1、第六章 高階譜分析 6.1三階相關和雙譜的定義及其性質 6.2累量和多譜的定義及其性質 6.3累量和多譜估計 6.4基于高階譜的相位譜估計 6.5基于高階譜的模型參數估計 6.6利用高階譜確定模型的階 6.7多譜的運用第六章 高階譜分析 6.0 引言 我們先回想一下前面的所學的知識。 維納Filter，自順應信號處置，現代譜估計等，都是用信號 模型分析法，替代了信號波形分析法。在這些實際中，以為：一個平穩隨機信號是由圖6-1所示信號模型產生： V(n)u(n)y(n)x(n)H(z)h(n)圖6-1 隨機信號的模型 其中：是均值為零，方差為的高斯正態白噪聲。 是線性時不變系統，具有最小相位。那

2、么信號的譜與模型參數有如下關系： 6.1 模型中，還假設：加性丈量噪聲是高斯白噪聲，其均值為0，方差為1，且與信號統計無關，即不影響信號的譜外形，即： 6.2 22|)(|)(juxxeHS222| )(|)()(vjvxxyyeHSS)()()()(2mhnynuEmRuuy 從上面的式子，可以看出，功率譜及相應的自相關函數是不含信號的相位信息的被稱為“盲相的。 而在實踐中，往往非高斯，不是最小相位，甚至是非線性的，也往往不是白色的。 這就需求用高階譜來分析信號。 6.1 三階相關和雙譜的定義及性質 一、定義 設為零均值，三階實平穩隨機序列，其三階相關函數為： 6.3 2nd-order)(

3、)()(),(2121mnxmnxnxEmmRxx)()()(mnxnxEmRxx 它的二維付里葉變換就是雙譜Bi-spectrum。 bi-spectrum 6.4 二、性質 三階相關函數的對稱性symmetry Properties 6.5)(2121221121),(),(mmxxmmxemmRB | |,|21ix),(),(),(),(),(),(2122211121211221mmmRmmmRmmmRmmmRmmRmmRxxxxxx坐標變換實質 這可以經過定義式，直接證明。0002m1m12mm )(12mm 2m1m3210 1 2 31/8平面內值！2m21mm 1m01m02

4、m21mm 意義：只需知道圖中由，兩直線在第一象限中所限定的無限三角形內的，就可以得知整個平面內一切的的值。 雙譜的對稱性，周期性和共軛性： 當為實序列時，由定義和三階相關函數的對稱性很易證明！ 闡明意義：共軛性：Conjugate Symmetric Properties),(),(),()2,2(),(),(),(),(),(),(21*2121212112121212211221wwBwwBwwBwwBwwwBwwwBwwwBwwwBwwBwwBxxxxxxxxxx 雙譜的對稱性和周期性闡明，只需知道如圖中的陰影部分內的，就可知道整個平面內各點的值。 確定性序列的雙譜 設為有限長確定性序

5、列，其雙譜為： 6.6 其中：0-平面內的值221161101022121)()(),(),(21*2121HHHBhnjnenhH)()( 可以這樣來證明： 的三階相關函數為 其雙譜為：)(nh)()()(),(2121mnhmnhnhmmRnh)()()()()()()()()()()()(),(),(21*212121)()(2)(1)(2)(212121222111221121221121HHHHHHenhemnhemnhemnhmnhnhemmkBnwjnmnjmmnjmmmjnmmmmjhmmh 雙譜中的相位信息 由 ，并設： 那么有： 6.7 例：求一正弦波 和含直流分量的正弦波

6、 的雙譜。)()()(),(21*2121HHHBh)(),(2121| )(|)(| ),(|),(21jjhheHHeBB| )( | )(|)(| | )(|212121HHH,Bh)()()(),(212111ttx01cos)(tAtx02cos)( 解： 的頻譜 是兩個 的函數 由雙譜定義式確定序列： 的雙譜，只在 的公共交點上有非零值即三個因子全不為0時， 有三組線： ，)(1tx)(1X)()(21)(001X)()()(),(21*12111211XXXBx)(1tx0201及0),(21xB02101，020三組線沒有共同交點2W1W0),(211xB0W021WW0 的頻

