1、第第3 3章章 地圖投影的基本原理地圖投影的基本原理 q地圖投影基本概念地圖投影基本概念 q地圖投影基本理論地圖投影基本理論 內容提要內容提要地球：人類生活的環境，科學研究的基礎地球：人類生活的環境，科學研究的基礎地圖投影基本概念地圖投影基本概念 地球儀地球儀 近似以橢圓短軸為旋轉軸旋轉而成的模擬地球近似以橢圓短軸為旋轉軸旋轉而成的模擬地球的橢球體的橢球體 各點的幾何關系的保持各點的幾何關系的保持- -距離、方位、各種特性距離、方位、各種特性曲線及面積保持不變曲線及面積保持不變 難于制作，成本高，不便于量測及攜帶保管。難于制作，成本高，不便于量測及攜帶保管。地圖投影基本概念地圖投影基本概念 地

2、圖地圖 比例尺可大可小，制作、拼接、圖上作業以及攜帶比例尺可大可小，制作、拼接、圖上作業以及攜帶保管都很方便保管都很方便地圖投影基本概念地圖投影基本概念 地球：不可展曲面地球：不可展曲面地圖：連續的平面地圖：連續的平面 用地圖表示地球表面的一部分或全部，就產生了一用地圖表示地球表面的一部分或全部，就產生了一種不可克服的矛盾種不可克服的矛盾 球面球面 平面平面地圖投影基本概念地圖投影基本概念 地圖投影基本概念地圖投影基本概念 一、地圖投影的概念和實質一、地圖投影的概念和實質1 1、地圖投影：、地圖投影： 將地球表面上的點、經緯線等變換到地圖平面上將地球表面上的點、經緯線等變換到地圖平面上的方法稱

3、為地圖投影。的方法稱為地圖投影。地圖投影的實質：地圖投影的實質： 建立地球面上點的坐標與地圖平面上點的坐標之建立地球面上點的坐標與地圖平面上點的坐標之間一一對應的函數關系。間一一對應的函數關系。2 2、地圖投影基本方法、地圖投影基本方法1 1）幾何透視法）幾何透視法 將測圖地區按一定比例縮小成一個地形模型，然將測圖地區按一定比例縮小成一個地形模型，然后將其上的一些特征點用垂直投影的方法投影到圖紙后將其上的一些特征點用垂直投影的方法投影到圖紙上。上。 小區域范圍可視地表為平面，采用垂直投影方式，小區域范圍可視地表為平面，采用垂直投影方式，可認為投影沒有變形。但是大區域垂直投影存在變形，可認為投影

4、沒有變形。但是大區域垂直投影存在變形，需要考慮其他的投影方式，采用透視投影方法。需要考慮其他的投影方式，采用透視投影方法。地圖投影基本概念地圖投影基本概念 地圖投影基本概念地圖投影基本概念 2 2）數學分析法）數學分析法地球橢球面上的經緯網地球橢球面上的經緯網 平面上相應的經緯線網平面上相應的經緯線網地球橢球面：原面地球橢球面：原面 平面：投影面平面：投影面 原面與投影面原面與投影面上的點線面具上的點線面具有一一對應關有一一對應關系系地圖投影基本概念地圖投影基本概念 地圖投影基本概念地圖投影基本概念 二、地圖投影的研究對象及任務二、地圖投影的研究對象及任務 1 1、研究對象、研究對象p 地球橢

5、球面描寫到地圖平面上的理論、方法及應用地球橢球面描寫到地圖平面上的理論、方法及應用p 地圖投影的變形規律地圖投影的變形規律p 不同地圖投影之間的轉換不同地圖投影之間的轉換p 圖上量算等問題圖上量算等問題2.2.任務任務p 把地球表面上的地理坐標系轉化成平面坐標系把地球表面上的地理坐標系轉化成平面坐標系p 建立制圖網建立制圖網經緯線在平面上的表象經緯線在平面上的表象q地圖投影基本概念地圖投影基本概念 q地圖投影基本理論地圖投影基本理論 內容提要內容提要地圖投影基本理論地圖投影基本理論 一、地圖投影的一般方程一、地圖投影的一般方程x = f1(b , l) y = f2(b, l)x,yx,y表示

