(shí)，便為數(shù)軸、平面、時(shí)，便為數(shù)軸、平面、空間兩點(diǎn)間的距離空間兩點(diǎn)間的距離3, 2, 1 n返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄二、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的概念 引例引例: : 圓柱體的體積圓柱體的體積 定量理想氣體的壓強(qiáng)定量理想氣體的壓強(qiáng) 三角形面積的海倫

12、公式三角形面積的海倫公式,2hrV,(為常數(shù)）RVTRp )2(cbapcba0, 0),(hrhr0, 0),(TTVTV ( , , )0,0,0,.a b cabcabc)()(cpbpappShr返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄,RnD DPPfu, )(或點(diǎn)集點(diǎn)集 D 稱為函數(shù)的定義域稱為函數(shù)的定義域 ; 數(shù)集數(shù)集DP,Pfuu)(稱為函數(shù)的值域稱為函數(shù)的值域 . .特別地特別地 , 當(dāng)當(dāng) n = 2 時(shí)時(shí), 有二元函數(shù)有二元函數(shù)2R),(),(Dyxyxfz當(dāng)當(dāng) n = 3 時(shí)時(shí), 有三元函數(shù)有三元函數(shù)3R),(),(Dzyxzyxfu映射映射R:Df稱為定義稱為定義在在 D 上的

13、上的 n 元函數(shù)元函數(shù) , 記作記作),(21nxxxfu定義定義1 設(shè)非空點(diǎn)集設(shè)非空點(diǎn)集返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄例例1. 1. 求求 的定義域的定義域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定義域?yàn)樗蠖x域?yàn)?, 42| ),(222yxyxyxD 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄二元函數(shù)的幾何意義：二元函數(shù)的幾何意義： 設(shè)二元函數(shù)設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y)z=f(x,y)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)閤oyxoy面上面上的某一區(qū)域的某一區(qū)域D D，對(duì)于，對(duì)于D D上的每一點(diǎn)上的每一點(diǎn)P(x,y)P(x,y)，在空，在空間可以作出一點(diǎn)間

14、可以作出一點(diǎn)M(x,y,f(x,y)M(x,y,f(x,y)與它對(duì)應(yīng)；當(dāng)與它對(duì)應(yīng)；當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)P(x,y)P(x,y)在在D D中變動(dòng)時(shí)，點(diǎn)中變動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M(x,y,f(x,y)M(x,y,f(x,y)就在就在空間作相應(yīng)地變動(dòng)，它的軌跡是一個(gè)曲面空間作相應(yīng)地變動(dòng)，它的軌跡是一個(gè)曲面. .返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄xzy221yxz定義域?yàn)槎x域?yàn)?),(22 yxyx圓域圓域說(shuō)明說(shuō)明: 二元函數(shù)二元函數(shù) z = f (x, y), (x, y) D圖形為中心在原點(diǎn)的上半球面圖形為中心在原點(diǎn)的上半球面., )sin(,yxz 又如的圖形一般為空間曲面的圖形一般為空間曲面 .12R),(yx三元函數(shù)

15、三元函數(shù) )arcsin(222zyxu定義域?yàn)槎x域?yàn)?),(222zyxzyx圖形為圖形為4R空間中的超曲面空間中的超曲面.單位閉球單位閉球xyzo例如例如, 二元函數(shù)二元函數(shù)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄三、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的極限定義定義2 設(shè)設(shè) n 元函數(shù)元函數(shù),R),(nDPPf點(diǎn)點(diǎn) , ) ,(0PUDP( ),f PA則稱則稱 A 為函數(shù)為函數(shù)(也稱為也稱為 n 重極限重極限)當(dāng)當(dāng) n =2 時(shí)時(shí), 記記20200)()(yyxxPP二元函數(shù)的極限可寫(xiě)作：二元函數(shù)的極限可寫(xiě)作：Ayxf),(lim0APfPP)(lim0P0 是是 D 的聚的聚若存在常數(shù)若存在常數(shù) A

16、 ,對(duì)一對(duì)一記作記作，時(shí)的極限當(dāng)0)(PPPf00( , )(,)lim( , )x yxyf x yA都有都有對(duì)任意正數(shù)對(duì)任意正數(shù) , 總存在正數(shù)總存在正數(shù) ,切切返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄 (1) 不研究不研究P0(x0 ,y0)處的狀態(tài)，僅研究點(diǎn)處的狀態(tài)，僅研究點(diǎn) 的過(guò)程中，函數(shù)的過(guò)程中，函數(shù)f(x,y)的變化趨勢(shì)的變化趨勢(shì).所以，所以，函數(shù)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)P0(x0 ,y0)的極限與函數(shù)在點(diǎn)的極限與函數(shù)在點(diǎn)P0(x0 ,y0)有無(wú)定義無(wú)關(guān)有無(wú)定義無(wú)關(guān).),(),(000yxPyxP(2)極限值極限值A(chǔ)應(yīng)是一個(gè)確定的常數(shù)，它與應(yīng)是一個(gè)確定的常數(shù)，它與P(x,y)趨近趨近

