1、3 事件的獨立性事件的獨立性顯然顯然 P(A|B)=P(A)這就是說這就是說,已知事件已知事件B發生發生,并不影響事件并不影響事件A發生的概率發生的概率,這時稱事件這時稱事件A、B獨立獨立.B =第一次擲出第一次擲出6點點， A =第二次擲出第二次擲出6點點，將一顆均勻骰子連擲兩次，將一顆均勻骰子連擲兩次，設設(1). 兩事件的獨立性兩事件的獨立性1.3 概率的基本運算法則概率的基本運算法則由乘法公式知，由乘法公式知，當事件當事件A、B獨立時，獨立時， 有有 P(AB)=P(A) P(B) 用用P(AB)=P(A) P(B)刻劃獨立性刻劃獨立性,比用比用 P(A|B) = P(A) 或或 P(

2、B|A) = P(B) 更好更好,它不受它不受P(B)0或或P(A)0的制約的制約.P(AB)=P(B)P(A|B)定義定義設 A , B 為兩事件，若)()()(BPAPABP則稱事件 A 與事件 B 相互獨立 兩事件獨立的定義兩事件獨立的定義.BA:),A|B(P)A|B(P, 0)A(P1互相獨立與事件試證若例)()()()(APBAPAPABP)A|B(P)A|B(P:證)(1)()(APABPBP.)()()(獨立BPAPABPP26.26 在實際應用中在實際應用中,往往根據問題的實際意義往往根據問題的實際意義去判斷兩事件是否獨立去判斷兩事件是否獨立. 由于由于“甲命中甲命中”并不影

3、響并不影響“乙命中乙命中”的的概率，故認為概率，故認為A、B獨立獨立 .甲、乙兩人向同一目標射擊，記甲、乙兩人向同一目標射擊，記 A=甲命中甲命中, B=乙命中乙命中，A與與B是否獨立？是否獨立？例如例如（即一事件發生與否并不影響另一事件發生（即一事件發生與否并不影響另一事件發生 的概率）的概率） 一批產品共一批產品共n件，從中抽取件，從中抽取2件，設件，設 Ai=第第i件是合格品件是合格品 i=1,2若抽取是有放回的若抽取是有放回的, 則則A1與與A2獨立獨立.因為第二次抽取的結果受到因為第二次抽取的結果受到 第一次抽取的影響第一次抽取的影響.又如：又如：因為第二次抽取的結果因為第二次抽取的

4、結果不受第一次抽取的影響不受第一次抽取的影響.若抽取是無放回的，則若抽取是無放回的，則A1與與A2不獨立不獨立.兩事件相互獨立的性質兩事件相互獨立的性質q 若)()(, 0)(ABPBPAP則若)()(, 0)(BAPAPBP則q 若, 0)(, 0)(BPAP則“事件 A 與 事件 B 相互獨立”和 “事件 A 與 事件 B 互斥”不能同時成立.請問：如圖的兩個事件是獨立的嗎？請問：如圖的兩個事件是獨立的嗎？ 即即: 若若A、B互斥，且互斥，且P(A)0, P(B)0,則則A與與B不獨立不獨立.反之，若反之，若A與與B獨立，且獨立，且P(A)0,P(B)0, 則則A 、B不互斥不互斥.而而P

5、(A) 0, P(B) 0故故 A、B不獨立不獨立我們來計算：我們來計算：P(AB)=0P(AB) P(A)P(B)即即ABq 四對事件BABABABA,;,;,;,任何一對相互獨立,則其它三對也相互獨立B=P(A)1- -P(B)= P(A) P( )= P(A)- -P(AB)BP(A )= P(A- -A B)A、B獨立獨立故故A與與 獨立獨立 . B概率的性質概率的性質 = P(A)- -P(A) P(B)證明證明: 僅證僅證A與與 獨立獨立B容易證明容易證明,若兩事件若兩事件A、B獨立，則獨立，則 BABABA與與與,也相互獨立也相互獨立.(2). 多個事件的獨立性多個事件的獨立性將

6、兩事件獨立的定義推廣到三個事件：將兩事件獨立的定義推廣到三個事件： 對于三個事件對于三個事件A、B、C，若，若 P(AB)= P(A)P(B) 四個等式同時四個等式同時 P(AC)= P(A)P(C) 成立成立,則稱事件則稱事件 P(BC)= P(B)P(C) A、B、C相互相互 P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 獨立獨立. 定義定義 n 個事件 A1, A2, , An 相互獨立 是指下面的關系式同時成立)()()()(2121nnAPAPAPAAAPnjiAPAPAAPjiji1),()()(nkjiAPAPAPAAAPkjikji1),()()()(定義定義推廣到推廣到n個事件的

