1、對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（1）（教學(xué)設(shè)計(jì)）甘肅省定西市通渭縣常河中學(xué)焦鳳龍 對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（1）教學(xué)任務(wù)分析使學(xué)生了解對(duì)數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活及其他學(xué)科的聯(lián)系；理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念和意義，能畫出具體對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點(diǎn)；在學(xué)習(xí)的過程中進(jìn)一步體會(huì)研究具體函數(shù)及其性質(zhì)的過程和方法，如具體到一般、數(shù)形結(jié)合的方法等.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)對(duì)數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì).難點(diǎn)用數(shù)形結(jié)合的方法從具體到一般地探索、概括對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì).教學(xué)基本流程教學(xué)情境設(shè)計(jì)問題設(shè)計(jì)意圖師生互動(dòng)課后反思 在2.2.1的例6中，對(duì)每一個(gè)碳14含量p的取值，通過對(duì)應(yīng)關(guān)系，都有唯一的與之對(duì)應(yīng)，那么時(shí)間與碳

2、14的含量之間的對(duì)應(yīng)能否構(gòu)成函數(shù)？用函數(shù)的觀點(diǎn)分析碳14含量模型變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，為引出對(duì)數(shù)函數(shù)做準(zhǔn)備.t: 組織學(xué)生思考、分組討論所提出的問題，注意引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)定義出發(fā)解釋這個(gè)問題中變量之間的關(guān)系.s：獨(dú)立思考、小組討論，推舉代表解釋這個(gè)問題中變量間的關(guān)系為什么能構(gòu)成函數(shù).該函數(shù)有什么特征?提煉出對(duì)數(shù)函數(shù)模型且a 1）.t：提出問題，注意引導(dǎo)學(xué)生把解析式概括到的形式，注意提示a的取值范圍.s: 獨(dú)立思考，歸納概括其特征.給出對(duì)數(shù)函數(shù)的定義.你能根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義解決教科書第71頁例7和教科書第73頁練習(xí)2嗎?利用對(duì)數(shù)函數(shù)的定義求對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域.s：獨(dú)立思考，嘗試解決教科書第71頁例7

3、和教科書第73頁練習(xí)2，并且小組討論、交流.t：課堂巡視，個(gè)別輔導(dǎo)，針對(duì)學(xué)生的共同問題集中解決.問題設(shè)計(jì)意圖師生互動(dòng)課后反思請(qǐng)你判斷下列函數(shù)關(guān)系式中那些是對(duì)數(shù)函數(shù)？；.利用對(duì)數(shù)函數(shù)的定義判斷對(duì)數(shù)型函數(shù)，加深對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)概念的理解.s：獨(dú)立思考并口述判斷結(jié)果.t：多媒體投影結(jié)果或板書學(xué)生判斷結(jié)果.你能類比前面討論函數(shù)性質(zhì)的思路及研究指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的方法，提出研究對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的方法嗎？給出研究對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的思路.t: 引導(dǎo)學(xué)生回顧學(xué)要研究函數(shù)的那些性質(zhì)，類比研究指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的方法，討論研究對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的方法，強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合，強(qiáng)調(diào)函數(shù)圖象在研究函數(shù)性質(zhì)中的作用，注意從具體到一般的思想方法的應(yīng)用，滲透概括能

4、力的培養(yǎng).s: 獨(dú)立思考，提出研究對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的基本方法和思路.如何畫出對(duì)數(shù)函數(shù)和的圖象嗎？會(huì)用描點(diǎn)法畫這兩個(gè)函數(shù)的圖象.s: 獨(dú)立畫圖，同學(xué)間交流.t: 課堂巡視，個(gè)別輔導(dǎo)，展示化的較好的部分學(xué)生的圖象（或展示自己利用幾何畫板畫得圖象）.從畫出的圖象中你能發(fā)現(xiàn)函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象有什么關(guān)系？可否利用的圖象畫出的圖象？總結(jié)出兩個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象關(guān)于x軸對(duì)稱時(shí)其解析式的特點(diǎn)，并利用軸對(duì)稱性畫對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象.t: 投影展示教科書第70頁表2-3，以及圖2.2-1，2.2-2，2.2-3.s: 觀察圖象及表格，表述自己的發(fā)現(xiàn).ts：概括出根據(jù)對(duì)稱性畫對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的方法.問題設(shè)計(jì)意圖師生互動(dòng)課后反思你能