17、P0(x0,y0)的方式無(wú)關(guān)的方式無(wú)關(guān).也就是說(shuō)：也就是說(shuō)：P(x,y)以任何方式以任何方式趨于趨于P0(x0,y0)時(shí)，函數(shù)都無(wú)限接近于時(shí)，函數(shù)都無(wú)限接近于A.注意：注意：（3若當(dāng)點(diǎn)若當(dāng)點(diǎn)),(yxP趨于不同值或有的極限不存在，趨于不同值或有的極限不存在， 則可以斷定函數(shù)極限則可以斷定函數(shù)極限以不同方式趨于以不同方式趨于,),(000時(shí)yxP不存在不存在 .函數(shù)函數(shù)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄)0(1sin)(),(222222yxyxyxyxf求證：求證：( , )(0,0)lim( , )0.x yf x y證證:01sin)(2222yxyx故故( , )(0,0)lim( , )

18、0 x yf x y,0 0),( yxf,022時(shí)當(dāng)yx22yx 222yx ,取總有總有要證要證 （課本（課本 例例5）例例2 設(shè)設(shè)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄例例3 考察函數(shù)考察函數(shù)0 00 ),(222222yxyxyxxyyxf這也是一種特殊方式這也是一種特殊方式(2)當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P(x,y)沿沿y軸趨于點(diǎn)軸趨于點(diǎn)(0,0)時(shí)時(shí),00lim), 0(lim),(lim000 )0 , 0(),(yyxyxyfyxf解：解：(1)當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P(x,y)沿沿x軸趨于點(diǎn)軸趨于點(diǎn)(0,0)時(shí)時(shí),( , )(0,0)00 0lim( , )lim( ,0)lim00 x yxxyf x yf x

19、這是一種特殊的趨近方式這是一種特殊的趨近方式當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí) 的極限的極限.( , )(0,0)x y 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄(3)當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P(x,y)沿直線沿直線y=kx趨于點(diǎn)趨于點(diǎn)(0,0)時(shí)時(shí).1 limlim22222022 )0, 0(),(的不同，極限值也不同隨著kkkxkxkxyxxyxkxyyx.),(lim )0 , 0(),(不存在yxfyx返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄例例4 求求:的聚點(diǎn)為解：函數(shù)的定義域?yàn)镈PRyxyxD)2 , 0( ), 0| ),(0 xxyyx)sin(lim)2, 0(),（)sin( lim)2 , 0(),yxyxyyx（原式. 2

20、21lim)sin( lim20yxyxyyxy返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄例例5 5 求極求極限限 .)sin(lim222)0, 0(),(yxyxyx解解,)sin(lim22222)0, 0(),(yxyxyxyxyx其中其中uuusinlim0, 1 222yxyx y00,y . 0)sin(lim222)0, 0(),(yxyxyxyxu2 222)0, 0(),()sin(limyxyxyxyxyxyx22)0, 0(),()sin(lim返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄四、多元函數(shù)的連續(xù)性四、多元函數(shù)的連續(xù)性定義定義3 3 設(shè)二元函數(shù)設(shè)二元函數(shù) f(P)=f(x,y)f(

21、P)=f(x,y)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镈 D， 為為D D的聚點(diǎn)，且的聚點(diǎn)，且 . .假如假如則稱函數(shù)則稱函數(shù)f(x,y)f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)P0(x0 ,y0)P0(x0 ,y0)處連續(xù)處連續(xù). . 如果函數(shù)如果函數(shù)z=f(x,y)z=f(x,y)在定義域在定義域D D上每一點(diǎn)都連續(xù)，上每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱函數(shù)則稱函數(shù)z=f(x,y)z=f(x,y)在定義域在定義域D D上連續(xù)，或者稱上連續(xù)，或者稱f(x,y)f(x,y)是是D D上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù). .),(000yxPDP 0 以上關(guān)于二元函數(shù)的連續(xù)性概念，可相應(yīng)地推以上關(guān)于二元函數(shù)的連續(xù)性概念，可相應(yīng)地推廣到廣到n元函數(shù)元函數(shù)f(