7、譜 為 同理，只是這時每組直線變成三根： )(2tx)(2X)()(21)()(002 AX000，02W0W0W1W0W0W)()()(),(21*22212212XXXBxotherwise 000 4)0 , 0(),( 00000021213),-),(,),(-,),(,(), (AA 從上例可見，雙譜可以顯示一個系統的對稱性，即輸出中有無直流分量。實踐上，一雙譜還可以顯示系統能否顯現非線性，輸出將含有高次諧波，如 等。 假設 除了含有 外還有 ，那么每組直線將含四根，他們有六個公共交點。 利用這個特點，即可監測機械系統能否發生損壞而產生高次諧波振動。t02cos)(X)(0)2(0

8、20021ttx02cos)( 6.2 累量和多譜的定義及其性質 前面討論了三階相關及其付里葉變換雙譜。它不是將K階相關or K階矩定義為K階譜，而是將與高階矩相關的參數累量作為高階譜的付氏變換對。只是特別的，三階累量正好與三階相關等同。 6.2.1 隨機變量的累量probability density function 設隨機變量x的概率密度函數為 ，那么 的特征函數為： 6.8 Taylor Series泰勒展開：)(xfxxexfjvxEvjvxd)()exp()(!)()(!)0( !)0(!)0()0()(1)(1)(1)(1kjvCjvkjvkvkvkkkkkkkkkkkkk 這里

9、： ， 為 的 階累量 例：調查具有特殊位置的高階隨機變量 的累量 解： 的概率密度函數 為 其特征函數 ： 結果闡明，高斯隨機變量的二階以上的累量為零。這是由于二階以上的矩不提供新的信息。 0)()(ln1)0(vkkkkkkvdvdjjCkCxk),(2mxx)(xf22)(2121)(mxexf)(v)3(0,! 2)()(21)(ln)()d21)()(2212222)(21212222kCCmCjvjvmvjmvvvxeevevkjvxmxvjmv 二、累量與矩的關系 先將按泰勒級數展開 代入 寫成： 6.10a !1kjvxjvxekjvx)(vkkkkkjvxmkjvmjvjvm

10、xEkjvxEjvxjvExkjvxjvxxfeEv!)(! 2)(1 !)()(! 2)(1 d !1)()(22122 又由累量定義式， 還可寫成： 6.10b 比較這兩個式子： 項次： kkkxkkkkxkkjvkCnjvjvkCjvkCvv)(!1)(! 21)(!1 )(!exp)(exp)(12111)(vxjv)(11xEmC)(212122mxEmmC)(2331312133mxEmmmmC)(612434141221312244mxEmmmmmmmC 可見：二、三階累量分別就是二、三階中心矩。當均值為零時，就是二、三階相關。但四階及其更高階累量相應的中心矩。 累量的物理意義：

11、 一階累量是隨機變量的數學期望，大致地描畫概率分布的中心。 二階累量是方差，描畫了概率分布的離散程度。 三階累量是三階中心矩，描畫了概率分布的非對稱性。 定義： 無量綱 為偏態系數，或偏態歪斜度。 顯然，正態隨機變量 的偏態 33CSx)0(133mxECg0gS03C 設 ，對四階累量的分析正態隨機變量 而正態隨機變量的四階矩為： 闡明：累量是恣意隨機變量的矩與正態隨機變量的同階矩的差。 用均方差的四次方 除四階累量，記為 Kurtosis峰度 為峰態，顯然正態分布 =0 01m22443mmC42233m4x344mxxx正態分布比正態分布鋒利的直線 比正態分布平坦的曲線x0f(x)Gmm

