1、1第一講第一講多速率信號處理多速率信號處理與小波變換與小波變換南京郵電大學 鄭寶玉2015.8.204信息科學技術的發展改變了人們的生產、生活方式,真正實現了“天涯若比鄰”的理想.促進了社會信息化、網絡化和數字化.4通信技術通信技術經歷了從模擬到數字、從固定到移動、從“傳輸”到“認知”的發展過程,正繼續朝著智能化、寬帶化和個人化的方向發展.無論哪一“化”都依賴于計算機和信號處理技術的進步.4作為實現現代通信的主要手段和信息科學重要內容的經歷了從模擬到數字，從確知到隨機的發展過程，正闊步邁向以非線性、不確定性為主要特征的智能信號處理時代.4帶來通信革命的無線技術無線技術和引發醫學和產業革命的傳感

2、器技術傳感器技術是當前信息通信領域的兩大熱點技術,將其結合結合在一起的無線傳感器網絡,將可無縫地實現實現物理世界、計算世界和人類世界的連通連通.4將認知(Cognitive Radio)和協作(cooperative diversity)技術引入通信領域，為提高頻譜資源利用率，開辟了一條新的途徑.4將壓縮感知(compressive sensing)引入到信息領域，為滿足信息獲取中對采樣速率和處理速度等越來越高的要求，帶來了新的希望.通信和信號處理技術發展現狀, 瞻望其美好前景,是十分必要和有益的. 序序 言言3線性線性因果因果最小相位最小相位時不變時不變平穩隨機信號平穩隨機信號高斯隨機信號高

3、斯隨機信號整數維信號整數維信號非線性非線性非因果非因果非最小相位非最小相位時變時變非平穩非平穩隨機信號隨機信號非高斯非高斯隨機信號隨機信號分數維分數維( (分形分形) )信號信號更確切更確切地說，地說，ASP研究包含模糊信號在內的研究包含模糊信號在內的不確定性信號不確定性信號。4一個典型的多速率信號處理應用一個典型的多速率信號處理應用567v 多速率信號處理基礎多速率信號處理基礎v 多分辨率分析與小波變換多分辨率分析與小波變換8 9 10一種新的采樣方法一種新的采樣方法-壓縮感知壓縮感知其思想是其思想是：對：對稀疏信號稀疏信號以遠低于奈奎斯特頻率的速率進行全局以遠低于奈奎斯特頻率的速率進行全局

4、觀測觀測而而非局部采樣，然后用適當的非局部采樣，然后用適當的重建重建算法從觀測值中還原出原始信號。算法從觀測值中還原出原始信號。11多速率信號處理基礎多速率信號處理基礎v 多速率信號處理概述多速率信號處理概述v 多速率信號處理系統及其實現多速率信號處理系統及其實現取樣速率變換取樣速率變換（抽取與內插）（抽取與內插） 多速率系統的高效實現多速率系統的高效實現 12多速率信號處理概述多速率信號處理概述 多速率信號處理作為現代數字信號處理多速率信號處理作為現代數字信號處理(DSP)領域的一領域的一個重要分支，近幾年得到了極大的發展。促使其發展個重要分支，近幾年得到了極大的發展。促使其發展的根本原因是

5、的根本原因是DSP層出不窮的新的應用領域，如音頻、層出不窮的新的應用領域，如音頻、視頻信號處理及編碼，多載波數據傳輸等。視頻信號處理及編碼，多載波數據傳輸等。 多速率信號處理的一個顯著特點是極高的計算效率，多速率信號處理的一個顯著特點是極高的計算效率，這也是許多系統采用多速率信號處理技術的原因之一。這也是許多系統采用多速率信號處理技術的原因之一。13 多速率信號處理系統及其實現多速率信號處理系統及其實現取樣速率變換取樣速率變換（抽取與內插）（抽取與內插） 多速率系統的高效實現多速率系統的高效實現( (含多種采樣率的系統稱為多速率系統）含多種采樣率的系統稱為多速率系統） 1415 多速率信號處理

