1、大家知道，相似三角形是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，是中考壓軸題的重頭戲。除了三 角形相似以外，正方形、正 N邊形、黃金矩形以及圓等也都相似。其實，在初中我們學(xué)過2k的拋物線（y= ax 2 + b x +c ,0 ）、雙曲線（y=, k豐0）也是相似的！x下面從“位似”的角度去認(rèn)識它們是如何相似的。一、引言：相似圖形的定義： 在同一平面內(nèi)，有兩個圖形 F和F ，如果對于任意兩點A、B及對應(yīng)點A和B 且A B丄kAB（k0）,則稱F和F 是相似圖形。當(dāng)k=1時，相似圖形就是全等圖形。位似圖形的定義： 在同一平面內(nèi)，有兩個圖形F和F 和一個定點O,對于F上任意一點M , F 上都有唯一一點 M 與之對

2、應(yīng)，且滿足下列條件：O、M、M 三點共線；O M = | k | O M,則稱F和F 是位似圖形，O為位似中心，k為位似比。當(dāng)k0時，F(xiàn)和F 在定點O同一側(cè)，當(dāng)k b 0)是不是符合位似圖形的定義呢?2過點0任作射線OA交拋物線y= ax2、y= bx 2于點 A、點 B，如圖 6。作AC丄x軸于點C,作BD丄x軸于點D。設(shè)射線OA : y= kx，解方程組 a 0, x 0)那么它們是不是符合位似圖形x圖7圖8的定義呢?.ak. bkx二和x二即y = ak y = - bkyk，ak)，bk)，因為 AC/ BD,所以,kOA OCOB OD、bk:=定值。.b同樣由位似定義,ab可得雙曲

3、線 y= , (a 0), y=x(b 0)是符合位似圖形的定義的，所以雙曲線y =空xb(a 0),和雙曲線y =xk(b 0)是相似圖形。 所以所有的雙曲線y (k工0)是相似的,x它們的形狀是相同的。拓展ab過點O任作射線OA交雙曲線y = , y =:(b a 0, x 0)xx于點A、點B。作AC丄x軸于點C,作BD丄x軸于點D，如圖8。設(shè)射線 OA : y= kx(k _ a _ b0),解方程組y =和y =I由上面的證明，我們不難得到對于下面四個圖形：點AB、直線CD與兩條拋物線 y= ax2、y= bx過原點的直線樣的結(jié)論：(1)AC/ BD, (2) AOCBOD,(3)圖

4、 10 中,S 陰影 S陰影bd=a:b等等.AOC S陰影BODA、點B、點C、點D分別是兩條(或雙曲線)的交點。一定有這2 2=b : a , (4)圖 12 中,S 陰影 ac圖9y = kx y = kx四、質(zhì)疑在初中數(shù)學(xué)教科書上，我們說拋物線y= ax 2 + b x +c ,（0 ）的形狀是由a的大小決定的。當(dāng)a越大，拋物線的開口就越小，反之，當(dāng)a越小，拋物線的開口就越大！既然拋物線的形狀都一樣，那么拋物線的開口大小是不是也應(yīng)該一樣呢？但直觀的圖形告訴我們，拋物線確實有“開口大小”之分。如下圖13兩個半圓，小半圓 Oi在大半圓02里面,但我們總不能說小半圓 Oi的開口比大半圓 02

5、小吧！因為，小半圓 Oi經(jīng)過放大一定和大半 圓。2重合，這是沒問題的。按照這樣的推理，如圖 14中的拋物線 A0C經(jīng)過放大一定和拋 物線B0D重合。那么怎樣認(rèn)識這個“開口”問題呢？我想值得大家商榷。y= ax2A ”圖14y= bx2五、編題如果把上面敘述的內(nèi)容、方法作進一步挖掘，再結(jié)合初中中考要求就能編一個好題。題目（一）延伸閱讀：在平面內(nèi)有兩個圖形 F和F 和一個定點0,對于上任意一點 M, F 上 都有唯一一點 M 與之對應(yīng)，且滿足下列條件：0、M、M 三點共線；0M|k|0M, 則稱F和F 是位似圖形， 0為位似中心，k為位似比。當(dāng) k0時，F(xiàn)和F 在定點0同 一側(cè)，當(dāng)k b 0）是不是位似圖形？若是，請根據(jù)以上定義加以證明。并求出位似比。若不是,/yAB0C圖1請說明理由。總之，對于數(shù)學(xué)概念的深入研究，我們會發(fā)現(xiàn)一些我們以為“驚奇”的結(jié)論，而這些 結(jié)論往往就“潛伏”在我們平時所熟悉的知識中，只要我們站在新的高度，用新的角度去