6、原點在投影面上的縱、橫坐標表示原點在投影面上的縱、橫坐標b b、l l表示原點在地球橢球體上的緯度、經度地理坐標表示原點在地球橢球體上的緯度、經度地理坐標函數函數f1f1、f f2 2取決于不同的投影條件取決于不同的投影條件（一）投影變形的概念（一）投影變形的概念 把地圖上和地球儀上的經緯線網進行比較，可以發現把地圖上和地球儀上的經緯線網進行比較，可以發現變形表現在變形表現在長度長度、面積面積和和角度角度三個方面。三個方面。二、地圖投影變形二、地圖投影變形地圖投影基本理論地圖投影基本理論 地圖投影基本理論地圖投影基本理論 （二）長度比和長度變形（二）長度比和長度變形 長度比長度比( ():):

7、投影面上某一方向上無窮小線段投影面上某一方向上無窮小線段 和原面和原面上相應無窮小線段上相應無窮小線段 之比。之比。dssdusd ds地圖投影基本理論地圖投影基本理論 = 0 = 0 不變不變 0 0 變大變大 0 0 0 變大變大 0 0 0 變大變大 0 0 變小變小uuu角度變形是變量，隨位置和方向的不同而變化。角度變形是變量，隨位置和方向的不同而變化。uu角度最大變形角度最大變形: :在同一點的某個特殊方向上，其角差具有在同一點的某個特殊方向上，其角差具有最大值，稱為該點的角度最大變形。最大值，稱為該點的角度最大變形。地圖投影基本理論地圖投影基本理論 標準緯線：在地圖投影中不變形的緯

8、線稱為標準緯標準緯線：在地圖投影中不變形的緯線稱為標準緯線。線。主比例尺：在計算地圖投影或制作地圖時，首先要主比例尺：在計算地圖投影或制作地圖時，首先要將地球橢球面或球面按一定的比率縮小，然后再將地球橢球面或球面按一定的比率縮小，然后再投影到平面上，這個小于投影到平面上，這個小于1 1的常數比率稱為地圖的的常數比率稱為地圖的主比例尺。主比例尺。局部比例尺：除地圖上保持主比例尺的點或線以外，局部比例尺：除地圖上保持主比例尺的點或線以外，其他部分的比例尺稱為局部比例尺。其他部分的比例尺稱為局部比例尺。地圖投影基本理論地圖投影基本理論 1.1.變形橢圓變形橢圓 取地面上一個微分圓（小到可忽略地球曲面

9、的影響，取地面上一個微分圓（小到可忽略地球曲面的影響，把它當作平面看待），它投影到平面上通常會變為橢圓，把它當作平面看待），它投影到平面上通常會變為橢圓，通過對這個橢圓的研究，分析地圖投影的變形狀況。這通過對這個橢圓的研究，分析地圖投影的變形狀況。這種圖解方法就叫種圖解方法就叫變形橢圓變形橢圓。地圖投影基本理論地圖投影基本理論 三、主方向和變形橢圓三、主方向和變形橢圓xmx為為經線長度比經線長度比；為為緯線長度比緯線長度比yny微分圓微分圓變形橢圓變形橢圓地圖投影基本理論地圖投影基本理論 代入：代入： x x2 2 + + y y2 2 = 1 = 1，得得22221xymn地圖投影基本理論地

10、圖投影基本理論 底索定律底索定律: :無論采用何種轉換方法，球面上每一點至少有無論采用何種轉換方法，球面上每一點至少有一對正交方向線，在投影平面上仍能保持其正交關系。一對正交方向線，在投影平面上仍能保持其正交關系。主方向主方向: :在投影后仍保持正交的一對線的方向稱為主方向。在投影后仍保持正交的一對線的方向稱為主方向。 2 2、主方向、主方向地圖投影基本理論地圖投影基本理論 特別方向特別方向：變形橢圓上相互垂直的兩個方向及經向和緯向：變形橢圓上相互垂直的兩個方向及經向和緯向 長軸方向（極大值）a短軸方向（極小值）b經線方向 m ；緯線方向 n據，有m2 + n2 = a2 + b2mnsinq