6、系統及其實現多速率信號處理系統及其實現取樣速率變換（抽取與內插）取樣速率變換（抽取與內插） 多速率系統的高效實現多速率系統的高效實現 16 高效實現帶通濾波器組高效實現帶通濾波器組 高效實現取樣速率變換高效實現取樣速率變換v 濾波器組的兩種應用形式濾波器組的兩種應用形式17 v 多相分解表示多相分解表示10)()(MiMiizHzzHIIII型多相分解型多相分解10)1()()(MiMiiMzGzzH其中其中1,.,1 , 0),()(1MizHzGiMiI I型多相分解型多相分解在多速率信號處理系統在多速率信號處理系統(MR-SPS)中中, 多相多相(polyphase)分解分解是一種非常有

7、用的工具。它不僅在是一種非常有用的工具。它不僅在MR-SPS理論分析中起理論分析中起著重要作用，而且是更有效實現著重要作用，而且是更有效實現MR-SPS的結構的結構。H(z)稱為稱為原型濾波器原型濾波器,Hi (zM)或或Gi (zM)稱為多相分支網絡稱為多相分支網絡(簡稱簡稱多相網絡多相網絡)或或子濾波器子濾波器(sb-filter)18z -(N-1)z -1x(nN)X(zN)y(n)Y(z)取樣速率升高取樣速率升高)(0NzH)(1NzH)(1NNzH19v 多相網絡特性多相網絡特性 當原型濾波器當原型濾波器H(z)為理想低通時為理想低通時 當原型濾波器當原型濾波器H(z)為非理想低通

8、時為非理想低通時 Hk(zM)為全通為全通，且且Hk/ H0的相位呈鋸齒形的線性變化的相位呈鋸齒形的線性變化只要只要H(z)H(z)的幅度特性足夠陡峭的幅度特性足夠陡峭( (過渡帶較窄過渡帶較窄) )，上述特性仍然近似成立。上述特性仍然近似成立。20 v 多相網絡設計多相網絡設計（續）（續） 1.1.當當H H( (z z) )為為FIRFIR濾波器時濾波器時21)2()()()(zMihzMihihzHi 即第即第k k個多相子濾波器的脈沖響應為個多相子濾波器的脈沖響應為1,.,1 , 0, )()(MiMnihnhi21 v 多相網絡設計多相網絡設計(續續)（續）（續） 2.2.當當H H

9、( (z z) )為為IIRIIR濾波器時濾波器時設設)()()(11kKkkKkpzzzAzH則利用恒等式則利用恒等式MkMMkMkMkpzpzpzpz1211則有則有MizbzazHKkkMkKKkkMikMMi,.,1 , 0,)(1)()(110或22 高效實現帶通濾波器組高效實現帶通濾波器組 高效實現取樣速率變換高效實現取樣速率變換v 濾波器組的兩種應用形式濾波器組的兩種應用形式23 帶通濾波器組帶通濾波器組 (1)考慮由原型低通濾波器考慮由原型低通濾波器H(z)頻移得到中心頻率為頻移得到中心頻率為 的帶通濾波器組的帶通濾波器組Bm(z)，即，即mMm21,.,1 , 0)()(/2

10、MmzHzBMmjzezm設有多相分解設有多相分解10)()(MiMiizHzzH則有則有MjMiMimiimewzHwzzB210, )()(24)()()(11111)()()(1) 1(110) 1() 1() 1(11102MMMMMMMMMzHzzHzzHWWWWzBzBzB矩陣形式：矩陣形式：結論結論：可由多相網絡與：可由多相網絡與DFT處理器的級聯來處理器的級聯來實現帶通濾波器組。實現帶通濾波器組。帶通濾波器組帶通濾波器組 (2)25)(nx)(0jeB)(1jeB)(1jMeBBand 0Band 1Band M-1)(0jeB)(1jeB)(1jMeB2M2MM) 1(2)(