7、獨立性定義個事件的獨立性定義,可類似寫出：可類似寫出：相互獨立，個隨機事件如果nAAAn21也相互獨立，則nmmiiiiAAAA11的一個排列，是，其中niiin2121獨立隨機事件的性質獨立隨機事件的性質請注意多個事件兩兩獨立與相互獨立請注意多個事件兩兩獨立與相互獨立的區別與聯系的區別與聯系兩兩獨立兩兩獨立相互獨立相互獨立對對n(n2)個事件個事件?例例2 2 隨機投擲編號為隨機投擲編號為 1 1 與與 2 2 的兩個骰子的兩個骰子 事件 A 表示1號骰子向上一面出現奇數 B 表示2號骰子向上一面出現奇數 C 表示兩骰子出現的點數之和為奇數 則2/ 1)()()(CPBPAP4/ 1)()(

8、)(CAPBCPABP)()()()()()(APCPCPBPBPAP但0)(ABCP)()()(8/ 1CPBPAP本例說明本例說明 不能由 A, B, C 兩兩獨立A, B, C 相互獨立對獨立事件，許多概率計算可得到簡化：對獨立事件，許多概率計算可得到簡化：例例3 三人獨立地去破譯一份密碼，已知各人能三人獨立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為譯出的概率分別為1/5，1/3，1/4，問三人中至，問三人中至少有一人能將密碼譯出的概率是多少？少有一人能將密碼譯出的概率是多少？（P 25 習題習題12） 解：將三人編號為解：將三人編號為1，2，3，所求為所求為 P(A1A2A3)記記

9、Ai=第第i個人破譯出密碼個人破譯出密碼 i=1,2,3解法1)()()()()()()(321313221321AAAPAAPAAPAAPAPAPAP利用獨立性12 P(A1A2A3)1231()P AAA )(1321AAAP)()()(1321APAPAP =1-1-P(A1)1-P(A2)1-P(A3) 6 . 0534332541解法2簡便方法n個獨立事件和的概率公式個獨立事件和的概率公式:nAAA,21設設事件事件 相互獨立相互獨立, ,則則也相互獨立也相互獨立nAAA,21也就是說，也就是說，n個獨立事件至少有一個發生個獨立事件至少有一個發生的概率等于的概率等于1減去各自對立事件

10、概率的乘積減去各自對立事件概率的乘積.)()()(1)(1)(212121nnnAPAPAPAAAPAAAP例例4 加工某零件三道工序，三道工序的次品率加工某零件三道工序，三道工序的次品率分別為分別為2%，1%，5%，假設各道工序互不影響，假設各道工序互不影響，求加工出來的零件為次品的概率。求加工出來的零件為次品的概率。記記 Ai=第第 i 道工序出現次品道工序出現次品 i=1,2,3利用獨立性 P(A1A2A3)(121nAAAP)(1321AAAP)()()(1321APAPAP =1-1-P(A1)1-P(A2)1-P(A3) 0783. 0例5 某型號高射炮的命中率為0.2, 現有一架

11、敵機即將入侵，如果欲以 90 % 的把握擊中它，則需配備此型號高射炮多少門？ 設需配備 n 門此型號高射炮，設事件Ai 表示第 i 門炮擊中敵機，9 . 08 . 01)(11)(1nniniiAPAP32.10n故需至少配備11 門炮 n重Bernoulli試驗中事件 A 出現 k 次的概率記為)(kPnAA,10,)(ppAP且(3). 伯努利概型伯努利概型 每次試驗的結果互不影響 稱為這 n 次試驗是相互獨立的 試驗可重復 n 次每次試驗只有兩個可能的結果： n 重伯努利伯努利 (Bernoulli)試驗：例例6 6 袋中有3個白球,2個紅球,有放回地取球 4 次,每次一只,求其中恰有2

12、個白球的概率.解解 古典概型45n設 B 表示4個球中恰有2個白球222423CnB42224523)(CBP.3456. 052532224C解二解二 每取一個球看作是做了一次試驗. 5/ 3)(AP記取得白球為事件 A ，有放回地取4個球看作做了 4 重Bernoulli 試驗, 記第 i 次取得白球為事件 Ai感興趣的問題為:4次試驗中A 發生2次的概率4321AAAA4321AAAA4321AAAA4321AAAA4321AAAA4321AAAA.3456. 05253)(2224 CBP一般地，若若10,)(ppAP則則nkppCkPknkknn, 2 , 1 , 0,)1 ()(二