12、CGmmGGmmmxECkkk44433313)(（正峰）0 x0 x負值）(0 x 6.2.2 隨機過程的累量 思索隨機序列 的 階累量。設矢量 ， 是隨機矢量；矢量 ， 是 的特征函數的自變量。 的 階累量 定義為累量生成函數 的泰勒級數展開式中 的系數。其中累量生成函數為 即 6.11 隨機過程的累量與前面討論的隨機變量的累量類似，只是用矢量替代了標量，所以它們所用的運算方法和所得到的結論都是類似的。 , 21kxxxkTkxxxX21ixTkvvvV21ivixXkkxxxC,21 Vkvvv,21XjVEVTexpln02121,2121,knvvvkkkkxxxvvvvvvjC 6

13、.2.3 多普的定義 設 為平穩隨機過程，其 階累量 是絕對可和的，那么 的 階譜 定義為 階累量的 重傅里葉變換，即 通常把 的 稱為高階譜或多譜，特別地，將三階譜 稱為雙譜，四階譜 稱為三譜。 6.2.4 累量和多譜的性質 1、累量具有對稱性 nxk121,kxkC nxk121,kxkSk1kiikikxkkxkjCS11121,121,exp,213kxkS,21, 3xS321, 4,xS 2、相互獨立的兩隨機序列的組合序列的累量等于零 3、隨機信號經過線性系統后的累量等于隨機信號的累量系統沖激呼應的累量的卷積 4、信號的高階累量可以決議模型的沖激呼應 6.3 累量和多譜估計 在信號

14、模型中，信號 的累量可根據式6.17b由信號模型的沖激呼應 來計算。但在許多實踐運用中，信號的累量只可以由丈量到的有限長數據序列 來估計。結合第四章中自相關函數的估計式4.5，也可以用時間平均替代統計平均，來求得累量 的估計 稱為取樣累量。例如均值為零的信號的三階取樣累量 nx nhNxxx,21xkC,xkC, 為 6.30 式中， 是在區間R內的取樣數。四階取樣累量要復雜一些，根據式6.12可知，四階累量與四階相關和二階相關有關，因此，四階取樣累量定義為 6.31 2121,31,nxnxnxNCRnRxRN 321, 41nxnxnxnxNCRnRx 13, 22, 232, 21, 2

15、xxxxCCCC 21, 23, 2xxCC 式中，二階累量的估計 就是第四章中式4.5所表示的自相關函數的估計取樣自相關。 累量估計的計算量比自相關估計大得多，而且估計方差也大得多。通常運用分段、加窗等平均、平滑技術來減少估計的方差。 6.4 基于高階譜的相位譜估計 自相關函數喪失了信號的相位信息，而由累量可以得到信號的相位譜。在圖6.1所示的信號模型中，把隨機信號 看成是由白噪聲 鼓勵線性系統 產生的。設非最小相位系統表示為 ，其中 是相位譜。xC, 2 nx nu zH jeHH 在實踐運用中，運用與三階累量對應的雙譜 和四階累量對應的三譜 就夠了。根據式6.18b,它們與系統頻率特性

16、有如下關系： 6.32 6.33 根據式6.32或式6.33，可由估計得到的 或 推算出系統 的相位譜 。普通有迭代算法和矩陣偽逆3, 3, 3jxxeSS4, 4, 4jxxeSSjeH21212132121,321,3,HHHSux 3213213214321321, 4321, 4,HHHHSux34 zH 算法兩種估計相位譜的方法，下面引見矩陣偽逆算法。 1由 推算 在實踐運用中，都是用離散值進展計算。式6.32的離散方式為 6.34 式中的 對應于 。這里， 是 和 的取樣間隔，即假設它們的取樣間隔相等，表示為 。當 或 等于N時，對應的 或 等于 。取初值 。因此， 和 離散化后分

17、別用整數 和 表示 。在圖6.2b的陰影區域所表示的雙譜的主值區域3 2121213,kkkkkk2 , 1ikiik12211k2k12 00 121k2k 中， 的取值為 ； 的取值為 。 由式6.34可以得到方程組 2k2, 2 , 12Nk1k2221, 1,kNkkk 2121 , 13 3212 , 13L L NNN111, 13 5323 , 23 4222 , 23L LNNNN222,23 將以上方程組寫成矩陣方式 式中 A3 TNNN2,23 , 22 , 21, 12 , 11 , 133333 TN21100020000000000001011000000001020