11、nx)(0MzHBand 0Band 1Band M-1)(1MzH)(1MMzHDFT1z1z26 高效實現帶通濾波器組高效實現帶通濾波器組 高效實現取樣速率變換高效實現取樣速率變換v 濾波器組的兩種應用形式濾波器組的兩種應用形式27高效實現取樣速率變換高效實現取樣速率變換v取樣速率增加的多相網絡實現（如圖）取樣速率增加的多相網絡實現（如圖）v取樣速率下降的多相網絡實現（如圖）取樣速率下降的多相網絡實現（如圖） 參考文獻參考文獻: M.G.Bellager,etc, Digital filtering by polyphase network: Application to sample-r

12、ate alteration & filterbank, IEEE T-ASSP,24(2),197628z -(M-1)z -1x(nM)X(zM)y(n)Y(z)取樣速率升高取樣速率升高)(0MzH)(1MzH)(1MMzH29x(nM)X(zM)y(n)Y(z)取樣速率降低取樣速率降低+z -1z -(M-1)(0MzH)(1MzH)(1MMzH30 高效實現帶通濾波器組高效實現帶通濾波器組 高效實現取樣速率變換高效實現取樣速率變換v 濾波器組的兩種應用形式濾波器組的兩種應用形式 子帶編碼子帶編碼（SBC) SBC) 形式形式( (見圖見圖(a)(a) 復用轉換復用轉換（TMUXTMUX

13、) ) 形式形式( (見圖見圖(b)(b)31)(ny)(0zG)(1zG)(2zG)(1zGM MMMM)(0nu)(1nu)(2nu)(1nuM 處理單元)(0zH)(1zH)(2zH)(1zHM MMMM)(0nv)(1nv)(2nv)(1nvM +)(nx 分析濾波器組 綜合濾波器組(a) 子帶編碼器(SBC)形式)(0zG)(1zG)(2zG)(1zGM MMMM)(0nx)(1nx)(2nx)(1nxM )(0zH)(1zH)(2zH)(1zHM MMMM)(0nx)(1nx)(2nx)(1nxM 分析濾波器組綜合濾波器組(c)復用轉換器(TMUX)形式+ 信 道)(0zG)(1z

14、G)(2zG)(2zGM)(1zGM MzH/ )(0MzH/ )(1MzH/ )(2MzHM/ )(2MzHM/ )(1)2/( Mfs)2/(2Mfs)2/(3Mfs)2/()2(MfMs)2/() 1(MfMs)2/(sf1(b)各分析與綜合濾波器的幅頻響應32濾波器組的應用形式濾波器組的應用形式v 子帶編碼子帶編碼 (Subband coding)v 子帶自適應濾波子帶自適應濾波 (Subband adaptive filtering) 33應用實例應用實例34濾波器組的應用形式濾波器組的應用形式v問題描述問題描述 考慮數字電話網絡中的頻分復用考慮數字電話網絡中的頻分復用(FDM)，即

15、，即 M個不同信源信號經由內插器和綜合濾波器個不同信源信號經由內插器和綜合濾波器復用成發射信號復用成發射信號 接收信號通過分析濾波器和抽取器分解分解接收信號通過分析濾波器和抽取器分解分解為為M個信源信號個信源信號35v 解決問題的高效方法解決問題的高效方法考慮圖考慮圖(c)(c)中發送部分，即考慮中發送部分，即考慮M個取樣頻率為個取樣頻率為F Fs s的信號的信號 經經M個取樣頻率為個取樣頻率為MFs s的帶通濾波器組的帶通濾波器組 濾波后其輸出為濾波后其輸出為 , ,即即1,.,1 , 0),(MmzXMm)(zBm1,.,1 , 0),(MmzYm1,.,1 , 0)()()(MmzBzX