5、利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象歸納出對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)嗎？獲得對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì).t:引導(dǎo)學(xué)生選取若干個(gè)不同的底數(shù)a且畫出的圖象（或利用幾何畫板畫出的圖象，改變底數(shù)a的取值），并指導(dǎo)學(xué)生觀察圖象，概括出指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).s: 通過選取若干個(gè)不同的底數(shù)a且畫出的圖象，觀察圖象，得出性質(zhì)，相互交流，形成對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的認(rèn)識(shí). 結(jié)合圖象得出對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)如下表：圖象性質(zhì)定義域（0，+）（0，+）值域rr取值若，則；若，則.若，則；若，則.恒過一定點(diǎn)過定點(diǎn)（1,0），即x = 1時(shí)，y =0.增減性在（0，+）上是減函數(shù)（底數(shù)越小，在第一象限越靠近y軸，在第四象限越靠近x軸）.在（0，+）上是增函數(shù)（底數(shù)越大，在第一象限越

6、靠近x軸，在第四象限越靠近y軸）.奇偶性非奇非偶函數(shù). 函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱.漸近線y軸，即x =0.最值無.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)有什么認(rèn)識(shí)？教科書是怎樣研究對(duì)數(shù)函數(shù)的？歸納整理本節(jié)課所學(xué)知識(shí).s:思考、小組討論，推舉代表敘述，其他同學(xué)補(bǔ)充.t:根據(jù)學(xué)生回答的情況進(jìn)行評(píng)價(jià)和補(bǔ)充.課后作業(yè)習(xí)題2.2a組第6,7題.課后探究利用單調(diào)函數(shù)的定義討論指數(shù)函數(shù)且的增減性.好玩的計(jì)算尺與背后的對(duì)數(shù)故事(1)轉(zhuǎn)發(fā) 評(píng)論 2009-08-18 20:44 前幾天去了一次天津的圖書大廈，在書架最底層的柜子里翻出了最后一套高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)，這是一套根據(jù)f克萊因19世紀(jì)末20世紀(jì)初為中學(xué)數(shù)學(xué)教師所做培

7、訓(xùn)的講義集結(jié)而成的經(jīng)典數(shù)學(xué)書籍。其中提出的當(dāng)時(shí)德國中學(xué)數(shù)學(xué)教育中所存在的弊端在今時(shí)今日的中國仍然存在，不同的只是相差了100年的時(shí)間。此書第一卷第三部分“分析”中首先就給出了對(duì)數(shù)的歷史和演化過程。其中提到了對(duì)數(shù)表。由此我忽然想起一個(gè)對(duì)數(shù)表衍生出的工具：計(jì)算尺。2006年第6期的環(huán)球科學(xué)中曾有一篇文章300年輝煌：計(jì)算尺傳奇，正是通過這篇文章，我第一次知道了還有這么神奇的工具。在計(jì)算器發(fā)明前，能作為計(jì)算的輔助工具的，并不只有算盤。而且計(jì)算尺使得工程人員和科學(xué)家能以非常快的速度計(jì)算乘、除、開方、正余弦、雙曲三角函數(shù)等，其很多功能是算盤所不具備的。計(jì)算尺的原理決定了它強(qiáng)大的功能，以及與算盤有著本質(zhì)上