13、項概率公式 例 7 對某種新藥的療效進行研究，設此藥有效率為0.8，把藥給10 個病人服用，求這 10 病人中至少有6個人有效的概率10 重伯努利試驗)10() 9 () 8 () 7() 6(1010101010PPPPP10610102 . 08 . 0kkkkC97. 0問：當和式數量巨大時如何計算？例題5也可用此方法? 我們介紹我們介紹了事件獨立性的概念了事件獨立性的概念. 不難不難發現，當事件相互獨立時，乘法公式發現，當事件相互獨立時，乘法公式變得變得十分簡單，因而也就特別重要和有用十分簡單，因而也就特別重要和有用. . 如如果事件是獨立的，則許多概率的計算就可果事件是獨立的，則許多

14、概率的計算就可大為簡化大為簡化. . 需要指出的是，不少復雜事件概率的需要指出的是，不少復雜事件概率的計算是前面的加法公式和乘法公式的綜合計算是前面的加法公式和乘法公式的綜合運用和推廣運用和推廣. . 下節將給大家介紹的下節將給大家介紹的就是這樣的公式就是這樣的公式. .全概率公式和貝葉斯公式全概率公式和貝葉斯公式一個元件(或系統)能正常工作的概率稱為元件(或系統)的可靠性系統由元件組成,常見的元件連接方式：串聯并聯1221系統的可靠性問題補充補充21AA21AA 獨立性應用設 兩系統都是由 4 個元件組成,每個元件正常工作的概率為 p , 每個元件是否正常工作相互獨立.兩系統的連接方式如下圖

15、所示，比較兩系統的可靠性.A1A2B2B1S1:)()()()(212121211BBAAPBBPAAPSP)2 (22242ppppA1A2B2B1S2:212)()(iiiBAPSP22)2(pp. )()2(122SPpp222pp0)2 ()2 ()(22pppf注 利用導數可證, 當 時, 恒有) 1, 0(p系統二更可靠._)2(_;) 1 (:. 7 . 0)(, 3 . 0)(,)(aBAaBABAPBPaAP相互獨立，與若事件互不相容，與若事件試問設)(17 . 0)()(1)()()()()()()()(ABPaABPAPABPBPBPAPBAPBPAPBAP思考題思考題;

16、 3 . 0, 0)(,) 1 (aABPABBA代入上式得互不相容，則與若事件.733 . 017 . 0)()()()2(aaaBPAPABPBA解得可得相互獨立，則有與若事件13. 灌裝注射液需要四道工序，各道工序的廢灌裝注射液需要四道工序，各道工序的廢品率分別為品率分別為0.5% ，0.2%，0.1%，0.8%，假假設各道工序是否合格是獨立的，求經四道工設各道工序是否合格是獨立的，求經四道工序全部合格的概率。序全部合格的概率。記記 Ai=第第 i 道工序合格道工序合格 i=1，2，3，4利用獨立性)(4321AAAAP)()()()(4321APAPAPAP)(1)(1)(1)(1 4

17、321APAPAPAP984. 0習題一14. 為了提高抗菌素的產量和質量，需要對菌種進行培養，如果某菌種的優良變異率p為0.03，試問從一大批菌株中，采取多少只來培養，才能以 95 % 的把握從中至少可以選到一只優良菌株？設需采取n只來培養 ，Ai 表示出現 i只優良菌株95. 097. 01)(11)(1nniniiAPAP99n率。求兩個球顏色相同的概一個球，只黑球。從兩袋中各取只白球、只紅球、只黑球，乙袋中有只白球、只紅球、甲袋中有91061537.15獨立性)(P)(P)(P)(P)(P)(P)(P)(P)(PP(A).332211332211BABABABABABAiBiAii種顏

18、色球乙中第種顏色球，甲中第18. 甲、乙兩射手擊中目標的概率分別為0.8與0.9 ，如果同時獨立地射擊一次,求下列概率：(1) 兩人都命中；(2) 恰有一人命中；(3) 至少一人命中；(4) 兩人都不中。獨立性)()()(BPAPABP)()()()()()()(BPAPBPAPBAPBAPBABAP)(1)(1 )()()(BPAPBPAPBAP)(1)(1 1)(1)(BPAPBAPBAP)2 . 0()8 . 0()8 . 0()2() 3(223333CPP20. 日光燈使用壽命在3000小時以上的概率為0.8,求3只日光燈在使用3000小時后,(1)都沒有壞的概率；(2)壞了一個的概率；(3)最多只有一只損壞的概率.3重伯努利試驗)2 . 0()8 . 0()2(2233CP33)8 . 0() 3(P21.某單位有12臺電腦，各臺電腦是否被使用是獨立的，每臺電腦被使用的概率為0.7，問在同一時刻有9臺或更多電腦被使用的概率是多少? 在同一時