16、zYmMmm再將再將M個輸出個輸出 相加得相加得Y(z)，Y(z)就是頻分復用后的就是頻分復用后的數字信號數字信號，當濾波器組用多相網絡實現時，有當濾波器組用多相網絡實現時，有 )(zYmmiMmMmMiMiiMommwzXzHzzYzY10101)()()()(36)(0zG)(1zG)(2zG)(1zGMMMMM)(0nx)(1nx)(2nx)(1nxM)(0zB)(1zB)(2zB)(1zBMMMMM)(0nx)(1nx)(2nx)(1nxM分析濾波器組綜合濾波器組(C)復用轉換器復用轉換器(TMUX)(TMUX)形式形式+ 信 道37)(0zB)(1zB)(2zB)(1zBM MMMM

17、)(MTny)(1nTx)(2nTx)(1nTxM 綜合濾波器組(c-1a)復用轉換器復用轉換器(TMUX)(TMUX)的發送部分的發送部分+)(0nTx)(zy)(0Mzx)(1Mzx)(2Mzx)(1MMzx38y(z) DFT取樣速率升高取樣速率升高z -(M-1)z -1)(1MMzH)(1MzH)(0MzHTFs/1sMF)(0Mzx)(1Mzx)(1MMzx注：這個圖就是注：這個圖就是p.28圖圖(c)左半部的多相網絡實現形式，左半部的多相網絡實現形式， 其轉置即為其轉置即為p.28圖圖(c)右半部的多相網絡實現形式。右半部的多相網絡實現形式。(c-1b)復用轉換器復用轉換器(TM

18、UX)(TMUX)發送部分的高效實現形式發送部分的高效實現形式41v TMUX TMUX的實現的實現 一般實現形式：一般實現形式：GDFT/GDHT/DCT(DST)+PPN 一種典型實現一種典型實現: : 2個個PCM一次群與一個一次群與一個FDM超超 群的復用轉換。群的復用轉換。 42 多速率系統與濾波器組多速率系統與濾波器組取樣速率變換（抽取與內插）取樣速率變換（抽取與內插） 多相分解與濾波器組（多相分解與濾波器組（M2時時）互補互補IIR濾波器濾波器（M2時時） 43v 橢圓濾波器設計原理橢圓濾波器設計原理實現實現應用應用44橢圓濾波器設計原理橢圓濾波器設計原理) 1 (111)()(

19、1222222121MiiiLLsssksHsH2/11 . 01 . 011 . 021)110/() 110(110minmaxmaxrppAAAk其中其中 M=(N-1)/2, N 為濾波器階數，為濾波器階數， 為預畸后的通帶為預畸后的通帶零衰減模擬頻率點零衰減模擬頻率點, 即即 , 且且)/tg()2/tg(siiiFFcci其中其中 分別為通帶最大波動和阻帶最小衰減。分別為通帶最大波動和阻帶最小衰減。minmax,rpAA45橢圓濾波器設計原理橢圓濾波器設計原理)2(,.,1,)12cos() 1(21)12sin() 1(210)1(4/12MiiNmqiNmqqmmmmmmmir

20、pkkkkkqqqqqq/,1,1121.1501522013090500式中)lg(/ )lg(21qkN 分別為分別為“預畸預畸”后低通濾波器的通帶邊緣頻率和阻帶邊緣后低通濾波器的通帶邊緣頻率和阻帶邊緣頻率，頻率，2crprp、46v 橢圓濾波器設計原理橢圓濾波器設計原理實現實現應用應用47實現實現 一般奇階互補濾波器的數字實現一般奇階互補濾波器的數字實現 奇階奇階鏡象互補濾波器的數字實現鏡象互補濾波器的數字實現48v 設計原理設計原理 互補關系式互補關系式：當N為奇數，且滿足以下關系式1) 110)(110(1 . 01 . 0rpAA1121k或則模擬橢圓低通濾波器則模擬橢圓低通濾波器