8、的不同。計(jì)算尺的誕生可以追溯到對(duì)數(shù)的第一次應(yīng)用。1614年，蘇格蘭數(shù)學(xué)、物理學(xué)家約翰納皮爾在他的對(duì)數(shù)原理一書中收錄了其制作的世界第一份對(duì)數(shù)表。但直到他逝世后的1619年，計(jì)算此對(duì)數(shù)表的方法才被公開。與此同時(shí)，瑞士人約布斯特比爾吉獨(dú)立的發(fā)明了與納皮爾類似的方法，也計(jì)算出對(duì)數(shù)表，并于1620年出版。怎么會(huì)有兩位數(shù)學(xué)家同時(shí)想到要計(jì)算對(duì)數(shù)表？這個(gè)現(xiàn)在人們一聽到就頭痛的高中代數(shù)概念，其實(shí)當(dāng)初是為了讓我們生活的更輕松而創(chuàng)造出來的。利用對(duì)數(shù)，人們可以把乘除簡化為加減、把開方簡化為除法。比如計(jì)算2.11乘以5.8，如果已知，則。假設(shè)已有一張以b為底的對(duì)數(shù)表，分別找到2.11和5.8的對(duì)數(shù)然后相加，再用加得的結(jié)

9、果反查對(duì)數(shù)表，就可得到2.11與5.8的積。對(duì)于開方，比如要對(duì)2.6開平方，設(shè)，則有，于是。我們就可以先從對(duì)數(shù)表中查出2.6的對(duì)數(shù)y，將y除以2，再以除得的商反查對(duì)數(shù)表，得到的結(jié)果就是要求的2.6的平方根。這樣做有誤差，因?yàn)椴閷?duì)數(shù)表可能無法查到正好對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)，只能取近似值。不過在實(shí)際工程和科學(xué)計(jì)算中，只要精度損失符合要求，此種方法提供了一個(gè)計(jì)算的捷徑。1620年，為了方便的使用對(duì)數(shù)表，英國數(shù)學(xué)家埃德蒙甘特把對(duì)數(shù)以一種特別的位置關(guān)系刻在了尺子上；大約1622年的時(shí)候，英國圣公會(huì)牧師威廉奧特雷德把兩根木制對(duì)數(shù)標(biāo)尺并排放在一起，創(chuàng)造出了世界上第一把計(jì)算尺。有了奧特雷德的發(fā)明，人們就可以告別對(duì)數(shù)表，只

10、須拉拉計(jì)算尺，對(duì)一下兩個(gè)因數(shù)的位置，便可得到乘法的結(jié)果。這一發(fā)明使得計(jì)算“拋開了數(shù)字”。此后300年間，針對(duì)不同的專業(yè)需求，人們給計(jì)算尺添加了不同的功能，極大提高了計(jì)算效率。環(huán)球科學(xué)中提到的可在網(wǎng)站上下載的“自制計(jì)算尺”的圖樣已失效，不過好在雜志上也印刷了一份，復(fù)印后按照說明剪裁一下，一個(gè)小巧的計(jì)算尺就到手了。試驗(yàn)過它的各種用法后，我不禁驚嘆于計(jì)算尺精巧的設(shè)計(jì)和對(duì)原理巧妙的利用。可以想見這種工具在計(jì)算器前時(shí)代起著如何重要的作用。如果有人對(duì)計(jì)算尺感興趣，可以在baidu或google上搜一下上面的那篇文章，還可找到部分內(nèi)容。其中有計(jì)算尺的使用示例和詳細(xì)介紹，我就不再多說了。下面記錄一些更有意義的

11、歷史過程：對(duì)數(shù)相關(guān)內(nèi)容的推導(dǎo)。首先是對(duì)數(shù)表的計(jì)算：設(shè)底b為接近1的一個(gè)小數(shù)，比如1.0001，即，這樣底b的逐次整數(shù)冪相互很靠近。基于上述的考慮（“b的逐次整數(shù)冪”），設(shè)y的值每次增加1，即數(shù)y以1等差遞增，；而對(duì)應(yīng)的x增加。再由，可得，于是。只要能確定一組初始的x和y值，此后通過不停地對(duì)上一個(gè)x加，對(duì)上一個(gè)y加1，計(jì)算下去即可得到一張大致的對(duì)數(shù)表（注意此處得到的x值序列并非等差數(shù)列）。比如：基于指數(shù)函數(shù)的知識(shí)，可設(shè)x = 1時(shí)，y = 0。然后y=1 x=1+0.0001=1.0001 =0.0001y=2 x=1.0001+0.00010001=1.00020001 =0.00010001