18、11000000001000000011010000000011100000000012A 可以證明， 的秩等于N-1，可以消去 中與 有關的最后一行，便得到一組滿秩方程 式中， 矩陣 的維數決議于N是奇數還是偶數。當N是奇數時，維數為 ；當N是偶數時，維數為 最后，經過偽逆求解，得到 AA NA TN121A12/2 NN14/11NNN1TTAAA (2)由 推算 式6.33的離散方式為 定義 取 , 初值 ， 4 3213213214,kkkkkkkkk lknknsnink,31400 nnnkknnk6216110Nn, 3 , 2 00 有 寫成矩陣方式 式中， 2122s 361

19、422133s 621112216NNs NNNNNLSB TN121 TNssss32L L 且 矩陣 是 的正定矩陣，對其直接求逆便得到相位譜 2321006142300012NNNNBB 11NNSB1 6.5 基于高階譜的模型參數設計 6.0 引言 根據知的有限長的數據序列來估計圖6.1所示的隨機信號模型的參數，稱為模型參數估計。模型可以是AR模型、MA模型和ARMA模型，估計它們的參數時，要根據一定的準那么，例如通常比較多地采用最小均方差準那么。第四章討論基于自相關函數的模型參數估計問題。在那里，估計得到的模型參數僅與信號的自相關函數或功率譜包絡相匹配，只適宜于高斯隨機信號由于高斯過

20、程僅用二階統計量就可以完全加以描畫。基于自相關函數的模型參數估計存在以下幾個問題。 1假設要估計非高斯信號的模型參數，那么僅僅思索與自相關函數相匹配，就不能夠充分獲得隱含在數據中的信息。 2假設信號不僅是非高斯的而且還是非最小相位的，那么采用基于自相關函數的估計方法所得的模型參數，由于它只能是最小相位的，所以反映不出原信號的非最小相位的特點。 3當丈量噪聲較大，尤其當丈量噪聲是有色噪聲時，基于自相關函數方法所得的模型參數有較大的估計誤差。 基于高斯譜的模型參數估計方法可以有效地處理上述三個問題。 思索圖6.1所示的信號模型，如今假設，圖中的 是平穩非高斯白噪聲序列， ； 是高斯有色噪聲； 是有

21、理傳輸函數， 其差分方程如式(6.24)所示。 nu 0nuE121,121,kukkukC nv zH 將式6.25、式6.26和式6.28合寫成一個公式如下： 該式在方式上類似于式4.8。思索到 ， 是因果的，即當 時上式右端等于零，便可從上式得到所謂高階Yule-Walker，方程如下： ， ， 6.35 下面分別討論基于高斯譜的AR、MA和ARMA模型參數及階數的估計。對各種算法的復雜程度、抗噪才干及它性質那么不作深化討論。 njhjhbniCakjqjukxkipi20,00 , 0 ,xkykCC, nhq 00 , 0 ,0nhniCaukxkipi0q 6.5.1 AR模型參數

22、估計 令ARMA模型的差分方程式6.24中的 ，就得到模型。這種情況下，高階Yule-Walker方程式6.35成為 式中， 是一個取恣意值的參量， 是信號 階 累量的一維“切面，即在 中，僅有 是自變 量，其它參數均 為固定值。上式中取 個線性方程聯立，令 ，那么上式可表示成 其中 0q00 , 0 ,0,0,0khkiCaukxkipi000k0 , 0 ,0,kiCxkk121,kxkC112,k)0(1MMpMp1, 2 , 1 00AkCTpaaA11 和 矩陣 具有Toeplitz性質，參數 的選擇應保證 的秩為 ，從而可解出 個變量 。但這個問題的求解尚無普通性結論。通常為“平安