11、 = ab地圖投影基本理論地圖投影基本理論 3 3、變形橢圓對地圖投影變形的描述、變形橢圓對地圖投影變形的描述1 1）單個變形橢圓可以用來表示某一點上的各種變形）單個變形橢圓可以用來表示某一點上的各種變形2 2）一組變形橢圓能揭示全制圖區域變形規律）一組變形橢圓能揭示全制圖區域變形規律地圖投影基本理論地圖投影基本理論 地圖投影基本理論地圖投影基本理論 地圖投影基本理論地圖投影基本理論 法截面：通過法線的平面所截成的截面。法截面：通過法線的平面所截成的截面。 主法截面：相互垂直的法截面。主法截面：相互垂直的法截面。 四、地圖投影變形計算四、地圖投影變形計算地圖投影基本理論地圖投影基本理論 對橢球

12、來說，要研究下列的兩個主法截面，一個曲率對橢球來說，要研究下列的兩個主法截面，一個曲率半徑具有最大值，而另一個曲率半徑具有最小值半徑具有最大值，而另一個曲率半徑具有最小值 子午圈截面：包含子午圈的截面。子午圈截面：包含子午圈的截面。23222(1)(1sin)aemebe式中：式中：a a 橢球的長半徑橢球的長半徑 第一偏心率第一偏心率 為緯度為緯度 子午圈曲率半徑通常用字母子午圈曲率半徑通常用字母m m表示，它是表示，它是a a點上所有法截點上所有法截弧的弧的曲率半徑中的最小值曲率半徑中的最小值 地圖投影基本理論地圖投影基本理論 b卯酉圈截面：垂直于子午圈的截面。卯酉圈截面：垂直于子午圈的截

13、面。e式中：式中：a a 橢球的長半徑橢球的長半徑 第一偏心率第一偏心率 為緯度為緯度 1222(1sin)aneb 卯酉圈曲率半徑是所有法截弧的卯酉圈曲率半徑是所有法截弧的曲率半徑中的最大值曲率半徑中的最大值，以字母以字母n n表示：表示：地圖投影基本理論地圖投影基本理論 b緯圈的半徑，一般用緯圈的半徑，一般用r r表示，即表示，即1222coscos(1sin)abrnbebr地圖投影基本理論地圖投影基本理論 dsmdsndsoxyaxdbcdsdsmdsndxdyq 為建立由曲面到平面的表象，先要建立地球表面上的各為建立由曲面到平面的表象，先要建立地球表面上的各元素，如線段、面積、角度與

14、它們在平面上的對應關系式，元素，如線段、面積、角度與它們在平面上的對應關系式，以便于利用這些關系式導出地圖投影的基本公式。以便于利用這些關系式導出地圖投影的基本公式。 地圖投影基本理論地圖投影基本理論 dsmdsndsoxyaxdbcdsdsmdsndxdyq沿經線微分線段沿經線微分線段admd沿緯線微分線段沿緯線微分線段abrd對角線對角線2222dsacm dr dc c點對點對a a點方位角點方位角為：為：sinrddscosmddsrdtgmd 由微分幾何的概念可得微分梯形由微分幾何的概念可得微分梯形abcdabcd的微分面積為：的微分面積為：dfmrd d 地圖投影基本理論地圖投影基

15、本理論 dsmdsndsoxyaxdbcdsdsmdsndxdyq（x,y） （x+dx,y+dy） 對角線對角線dsds對應的為對應的為dsds： 22ds = dx +dy222dsedgdfd d dd=0=0時，時，ma ddsed dd=0=0時，時，na bdsgd 利用上式可以獲得平面上經利用上式可以獲得平面上經緯線微分線段的表達式：緯線微分線段的表達式：地圖投影基本理論地圖投影基本理論 將投影的一般表達式取將投影的一般表達式取x x、y y對對、的全微分：的全微分： xxdx=dy=ddyydd2222x()()x()()xxyxyyyeygyfxhe e、f f、g g、h