12、y=3 x=1.00020001+0.000100020001=1.000300030001 =0.000100020001y=4 x=1.000300030001+0.0001000300030001=1.0004000600040001 =0.0001000300030001，由此也可看到，隨著x和y的增大，也即是逐漸變小的，而不變，所以逐漸變大。為進(jìn)一步提高計(jì)算出的對(duì)數(shù)表的精度，可回溯至第2步，取，則，于是。此后通過不停地對(duì)上一個(gè)x加，對(duì)上一個(gè)y加0.1，計(jì)算下去即可得到一張精度更高的對(duì)數(shù)表。如需要，可取更小的小數(shù)。在計(jì)算對(duì)數(shù)表時(shí)，底的選取并不是一個(gè)重要的因素。所以可以換一種方法來思考對(duì)

13、數(shù)的求值問題。由上面時(shí)的情況，。然后重新定義y，此后的y變?yōu)橹暗膟乘以，x改寫為。同時(shí)新的，并有，。由之前內(nèi)容可知，欲求對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)的值，可將x由1開始每次增加直至最終的值，同時(shí)y由0開始并每次增加一個(gè)相應(yīng)的，當(dāng)x的值到達(dá)時(shí)，y的值即為所要求的值，。引入另一平面直角坐標(biāo)系，橫軸為軸，縱軸為軸。在平面上畫一條雙曲線，然后求由、（此處代表一個(gè)定值）、圍成的曲邊梯形的面積。此處使用積分的思路，不過，這里以等面積來劃分小矩形，每個(gè)小矩形的面積都為。因?yàn)槊總€(gè)小矩形的、值不同，所以的值也不固定，即，劃分的小矩形不等寬。最終求出的曲邊梯形的面積為。可以看到，和得出的式子實(shí)際是相同的。所以求的對(duì)數(shù)的問題就轉(zhuǎn)化

14、為求由、圍成的曲邊梯形的面積上來了。設(shè)，當(dāng)時(shí)，由1加到的相加次數(shù)趨于無窮大。此時(shí)曲邊梯形面積可表示為。所以時(shí)此對(duì)數(shù)函數(shù)也可表示成積分的形式。確定的底由上面，所以。將其改寫為，并讓，此時(shí)。這與上面設(shè)，并將改寫為實(shí)際是一回事，此時(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)可用另一坐標(biāo)系下的雙曲線下的面積來表示。也改寫為，同時(shí)令。即，。設(shè)，就有。結(jié)合上一步，當(dāng)以e為底時(shí)，可寫為，即。e就是自然常數(shù)。 標(biāo)簽： 計(jì)算尺 、 對(duì)數(shù) 分類： 數(shù)學(xué)與自然科學(xué)2009-08-18 20:44 來自我的搜狐 在博客中查看 編輯 刪除 閱讀(90) 轉(zhuǎn)發(fā) 評(píng)論 對(duì)數(shù)是由英國人納皮爾（napier， 15501617）創(chuàng)立的，而對(duì)數(shù)（logarith

15、m）一詞也是他所創(chuàng)造的。這個(gè)詞是由一個(gè)希臘語（打不出，轉(zhuǎn)成拉丁文logos，意思是表示思想的文字或符號(hào)，也可說成“計(jì)算”或“比率”）及另一個(gè)希臘語（數(shù)，抱歉，我不知道拉丁文怎么寫）結(jié)合而成的。納皮爾在表示對(duì)數(shù)時(shí)套用logarithm整個(gè)詞，并未作簡化。至1624年，開普勒才把詞簡化為“l(fā)og”，奧特雷得在1647年也用簡化過了的“l(fā)og”。1632年，卡瓦列里成了首個(gè)采用符號(hào)log的人。1821年，柯分用“l(fā)”及“l(fā)”分別表示自然對(duì)數(shù)和任意大于1的底的對(duì)數(shù)。1893年，皮亞諾用“l(fā)ogx”及“l(fā)ogx”分別表示以e為底的對(duì)數(shù)和以10為底的對(duì)數(shù)。同年，斯特林厄姆用“blog”、“l(fā)n”及“l(fā)og