23、起見，取 個一維切面，即取 ；取 ；將對應的線性方程聯立求解，得到 。 在常用的三階和四階累量Yule-Walker方程中，系數分別為 和0 , 0 ,10 , 0 , 010 , 0 ,20 , 0 , 120 , 0 , 020 , 0 ,10 , 0 , 110 , 0 , 010,0,0,0,0,0,0,0,0kpMpCkMpCkpCkCkCkpCkCkCkCxkxkxkxkxkxkxkxk 0kC0k 0kCpppaaa,211p)0(, 2 , 1MMp0 , 0 ,0qkpkak, 2 , 10, 3,kCx0 ,0, 4kCx 由于基于累量來估計AR模型參數的方法，也歸納為求解

24、Yule-Walker方程，因此，這種方法與基于自相關函數估計AR模型參數的方法具有類似的估計性質，同時也同樣存在著估計的穩定性問題。 與4.6節中討論的AR譜估計性質相類似，AR過程的多譜估計與知的多譜相匹配程度，也可以用線性預測誤差的多譜來度量，同樣也可以用多譜的平坦度來衡量。假設用前 個 值作線性預測見式4.42即 那么預測誤差為 p nx knxanxkpk1 1,00aknxanxnxnekpk 根據式6.18b可寫出預測誤差 的多譜為 假設線性預測系數 ，使得 上式中 為一常量，那么有 6.36 即確實是由的非正態白噪聲鼓勵一個參數為的AR過程所 ne 121,1121121,kx

25、kikikekSAAASkaukkekS,121,uk, ikikukxkAAAAS11121, 產生的。因此，預測誤差的多譜的平坦程度可以作為AR過程與實踐多譜接近程度的度量。 另一方面，用多譜來估計AR模型參數，也存在著穩定性問題。在用功率譜估計AR模型參數時，為處理穩定性問題，只需把不穩定的極點交換成其倒數極點它們關于園是對稱的就行了，因此用多譜來估計AR模型參數時，卻不能作這種交換即將 換成 ，由于以雙譜為例， 而， 可以看出 與 并不相等。對其它高階譜也是一樣。因此，用多譜估計AR模型參數時，必需用適宜的方法把非穩定極點變換成非因果AR過程。實踐上，非因果AR模型在一些特殊情況下，例

26、如，在天文信號、空間信號、地質信號以及被污染了的圖像信號的處置中大量得到運用。 1, 2111, 2zSzAzAzSxxz1z 12111211121, 3,zzAzAzAzzSx2111211111211, 3,zzAzAzAzzSx21, 3,zzSx1211, 3,zzSx 非因果AR模型估計方法通常有三種：全搜索法，優化計算法和轉換為MA模型法。 6.5.2 MA模型參數估計 對于由第四章中的式4.11所表示的MA模型，已有不少用累量方法估計模型參數 的方法。這些方法大致可分為三類：閉合解方法，線性代數方法和非線性優化方法。式6.22或式6.23就是閉合解方法的公式。這種方法抗噪音才干

27、差，而且沒有提供任何關于估計誤差和修正方差的信息，因此難以實踐運用。但它有實際分析價值。比較而言，線性代數方法最為適用。優化方法涉及非線性問題。因此實現起來比較困難。但近年來，有人提出用類人工神經網絡的并行構造解非線性規劃問題，從而可以實現優化方法。下面討論后兩類算法。ib 線性代數法 為了得到基于累量的關于變量 的線性方程，需求利用信號的二階統計量與高階統計量之間的關系。先調查累量 的一維切面 ： 式中，m為參量，取任一數值。例如，當 時， 是 的一維對角切面 。 的傅里葉變換記為 ，其Z變換記為，即 根據累量計算公式6.17b以及Z變換的性質，上兩式可分別表示成 ib121,kxkCmCx

28、k,mCmCxkxk,0m0,xkCxkC,121kmCxk, xkS, zmCzSxkxk, mnhnhnhmCknukxk20, 上式代入式6.38，得到 6.39 式6.39給出了高階譜與二階譜之間的關系，它對應的時域表達式為 6.40 根據累量的對稱性，可以只取其主區域參見圖6.2b的 陰影區域，即取 。假設取 ，那么式(6.40) 的右端僅有一項為哪一項非零值，于是得到線性方程組 zSzHzzHzSzHxzmzkuxkuk,2,11 mlhlhlRlhmlCzkxxixkiukzu0,0,qq2qm qqbRbqlCqxxixkqiukzu2,0, 和 6.38 式6.38中， 是

