1、復變函數與積分變換自測題1：第一章至第三章1、 已知函數f(z)在z0處連續，且f(z0)0.求證：存在z0的某個鄰域，f(z)在其中處處不為0.2、 試將1-cos+isin化為指數形式。3、 計算（3+4i）1+i。4、 計算tan(3-i)。（注意：指最后結果需將實部、虛部分離）5、 求解方程sinz+icosz=4i。6、 已知v(x,y)=epxsiny是調和函數，求實常數p的值，并求對應的復變解析函數f(z)=u+iv。7、 已知f(z)= ex xcosy-ysiny+i(ycosy+xsiny)，求f(z)。8、 已知解析函數f(z)滿足，當z0時，f(z)= ，求f(z)。9

2、、 計算，其中C：由0到2+i的有向線段。10、 計算，其中C：正向。11、 計算，其中C：順時針方向。12、 計算，其中C：（1，0）沿單位圓的上半周至（-1,0）.13、 計算，其中C：。已知條件：f(z)在內解析，且f(0)=1,f(0)=2.由此再計算的值。自測題1 答案1、 證明：反設題設結論不成立。用數學語言表示：。于是由于f(z)在z0處連續（連續必極限存在），及復變函數極限的定義，知f(z0)=0，與題目已知條件矛盾。題設結論獲證。2、 化為指數形式意味著必須標準化，成為形式。我們首先計算復數的模。（逆用二倍角公式，這一點大家一定要掌握）（絕對值符號千萬表丟了）下面考慮復數的輻

3、角。（逆用二倍角公式，注意cot0無意義，事實上時，原復數為0，輻角不存在，也不需要表示為指數式了）。因此，只要時，原復數就可以表示為下面的指數式：。3、 遇到這樣的問題一定要用最原始的方法進行計算，首先計算，則原式=（為什么可以這樣？因為）由此可見，我們絕對不能忽略Lnz的多值性，2ki很重要！4、 tan(3-i)= （和差角公式）（注意恒等式與二倍角公式的巧妙運用）5、 這個問題顯然不經處理是無法輕易解決的。考慮原方程可化為，則我們可知-iz=Ln4.從而z=iLn4=iln4-2k。6、 。（想想為什么可以這樣快地得到結果？知道前者就可以對偶地將后者設出來啦）7、 解這樣的問題，以首先

4、化簡f(z)為宜，因為復變函數的求導法則與實函數相同。（將復變初等函數展開為u、v的形式，要爛熟于心，“挫骨揚灰”都能認出來！）8、 方法一（強烈推薦！解析函數法），其中z0，C為任意復常數。方法二：首先利用已知條件求得，再利用Cauchy-Riemann條件，通過“偏積分”的方法將u、v求出。（很羅嗦，這里不作演示了）9、利用參數法，本題答案為。10、大家可以發現本題的解決依賴于第2題的結論！令，則原式=（注意：積分上下限的變化、積分變量的變化、被積函數的變化）=。11、考慮復變函數的積分是線積分，可以將積分曲線的方程代入表達式，則顯然分母被消去，原式=0.12、易見（用原函數法），而（令）

5、=，原式=。13、本題大家要勇于對拆項計算，利用Cauchy積分公式與一階導數公式，它等于8i；因此，運用參數化方法，=2.復變函數與積分變換自測題2：第四章14、 冪級數的收斂半徑是多少？15、 在z=0的鄰域內將展開成泰勒級數，它的收斂半徑是多少？16、 判別的斂散性。17、 證明cos（in）是無界數列，并判別的斂散性。18、 求在z=0處的泰勒展開式，其中C：正向。19、 求在圓環域和內的洛朗展式。自測題2 答案20、 本題計算的要點在于極限式的變換，因為復變冪級數與實函數的冪級數，求收斂半徑的方法是相同的。答案是0，因為極限式化簡至最后形如。21、 考慮f(z)的第一個不解析點（指離

6、復平面原點最近的一個）為z=1，則收斂半徑就是1.這是課本上一個很重要的結論，因為洛朗級數展開時分圓環域討論的思想，即由此而來。22、 這級數是收斂的。遇到這類問題，第一步一定是將實部虛部剝離，分別判定斂散性。大家可以先寫出前幾項，繼而得出結論：原級數=i+，實部、虛部均收斂。因為它們滿足Leibniz準則：通項取絕對值后單調遞減且趨于0.這是驗證常數項交錯級數斂散性，最重要的方法。，大家還記得嗎？23、 證明cos（in）是無界數列，并判別的斂散性。普里瓦洛夫（前蘇聯復變函數論泰斗）是莫斯科大學的教授，一次期末口試(要知道,口試可比筆試難多了,無論是從教師還是從學生的角度來說)，有一個學生剛

7、走進屋子，就被當頭棒喝般地問了一句“sinz有界無界？”此人稀里糊涂地回答了一句“有界”，就馬上被判不及格，實在是不幸之至。本題實際考查的核心即是sinz、cosz無界，因為當y為實數時，cos(iy)=chy=。因此，本題不證自明，級數發散。24、 解本題的核心是視，對給定的z用一階導數公式，則可得f(z)=2isin2z。這一函數的泰勒展式是十分簡單的。25、 考慮十分復雜，對于這樣的分式多項式函數求洛朗展式，多采用分部分式法。，這樣一來展式也就十分簡單了。復變函數與積分變換自測題3：第五章26、 z=1是函數 的什么奇點？27、 求。28、 設z=a為解析函數f(z)的m級零點，求。29

8、、 求以及。30、 設（C）：，求。31、 求，其中（C）：。補充列出第四、五章作業題中很重要的一些題：第四章：3、4、9、10、16.第五章：2、5、12、20、50、51、55、（實積分部分）22、24.這些題目不是常規方法能夠很好解決的。希望大家復習時加以重視其中第五章第5題正確答案為A，第51題正確答案為C，校內流傳的“參考答案”是錯的。第5題考慮z0是f(z)的本性奇點，則不存在；從而也不存在，z0是 (z)的本性奇點。自測題3 答案32、 易見將f(z)展開成（z-1）的洛朗級數，有無窮多個負冪項，因此z=1為f(z)的本性奇點。33、 極限不存在，因為z=1為函數的本性奇點（道理

9、同上）。34、 令，其中g(a)0.那么， 【注意在z=a點是解析的】35、 （注意z=是一級極點，用規則1） （注意z=0是一級極點，用規則1） 這兩題考查的都是一級極點用規則1后，連續使用洛必達法則進行變換。但請大家務必注意：洛必達法則在復變函數中，一般都只適用于0/0型的極限！36、 考慮積分曲線是一個橢圓，我們令t=z-1，則=，其中C是C向下做了1個單位的平移變換。顯然，C仍然只包含被積函數的1個奇點唯一的奇點本性奇點0.因此本題結果顯然為i。37、 當0r1時，C還包含被積函數的兩個一級極點i,-i，即包含了被積函數的一切奇點。因此，我們考慮一種另辟蹊徑的方法。r1時，我們轉而考慮被積函數在無窮遠點的留數，按照公式易求得留數為0；又可按照一級極點的規則1求得，