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文檔簡介

1、習題五1證明：與均為冪等矩陣，即，證明:因為,故,.2設，試證證明:只需證明即可,實際上,由于,故.3設，則（1）（2）證明:(1)必要性.設,則,故;充分性.設,由于,故,則存在,又由第1題,知,在此式兩端同時乘以,有.(2)必要性.設,則,故;充分性.設,由于,故,則存在,又由第1題,知,在此式兩端同時乘以,有.4證明：（1）（2）證明:(1) 因為,故;(2) 因為,故.5驗證（1）（2）證明:(1)設,則證明,即.; (2)設,則證明,即.;6求下列矩陣的逆：(1) （2）并分別求方程和的通解，其中.解:(1)對矩陣作初等行變換,則,故,該方程組的通解為,其中為任意常數.(2) )對矩

2、陣作初等行變換,則 故,該方程組的通解為其中為任意常數.7求下列矩陣的極小范數逆（1）（2）并分別求方程和的最小范數解，其中 解:(1)因為為行滿秩矩陣,故,方程組的最小范數解為.(2) 對矩陣作初等行變換,故 則.方程組的最小范數解為.8設矩陣，則是不相容線性方程組的最小二乘解的充要條件是對任意，是方程組的解證明:設,則為的最小二乘解.充分性.若,則,故為的最小二乘解.必要性.若為的最小二乘解,即,則又,且 ,則,即.9求下列矩陣的最小二乘逆：（1），（2）并分別求不相容方程和的最小二乘解，其中 .解:(1)因為為列滿秩矩陣,故,方程的最小二乘解為.(2) 對矩陣作初等行變換,則 故,方程的

3、最小二乘解為.10用滿秩分解法求下列矩陣的極小最小二乘逆：（1）（2）并分別求不相容方程和的極小最小二乘解，其中 解:(1) 對矩陣作初等行變換,則 故,方程的極小最小二乘解為.(2) 對矩陣作初等行變換,則 故,方程的極小最小二乘解.11證明：線性方程組有解的充要條件是和.證明:充分性.因為,故線性方程組有解,且為其解.必要性. 設線性方程組有解,設為,即,顯然,且.12.設,那么方程相容的充要條件是,對某個,有成立,且方程的通解為 ()證明:必要性.若方程相容, 設為其解,即,則.充分性.若對某個,有成立,則是方程的解,且對任意,都是方程的解,因為又設為任一解,即,則可寫為滿足的形式.13.設是正交陣,若,其中是階下三角矩陣,證明:.證明:只需證明矩陣滿足M

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