21、(1)(1)與其對應的高通濾波器與其對應的高通濾波器 構成一對互補濾波器構成一對互補濾波器)/1 ()(sHsHLH49 高、低通互補對高、低通互補對：令 )()(, )1 ()(12221222MiiMiissNssM則有)3()()()()()(2222222asNssMsMsHsHLL)3()()()()()(22222222bsNssMsNssHsHHH 零點分離和分配原則零點分離和分配原則設設 所有所有左左半平面零點分別構成半平面零點分別構成)()(22ssNsM)()(12sGsG則則 所有所有右右半平面零點分別構成半平面零點分別構成)()(22ssNsM)()(21sGsG50

22、式式 : 為了保證系統穩定為了保證系統穩定, (3)式中只能取式中只能取(唯一取法唯一取法) )4()()()()(212asGsGsMsHL)4()()()()(212bsGsGssNsHH)5()()()()()()()()()()()()()(22221212122bsHsGsGsGsGsGsGsGsGssNsMsHsHHL其中其中H1(s)、 H2(s)為全通函數為全通函數)5()5(ba )6(2/)()()()6(2/)()()(2121bsHsHsHasHsHsHhl 結論結論:可由一對全通構成一對高、低通互補濾波器可由一對全通構成一對高、低通互補濾波器)5()()()()()(

23、)()()()()()()()(11121122122asHsGsGsGsGsGsGsGsGssNsMsHsHHL 并因式分解并因式分解：)5()5(ba 51 根據橢圓逼近理論根據橢圓逼近理論(見A.Antoniou, Digital Filters: Analysis & Design, pp.126-127, 1984)： )7()()7()(2112222221122221bsssssssHasssssHNiciciccNicici式中式中, , , , N N為濾波器階數；為濾波器階數； 分別為分別為“預畸預畸”后低通濾波器的通帶邊緣頻率和阻帶邊緣頻后低通濾波器的通帶邊緣頻率和阻帶邊

24、緣頻率，率， ，且2/, 4/212NMNMNNNrpc2rp、v 模擬實現模擬實現522222121212,.,2 , 1,12,.,2 , 1,12NivNiviiiiii)8(,.,1,/1122Mikkviii53v 數字實現數字實現 取取 , ,將將 代入式代入式(6),(6),即得其數字實現即得其數字實現: :)1/()1 (11zzs1c 一般奇階互補濾波器的數字實現一般奇階互補濾波器的數字實現)9()()(21)()9()()(21)(2121bzHzHzHazHzHzHHL)10(11)()10(1)(2112121112121211bzbzdzzdbbzzbzHazazcz

25、zcazHNiiiiiNiiiii其中其中54222222221) 1(2,111) 1(2,11cciciccicciicciciccicciidbca)11(11ccb55 奇階奇階鏡象互補濾波器的數字實現鏡象互補濾波器的數字實現滿足滿足 的互補濾波器稱為的互補濾波器稱為鏡象互補鏡象互補( (正交鏡正交鏡象象) )濾波器濾波器, ,這時這時, ,式式(11)(11)變為變為 12rpc)12(00,220,22bdbcaiiiiiiii則式則式(10)(10)可簡化為可簡化為)13(1)(1)(21122121221NiiiNiiizbzbzzHzazazH56v 奇階互補關系式（奇階互補

26、關系式（N奇數）奇數）)14(1)()()()(11zHzHzHzHHHLL 奇階互補的另一表示法奇階互補的另一表示法 高、低通互補關系式：高、低通互補關系式： 一般互補關系式：一般互補關系式：)15(1)()()()(11zHzHzGzG如定義如定義)()()(,)()()(zDzQzHzDzPzG易知此時易知此時P(z)和和Q(z)分別是對稱多項式和反對稱多項式分別是對稱多項式和反對稱多項式, 即即)()(, )()(11zQzzQzPzzPNN故有故有)16()()()()(122azDzDzzQzPN57v 偶階互補關系式（偶階互補關系式（N偶數）偶數）)()(, )()(11zQzz