16、k”分別表示以b為底的對(duì)數(shù)、自然對(duì)數(shù)和以復(fù)數(shù)模k為底的對(duì)數(shù)。1902年，施托爾茨等人以“alog.b”表示以a為底的b的對(duì)數(shù)，此后經(jīng)過逐漸改進(jìn)演變，就成了現(xiàn)代數(shù)學(xué)上的表示形式。對(duì)數(shù)于十七世紀(jì)中葉由穆尼格引入中國。十七世紀(jì)初，薛鳳祚的歷學(xué)會(huì)通有“比例數(shù)表”（1653年，也稱“比例對(duì)數(shù)表”），稱真數(shù)為“原數(shù)”，稱對(duì)數(shù)為“比例數(shù)”。數(shù)理精蘊(yùn)中則稱作對(duì)數(shù)比例：“對(duì)數(shù)比例乃西士若往納白爾所作，以借數(shù)與真數(shù)對(duì)列成表，故名對(duì)數(shù)表”。此后在我國便都約定俗成，稱作對(duì)數(shù)了。對(duì)數(shù)的故事 你在對(duì)數(shù)新課里講過對(duì)數(shù)發(fā)明的故事嗎？1614年，英國數(shù)學(xué)家納皮爾（j. napier, 15501617）出版奇妙的對(duì)數(shù)表一書。在

17、前言里，納皮爾告訴我們他發(fā)明對(duì)數(shù)的動(dòng)機(jī)：“沒有什么比大數(shù)的乘、除、開平方或開立方運(yùn)算更讓數(shù)學(xué)工作者頭痛、更阻礙計(jì)算者的了。這不僅浪費(fèi)時(shí)間，而且容易出錯(cuò)。因此，我開始考慮怎樣消除這些障礙。經(jīng)過長期的思索，我終于找到了一些漂亮的簡短法則” 對(duì)數(shù)發(fā)明后，人們（特別是天文學(xué)家）的計(jì)算量大大減少。200年后，法國著名數(shù)學(xué)家拉普拉斯（p. -s. laplace, 17491827）評(píng)價(jià)說，由于對(duì)數(shù)的發(fā)現(xiàn)，“天文學(xué)家的壽命增加了一倍。” 韋 達(dá) 納皮爾1614年，英國數(shù)學(xué)家、倫敦格雷沙姆（gresham）學(xué)院首任幾何學(xué)教授布里格斯（h. briggs, 15611630）閱讀了納皮爾的奇妙的對(duì)數(shù)表。此前，

18、布里格斯正從事天文學(xué)研究，繁重的天文計(jì)算正是他試圖克服的困難。因此，納皮爾的對(duì)數(shù)著作深深地吸引了他。在翌年3月10日寫給朋友詹姆斯烏歇爾（james ussher）的信中，布里格斯這樣寫道： “markinston的納皮爾爵士出版了一部著作，包含了他新發(fā)明的奇妙對(duì)數(shù)。我希望今夏與他見面，因?yàn)槲覐奈匆姷竭^一本能讓我如此快樂，令我如此驚奇的書。”布里格斯從倫敦到愛丁堡去見納皮爾是1615年夏天的事。那時(shí)，從倫敦到愛丁堡，乘坐馬車至少需要4天，不象今天，坐火車只需4小時(shí)。當(dāng)時(shí)的旅途也比我們想象得要困難得多：布里格斯沒能在約定時(shí)間趕到愛丁堡。一天，納皮爾在自己家中與朋友馬爾（john marr）談起布里格斯：“哦！約翰，” 納皮爾說，“布里格斯今天不會(huì)來了。”話音剛落，有人敲門。馬爾急忙下樓開門，使他高興的是，來人正是布里格斯。他把客人帶到爵士的房間里。納皮爾與布里格斯互相仰慕地打量了幾乎