三次函數的對稱性中心問題_第1頁
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1、三次函數再探討-對稱中心問題武漢市長虹中學 郭永清三次函數存在對稱中心嗎？我們先從幾個特殊的函數入手，三次函數（)是奇函數，其圖象關于對稱，三次函數()的圖象關于點對稱，那么對于一般的三次函數有沒有對稱中心呢？答案是肯定的，有對稱中心，其對稱中心是。在證明之前，先回憶一個結論：定理1：函數的圖像關于點對稱，則在證明：設是圖像上任意一點，則A關于點的對稱點也在函數圖像上，即, 又，所以定理2：三次函數的對稱中心是證明1：設是圖像上任意一點，只要能證明點也在函數圖像上。所以所以三次函數的對稱中心是證明2：因為的對稱中心是(0,0),所以的對稱中心為,即而的圖象關于對稱。證明3：設函數的對稱中心為（

2、m，n）。按向量將函數的圖象平移，則所得函數是奇函數，所以-2n=0化簡得：上式對恒成立，故得，。所以，函數的對稱中心是（）。定理3：若三次函數有極值，則它的對稱中心是兩個極值點的中點證明：不妨設為的導方程，判別式,設兩極值點為 所以此時的對稱中心是兩個極值點的中點，同時也是函數的拐點。定理4：是可導函數，若的圖像關于點對稱，則的圖像關于直線對稱證明：的圖像關于對稱，則由圖像關于直線對稱。三次函數的對稱中心是（）。所以其導函數的圖像關于直線對稱。定理5：過三次函數的對稱中心且與該三次曲線相切的直線有且只有一條證明：設三次函數，一直線與三次曲線切于點Q（），且直線過點（）。直線方程可寫為：又 化簡為：這說明切點就是對稱中心。經典例題欣賞：1. 求的對稱中心。2. 求的極值和對稱中心。3. （2004年重慶高考題）設函數, （1） 求導函數,并證明有兩個不同的極值點（2） 若不等式成立，求a的取值范圍。4. 已知（1） 求證（2） 若是R上的增函數，是否存在點P使的圖像關于

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