27、QzPzzPNN從而有從而有)16()()()()(122bzDzDzzQzPN偶階情況下，上述偶階情況下，上述(1)和和(2)仍然成立；且仍然成立；且P(z),Q(z)的定義同上，的定義同上，但此時但此時P(z),Q(z)同為對稱多項式，即同為對稱多項式，即v 統一表達式統一表達式)17()()()() 1()(122zDzDzzQzPNN結論結論：無論奇階，還是偶階濾波器，知道了一個濾波器，無論奇階，還是偶階濾波器，知道了一個濾波器，就可以得出與之互補的另一個濾波器。就可以得出與之互補的另一個濾波器。58v 橢圓濾波器設計原理橢圓濾波器設計原理實現實現應用應用59 邊帶消除器邊帶消除器(S

28、BC)或或Hilbert變換器變換器 樹形結構的復用轉換器樹形結構的復用轉換器( (TMUXTMUX) ) 樹形結構的子帶分解樹形結構的子帶分解 低靈敏度濾波器的高效實現低靈敏度濾波器的高效實現 60 根據多相分解理論，有根據多相分解理論，有)14()()()(22121zHzzHzHL 當原型低通為鏡像濾波器時，上式中當原型低通為鏡像濾波器時，上式中 )13(1)( )13(1)(211222212221bzbzbzHazazazHNiiiNiii 將低通濾波器移位將低通濾波器移位 , 相當于用相當于用jz代替代替z, 則有則有2/)15()()()(22121zHjzzHjzHL 其中)1

29、6(1)()16(1)(211222212221bzbzbzHazazazHNiiiNiii仍為實濾波器，仍為實濾波器，移位后的濾波器可作邊帶消除器移位后的濾波器可作邊帶消除器。61樹形結構的復用轉換器樹形結構的復用轉換器( (TMUX) )v 兩路調制器兩路調制器(TDMFDM 方向方向：)HL(z)HH(z)X1 (n)X2 (n)y (n)221 11 11 1)(1x2 22 22 2)(2x1 21 12 1)(Y22為獲得復用后正確頻譜，須將x2(n)頻譜移動2kHz，即相對于取樣頻率8kHz，移動 ,或將x2(n)乘以n) 1(62HL(z)HH(z)X1 (n)X2 (n)y

30、(n/2)22H1 (z)H2 (z)X1 (n)X2 (n)y(n/2)-122y(n/2)z -1H1 (z2)H2 (z2)X1 (n)X2 (n)-1Ai-z -2z -2基本節結構基本節結構:63樹形結構的復用轉換器樹形結構的復用轉換器( (TMUX) )v 兩路調制器兩路調制器TDM FDM方向：22H1 (z)H2 (z)X (n)y1 (n)-1y2 (n)64樹形結構樹形結構TMUX與樹形結構子帶分解與樹形結構子帶分解v 多路調制器（多路調制器（樹形結構樹形結構TMUX ）以兩路調制器為基本模塊，即可構成樹形結構以兩路調制器為基本模塊，即可構成樹形結構的多路調制器的多路調制器

31、即多路復用轉換器即多路復用轉換器(TMUX)。v樹形結構子帶分解樹形結構子帶分解樹形結構樹形結構TMUX的逆過程即為樹形結構的子帶的逆過程即為樹形結構的子帶分解分解無混疊條件與精確重建濾波器組無混疊條件與精確重建濾波器組 無混疊失真條件無混疊失真條件 如圖有如圖有 其中其中 稱為系統稱為系統整體整體失真傳遞函數失真傳遞函數，而，而 稱為稱為混疊傳遞函數混疊傳遞函數。為滿足。為滿足無混疊失真條件無混疊失真條件，必須必須 A(z)=0 (a) 精確重建濾波器組精確重建濾波器組 為精確重建原信號，除無混疊外，還要求整個系統既無為精確重建原信號，除無混疊外，還要求整個系統既無幅度失真，又無相位失真，幅