29、的Z變換，實踐上 符號*表示復卷積。 再思索二階譜 即功率譜 ，由式4.9得知： 或寫成 zHzzHzHzSmzkukxk1, zHk 2 nhk 2 zHkkZHzHzHzH個22 zSxz, zSxx 1,zHzHzSzSzuxxxz zSzHzHxzzx,11 常用的三階和四階累量線性方程組分別為 利用最小二乘法即可由上兩式的任一式子解出式中的q+1 個變量值 和 。當存在丈量噪聲時， 在此情況下，假設，那么可不需求知道。 2、非線性優化算法 優化算法有全搜索法和非線性最小二乘法兩種方案。全 搜索法與前面引見的AR模型的全搜索法一樣，只是需求 qCbRbqllCxzuuqxxlxqi,

30、3, 3, 31 qCbRbqllCxzuuqxxlxqi, 4, 4, 41qlbl, 2 , 12,3uuqb 將代之以。如今討論非線性二乘法。 以三階累量為例，首先由N個知數據 來估計三階累量，得到 利用累量的對稱性質，只需求計算圖6.2b的陰影區域即主區域中的累量，即上式中的 和 只取以下點上的值： 然后，調整q+1個參數 和 使下式所示的代價函數 最小： 6.41 Nxxx,2,1 21121, 31,nxnxnxNCNnx12 qqq,0 ,;2 , 2,1 , 2;0 , 2;1 , 1;0 , 1;0 , 0,21qlbl, 2 , 1u , 3J221, 300,212121

31、xlllqiqCbbbJ 調整參數可以采用迭代算法，如最陡下降法、牛頓法或Marqnardt-hevenberg等。例如，用最陡下降法 式中， 是增益常量，由式6.40得到 這是一個非線性最小二乘方問題，Mendel等人提出用人工神經網絡來實現這個問題的求解。人工神經網絡將在本書第八章中討論。 qlnbnbnbJlll, 2 , 1,121, 300,2121xlllqiqlCbbbbJqlbbbbbbmmlmlmmllll, 2 , 1,12221121 6.5.3 ARMA模型參數估計 人們已提出不少基于累量的ARMA模型參數估計方法。下面引見其中的三類方法：剩余時間序列法、非線性優化法和

32、相位恢復法。 1、剩余時間序列法 實踐上這就是第四章4.10.2節中的方法。這種方法分成三步來完成。 第一步：估計ARMA模型中的AR系數 ，可采用最小二乘方或AR模型參數估計等真法來求解超定線性方程組式6.35，其中取 第二步：求剩余時間序列 ，其中 是由ARMA模型差分方程決議的信號，iaqpqpqkMMpqqq, 1,;0, 2, 10 nxnxnx nx 即 是對 的估計： 式中， 是 的估計值。如今假設 ，那么有 就是說，剩余時間序列 是一個MA 模型； 第三步：用前面引見的任何一種MA模型參數估計方法估計 。 lnubinxanxqllpii01 nx nx inxanxpii1i

33、a iaiiaa lnubnxqll0 nx qlb 2、非線性優化法 該方法與MA模型參數估計的非線性二乘法一樣，也分兩步進展。 第一步：根據丈量數據 估計自相關函數 (式(4.5)和累量 (式(6.30)或式(6.31)。 第二步：設矢量 求最正確估計 ，使下式表示的代價函數 最小 式中， 為一常數。 nx xxRxkC,ukvuqpbbbaaa,222121J 112121,11,2|,2|21kkxkkxkxxxxCCRRJ 3、相位恢復法 首先，基于二階統計量即功率譜估計出一個最小相位的參數模型，然后，用各種技術恢復相位信息。下面引見三種恢復相位的技術。 第一，全搜索法。這種方法前面