22、P)上上.),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄 二元函數(shù)在點(diǎn)二元函數(shù)在點(diǎn)P0(x0 ,y0)P0(x0 ,y0)處的連續(xù)，要求有以下三個(gè)條處的連續(xù)，要求有以下三個(gè)條件成立，即：件成立，即：(1)函數(shù)函數(shù)z=f(x ,y)在點(diǎn)在點(diǎn)P0(x0 ,y0)有定義，且點(diǎn)有定義，且點(diǎn)P0(x0 ,y0)是函數(shù)是函數(shù)z=f(x ,y)定義域的聚點(diǎn)定義域的聚點(diǎn).(2)函數(shù)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)P0(x0 ,y0)有極限有極限.(3)函數(shù)函數(shù)z=f(x ,y) 在點(diǎn)在點(diǎn)P0(x0 ,y0)處的極限值等于該點(diǎn)處的極限值等于該點(diǎn) 函數(shù)值，即：函數(shù)值，即：)

23、,(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄定義定義4 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x,y)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镈， 是是D的聚的聚點(diǎn)點(diǎn).如果函數(shù)如果函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn) 不連續(xù)，則稱不連續(xù)，則稱 為函數(shù)為函數(shù)f(x,y)的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn). ),(000yxP),(000yxP),(000yxP，yxyxyxxyyxf0 00 ),( 222222例如函數(shù)例如函數(shù)其中定義域其中定義域 ，O(0,0)是是D的聚點(diǎn)的聚點(diǎn).f(x,y)當(dāng)當(dāng) 時(shí)的極限不存在，所以點(diǎn)時(shí)的極限不存在，所以點(diǎn)O(0,0)是該函是該函數(shù)的一個(gè)間斷點(diǎn)；數(shù)的一個(gè)間斷點(diǎn)；2RD 0),(yx返回

24、返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄 圓周圓周 上的點(diǎn)都是上的點(diǎn)都是D的聚點(diǎn)，的聚點(diǎn)，而而f(x,y)在在C上沒(méi)有定義，當(dāng)然上沒(méi)有定義，當(dāng)然f(x,y)在在C上各點(diǎn)都不連上各點(diǎn)都不連續(xù)，所以圓周續(xù)，所以圓周C上各點(diǎn)都是該函數(shù)的間斷點(diǎn)上各點(diǎn)都是該函數(shù)的間斷點(diǎn).1| ),(22yxyxC,11sin),(22yxyxf其定義域?yàn)槠涠x域?yàn)?1| ),(22yxyxD又如函數(shù)又如函數(shù)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄 一元函數(shù)中關(guān)于極限的運(yùn)算法則，對(duì)于多元函數(shù)仍然適用，根據(jù)多元函數(shù)的極限運(yùn)算法則，可以證明多元連續(xù)函數(shù)的和、差、積仍為連續(xù)函數(shù)；連續(xù)函數(shù)的商在分母不為零處仍連續(xù)；多元連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù)

25、.返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄 多元初等函數(shù)：由常數(shù)及具有不同變量的一元多元初等函數(shù)：由常數(shù)及具有不同變量的一元基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù)叫驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)多元初等函數(shù)一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄( , )(0,0)1 1lim.x yxyxy 解解: : 原式原式2( , )(0,0)(1)1lim(1

26、1)x yxyxyxy 21( , )(0,0)1lim1 1x yxy 例例6 6課本課本 例例9 9求求).()(lim)()()()(lim00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP 處處連連續(xù)續(xù)，于于是是點(diǎn)點(diǎn)在在的的定定義義域域的的內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)，則則是是數(shù)數(shù)，且且是是初初等等函函時(shí)時(shí)，如如果果一一般般地地，求求返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄,0) 1 ( K)()2(Pf, ,Mm;,)(DPKPf使在在 D 上可取得最大值上可取得最大值 M 及最小值及最小值 m ;(3) 對(duì)任意對(duì)任意，DQ;)(Qf使(有界性定理有界性定理) (最值定理最值定理) (介值定理介值定理) 閉域上多元

27、連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似的如下性質(zhì)閉域上多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似的如下性質(zhì):定理：假設(shè)定理：假設(shè) f (P) 在有界閉域在有界閉域 D 上連續(xù)上連續(xù), 那么那么返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 區(qū)域區(qū)域 鄰域鄰域 :, ) ,(0PU) ,(0PU 區(qū)域區(qū)域連通的開(kāi)集連通的開(kāi)集 空間nR2. 多元函數(shù)概念多元函數(shù)概念n 元函數(shù)元函數(shù)),(21nxxxf常用常用二元函數(shù)二元函數(shù) (圖形一般為空間曲面圖形一般為空間曲面)三元函數(shù)三元函數(shù)DP)(Pfu nR返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄APfPP)(lim0,0 ,0 時(shí)，當(dāng)00 PP有有)( APf4. 多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性1) 函數(shù)函數(shù)連續(xù)在0)(PPf)()(lim00PfPfPP2) 閉域上的多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉域上的多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)