32、度失真，又無相位失真，還必須還必須 (b) 同時滿足同時滿足(a)和和(b)的濾波器組，稱為的濾波器組，稱為精確重建濾波器組精確重建濾波器組。 )()()()()(zXzAzXzTzY)()()()(21)(1100zFzHzFzHzT65)()()()(21)(1100zFzHzFzHzA) 1()(cczzTK通常取完全重構條件完全重構條件 上述討論表明：小波變換可通過濾波器組來實現上述討論表明：小波變換可通過濾波器組來實現 假如信號假如信號x(n)x(n)或或X(z)X(z)經小波或子帶分解（分析濾波器組）后經小波或子帶分解（分析濾波器組）后又經綜合濾波器組合成為又經綜合濾波器組合成為x

33、 x(n)(n)或或X X(z)(z)。則。則X X(z)(z)可能出現三可能出現三種失真：混疊失真、相位失真和幅度失真。種失真：混疊失真、相位失真和幅度失真。 - - 要使整個系統輸出沒有混疊失真，須使要使整個系統輸出沒有混疊失真，須使 G0(z)H0(-z)+ G1(z)H1(-z)=o (a) - - 要使整個系統輸出沒有相位失真和幅度失真，須使要使整個系統輸出沒有相位失真和幅度失真，須使 G0(z)H0(z)+ G1(z)H1(z)=z-k (b) 結論結論：滿足：滿足(a)(a)和和(b)(b)的濾波器組稱為的濾波器組稱為無混疊無混疊、無失真無失真濾波器濾波器組或組或完全重構完全重構

34、濾波器組、式濾波器組、式(a)(a)和和(b)(b)稱為完全重構條件。稱為完全重構條件。只只滿足滿足(a)(a)或或(b)(b)的濾波器組稱為無混疊或無失真的濾波器組。的濾波器組稱為無混疊或無失真的濾波器組。6667)(ny)(0zH)(1zH22)(0nu)(1nu)(1ny處理單元)(0zG)(1zG22)(0nv)(1nv)(0ny+)(nx 分析濾波器組 綜合濾波器組兩通道濾波器組)(0nx)(1nx)(0nw)(1nw68低靈敏度濾波器的高效實現低靈敏度濾波器的高效實現 基本思想基本思想)()()(zVzUzHN原型低通原型低通IIRIIR濾波器濾波器H(z)H(z)均可用濾波器均可

35、用濾波器U(zU(zN N) )與與V(z)V(z)的的級聯來實現，即級聯來實現，即如將分解如將分解H(z)H(z)、V(z)V(z)作多相分解，即作多相分解，即10)()(NiNiizHzzH10)()(NiNiizVzzV則有則有)()()(NiNNizVzUzH 高效實現高效實現當當U(zU(zN N) )與與V(z)V(z)分別用互補分別用互補IIRIIR濾波器和濾波器和FIRFIR濾波器來實現濾波器來實現時，二者都是系數低靈敏度和結構低復雜度度的濾波器。時，二者都是系數低靈敏度和結構低復雜度度的濾波器。69附錄附錄: 數字濾波與快速變換數字濾波與快速變換70 v數字濾波器概述數字濾波

36、器概述 數字濾波器分類數字濾波器分類 - IIR濾波器（濾波器（一定是遞歸系統）一定是遞歸系統） - FIR濾波器（濾波器（一般是非遞歸系統，也可是遞歸系統）一般是非遞歸系統，也可是遞歸系統） 下面著重介紹下面著重介紹IIRIIR濾波器的設計濾波器的設計。71數字濾波器數字濾波器 脈沖響應不變法脈沖響應不變法 (時域時域數字仿真數字仿真) ) - 原理原理 時域等效時域等效(時域仿真條件時域仿真條件)，即今，即今h(n) = T ha(nT) 再對其作拉氏變換再對其作拉氏變換, 即得數字濾波器的傳遞函數即得數字濾波器的傳遞函數 - 討論討論 優點優點：簡單，能保持模擬濾波器的時域瞬態特性：簡單