34、曾經討論過。其詳細步驟是：首先，基于二階統計量估計出最小相位模型 ；然后，將假設干零點映射到單位圓外，極點不動，使代價函數(式(6.37)最小，從而得到非最小相位系統 。值得留意的是，這種方法喪失了系統 中的全通因子，稱為盲全通因子的方法。這是由于第一步處置中采用的是相關函數的信息即二階統計量。設某一系統的 為 zHMP zH zH zH 111azazzHzH 式中， 是全通因子，它對幅度特性沒有任何奉獻， 但卻提供了部分相位信息。只需采用了相關處置，全通因子就會被丟掉。 第二，相位估計法。首先基于二階統計量估計出 的模 ，即由 得出 。然后基 于高階譜估計 的相位譜 。 第三，系統級聯法。

35、將最小相位系統 分解成一個最小相位系統 與一個全通系統 的級聯。 基于二階統計量來進展估計， 然后用作相位校正。 與 的功率譜一樣。11azaz zH zH 22zHzSuxx 2121zSzHxxu zH zH zHMP zHAP zHAP zHAP zHzHzHAPMP zHMP 6.6 利用高階譜確定模型的階 由于累量含有相位信息，且具有抗有色高斯噪聲的才干，所以基于高階譜來確定模型的階，比基于功率譜要可信。但信息論中的一些準那么，如AIC等是以二階統計為根底，而且運用了高斯過程的似然函數，所以這些準那么對于有色高斯丈量噪聲的干擾便不適用。下面討論基于高階譜來確定 模型的階的方法。至于

36、模型和 模型的階確實定問題，只不過是 模型的特例。 高階Yule-Walker方程式6.32)描畫了ARMA模型。為了書寫方便，以三階累量為例，并留意到 ，變量 ，將方程寫成以下矩陣qpARMA, qMA pARqpARMA,10apqqq, 21， 方式： 記為 6.42 假設 矩陣 的秩為 ，那么式6.42可獨一確定AR系數 。因此，選擇適當的 ，可使得 為滿秩。但是，可以找到某些ARMA模型，對一切的 都不是滿秩的。因此，取累量的 個切面： 得出個聯立方程:0, 30, 30, 310, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 3, 2, 11, 1, 1, 1,

37、3,2,2,1kpqCkqCkqCaaakpqCkqCkppqCkqCkpqCkpqCkppqCkpqCkpqCxxxppxxxxxxxxx 0, 30, 3kCakCxxpp 0, 3kCxpia0k 0, 3kCx 0, 30,kCkx1pqpqpqk, 1,0 為： 上式左端的 的矩陣記為 。可以證明，矩陣 有滿秩 。將 更加普通化地表示為 ， qpqCpqpqCqqCpqqCqqCpqqCpqqCaaaaqpqCqqCpqpqCpqqCqqCqpqCpqqCpqpqCqqCqpqCpqqCpqpqCpqqCpqpqCxxxxxxxppxxxxxxxxxxxxxx, 2, 2, 11,

38、1, 1, 1, 1, 1,2, 1,2,11,1,1,1, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3121, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3ppp1eCeCpeCeM 上述結論依然成立，這里 6.43 即是說， 的秩為 ，或者說， 的非零奇特值有 個關于奇特值分解，見附錄6.3。 根據上述原理，ARMA 模型的階 確實定，可按以下步驟進展。 第一步：由先驗知識給出 和 的上限和。例如， , 22, 1, 22, 1, 1, 1,221,221,121,121,221,21,121,11,NMMCNMMCNMMCNMMCNMMCNMCNMMCNMCMxkxkxkxkxkxkxkxkeqNpqNpMpqM21211qp,ppqeMpeMp 在語音分析中，可以證明，聲道的AR模型的階 的上限 ； 第二步：寫出矩陣 ，取 。根據丈量數據 估計累量 ； 第三步：對 作奇特值分解，非零奇特值的個數即為階數 。實踐上，由于用估計值 替代真值 ，所以一切的奇特值 從大到小陳列，