16、h稱為一階稱為一階基本量，或稱高斯系基本量，或稱高斯系數。數。 地圖投影基本理論地圖投影基本理論 dsmdsndsoxyaxdbcdsdsmdsndxdyq（x,y） （x+dx,y+dy） 對角線對角線acac與與x x軸之夾角軸之夾角的的表達式：表達式： sincostgxxdydsdxdsyydddydxdd地圖投影基本理論地圖投影基本理論 是任意方向與是任意方向與x x軸夾角的表達式，特殊情況下，即當軸夾角的表達式，特殊情況下，即當dd和和dd為零時，經、緯線方向與為零時，經、緯線方向與x x軸的夾角為軸的夾角為m與與n1sin1cosmmmmdyydsedxxdse1sin1cosn

17、nnndyydsgdxxdsg地圖投影基本理論地圖投影基本理論 利用利用m、n推導出十分重要的經、緯線投影后的夾角的表達式推導出十分重要的經、緯線投影后的夾角的表達式360nmd a bq sinsin()scos()nmnmhegfcoeghtgfqqq 微分梯形投影后的面積，即平行四邊形的面積，為：微分梯形投影后的面積，即平行四邊形的面積，為：sinmndfds dshd dq 地圖投影基本理論地圖投影基本理論 dsmdsndsoxyaxdbcdsdsmdsndxdyq地圖投影基本理論地圖投影基本理論 （一）長度比公式（一）長度比公式地圖投影基本理論地圖投影基本理論 ( (二二) )面積比

18、公式面積比公式2ddfa r b rpa bfr p p = = a ab b = = m m n n ( (= 90= 90度度) )p p = = ab = m m n n sin sin ( ( 90 90度度) )地圖投影基本理論地圖投影基本理論 dfmrd d sinmndfds dshd dq ddfhd dhpfmrd dmr 地圖投影基本理論地圖投影基本理論 （三）角度變形公式（三）角度變形公式a a點（點（x x、y y），），a a 點點 ( (x x 、y y ) )tanyxtanyx xax yby地圖投影基本理論地圖投影基本理論 tantanbybaxatantan

19、tantan(1)tanbbaatantantantan(1)tanbbaasin()tancoscosabasin()sin()abab將上式兩邊各用將上式兩邊各用tantana a減和加減和加 即：即：將兩式相除，得將兩式相除，得：通過三角變換，得通過三角變換，得：地圖投影基本理論地圖投影基本理論 sin()sin()ababsin()abab2()sin2abab 顯然當（顯然當（a a + +a a ）= 90= 90時，右端取最大值，則最大方時，右端取最大值，則最大方向變形：向變形：以以表示角度最大變形：表示角度最大變形：令令地圖投影基本理論地圖投影基本理論 地圖投影一般存在長度變形

20、、面積變形和角度變形，地圖投影一般存在長度變形、面積變形和角度變形，一種投影可以同時存在以上三種變形，但在某種條件下，一種投影可以同時存在以上三種變形，但在某種條件下，可以使某一種變形不發生，如投影后角度不變形，或投影可以使某一種變形不發生，如投影后角度不變形，或投影后面積不變形，或使某一特定方向投影后不產生長度變形。后面積不變形，或使某一特定方向投影后不產生長度變形。 五、地圖投影條件五、地圖投影條件地圖投影基本理論地圖投影基本理論 （一）等角投影條件一）等角投影條件 使地球面上任意點的任意二方向所夾之角投影后仍使地球面上任意點的任意二方向所夾之角投影后仍保持原夾角大小不變的投影叫等角投影。為了保持等角，保持原夾角大小不變的投影叫等角投影。為了保持等角，就必須使投影面上任意點的角度最大變形為零，即：就必須使投影面上任意點