37、，能保持模擬濾波器的時域瞬態特性 缺點缺點：存在頻譜混疊，使用受限，只能用于嚴格：存在頻譜混疊，使用受限，只能用于嚴格 限帶的情況。限帶的情況。 72數字濾波器數字濾波器 雙線性變換法（雙線性變換法（頻域數字仿真頻域數字仿真） 1.1.基本關系式基本關系式 由模擬濾波器基本單元由模擬濾波器基本單元1/s數字仿真導出雙線性變換式數字仿真導出雙線性變換式 : 或11112zzTssTsTz/2/2 映射關系 ： i) 當0時|z| z平面的單位園內 ii) 當=0時|z|=1 s平面的虛軸 z平面的單位園上 iii) 當0時|z|1 s平面的右半平面 z平面的單位園外 73數字濾波器數字濾波器 2

38、. 修正的關系式修正的關系式 用用(1)式設計濾波器很不方便式設計濾波器很不方便, 因此必須修正，即用參數因此必須修正，即用參數c代替代替(1)式中的式中的2/T, 從而從而(1)變為變為 或或 相應地，數字模擬頻率間的關系為相應地，數字模擬頻率間的關系為（令（令 ） 其中其中c滿足滿足 )2(1111azzcs)2( bscscz)3()2/(tgc)2/(pptgc, jsjez 74數字濾波器數字濾波器 如何使用修正公式如何使用修正公式 i)當使用歸一化模擬低通濾波器當使用歸一化模擬低通濾波器(p=1)設計數字低通時設計數字低通時 取取 p=1則則 c tg(p/2) 1 c = cot

39、g(p/2) cotg(Fp/Fs) 1 ii) 當使用一般模擬低通濾波器當使用一般模擬低通濾波器(p1)設計數字低通時設計數字低通時 取取 c = 1 則則 p= tg(p/2)tg(Fp/Fs)1 (這里這里 T) 注意注意： 對應于對應于 = ； 75 v正弦類正交變換正弦類正交變換 包括：包括：DFT及其推廣及其推廣GDFT，DHT及其推廣及其推廣GDHT，DCT和和DST三大類。三大類。DFT和和GDFT GDFT定義為：定義為： 和和 其中其中 1) k0, n00, 1/2, 1/4 ，但不含，但不含k0 = n01/4 ，故有八種取值。，故有八種取值。 2) k0=n00時，就

40、是時，就是DFT)1 ()(2exp)(1)(0010akknnNjnxNkXNnf)1 ()(2exp)(1)(0010bkknnNjkXNnxNkf76 DHT 和和GDHT (DWT) - 定義定義 如果用如果用cas(.) = cos(.) + sin(.) cas(.) = cos(.) + sin(.) 代替代替 (1a)(1a)式中的式中的cos(.)cos(.)jsin(.) jsin(.) 所得所得 到的變換即為廣義到的變換即為廣義HartleyHartley變換變換(GDHT),(GDHT),其定義如下：其定義如下： 式中式中cas(.)=cos(.) + sin(.),k

41、cas(.)=cos(.) + sin(.),k0 0,n,n0 0=0,1/2, =0,1/2, 故故GDHTGDHT只有四種類型。只有四種類型。 (2)(2)式亦可寫成式亦可寫成 其中其中(2)(2)是中國學者王中德是中國學者王中德19811981引入的引入的,(2),(2)是是Bracewell1983Bracewell1983 定義的。定義的。 (2)(2)所定義的變換也稱為所定義的變換也稱為DWTDWT。)2()(2)(1)(0010kknnNcasnxNkXNnf)2()(24sin)(2)(0010kknnNnxNkXNnf77- 性質性質 如令如令 Xht = HNtx (t=I,II,III,IV,表示變換類型表示變換類型) 其