1、精算概率論課件 一、一、 條件概率條件概率 的概念的概念 引例引例 某廠有職工某廠有職工500500人，男職工人，男職工300300人、女職工人、女職工200200人，人， 男女職工中非熟練工人分別有男女職工中非熟練工人分別有40104010人。現從該工廠任意選人。現從該工廠任意選 出一名職工，問：出一名職工，問： 解解 設設A=A=選到非熟練工人選到非熟練工人 ， 501 (1) () 50010 P A 101 (2) (|) 20020 P A B 1.3 條條 件件 概概 率率 （1 1）該職工為非熟練工人的概率是多少？）該職工為非熟練工人的概率是多少？ （2 2）若已知選出的是女職工

2、，她是非熟練工人的概率為？）若已知選出的是女職工，她是非熟練工人的概率為？ B=B=選到女職工選到女職工 精算概率論課件 為事件為事件發生的條件下事件發生的條件下事件 發生的發生的 定義定義1.41.4設設A、B是是 中的兩個隨機事件中的兩個隨機事件, , P(B)0, ,稱稱 () (|) ( ) P AB P A B P B 1010 500() (|) 200200 500() P AB P A B P B 對于一般的古典概型問題，設樣本點總數為對于一般的古典概型問題，設樣本點總數為n, ,事件事件B B 包含包含m個樣本點，事件個樣本點，事件ABAB包含包含k個樣本點，則有個樣本點，則

3、有 () (|) ( ) kk nP AB P A B mm nP B 精算概率論課件 條件概率條件概率 符合概率定義中的三個條件：符合概率定義中的三個條件：(|)P A B (2) (|)1PB 1212 (.)|)(|)(|).PAABP ABP AB 因而概率的其它性質也適用于條件概率，如因而概率的其它性質也適用于條件概率，如 121212 (|)(|)(|)(|)P AABP ABP ABP A AB 12 ,.A A（3 3）設）設 是兩兩互不相容的事件，則有是兩兩互不相容的事件，則有 (|)0P A B （1 1）對任一事件）對任一事件A A，有，有 (|)1(|)P A BP A

4、 B 精算概率論課件 (),(),(),()()PBAPBAPA BPA BPA B以 及 6 62 4 (), () 7 03 0 PBAPBA 664 (), () 9010 P A BP A B 66 () 100 P AB 例例1 一批產品一批產品100件，有正品件，有正品90件，次品件，次品10件。其中甲車間生件。其中甲車間生 產的為產的為70件，有件，有66件正品；乙車間生產的為件正品；乙車間生產的為30件。現從該批產品件。現從該批產品 中任取一件，并設中任取一件，并設A表示表示“取到甲車間的產品取到甲車間的產品”，B表示表示“取到正品取到正品”。 求求 解解 此例雖然簡單此例雖然

5、簡單,但卻可以幫助我們理解條件概率的概念。初學者但卻可以幫助我們理解條件概率的概念。初學者 往往容易把往往容易把 樣本空間不一樣，可通過本例進一步體會二者的不同。樣本空間不一樣，可通過本例進一步體會二者的不同。 ()()P A BP AB與 混淆起來，兩者的區別在于混淆起來，兩者的區別在于所討論的所討論的 精算概率論課件 例例2 已知已知( )0.3, ( )0.4, ()0.5P AP BP AB求求 (|).P B AB 解解 由條件概率的定義，有由條件概率的定義，有 () (|) () P AB P B AB P AB 其中其中 ()( )( )()0.70.60.50.8P ABP A

6、P BP AB 又由又由 ()( )()0.5P ABP AP AB 可得可得 ()( )0.50.70.50.2P ABP A 于是于是 ()0.2 (|)0.25 0.8() P AB P B AB P AB 精算概率論課件 ().P B A () () ( ) P AB P B A P A , BAABB所以 ( )0.255 () 1 0.4511( ) P B P B A P A 例例3 設甲、乙兩個車間的產品分別占全廠總產品的設甲、乙兩個車間的產品分別占全廠總產品的45%和和25%. 現從工廠全部產品中任意抽取一件，結果發現它不是甲車間現從工廠全部產品中任意抽取一件，結果發現它不是

7、甲車間 生產的，求其為乙車間生產的概率。生產的，求其為乙車間生產的概率。 由定義，有由定義，有 又因又因，于是，于是 解解 設設A表示表示“抽到甲車間的產品抽到甲車間的產品”，B表示表示“抽到乙車間的產品抽到乙車間的產品”。 由題設，有由題設，有 P(A)=0.45, P(B)=0.25 而所求概率為條件概率而所求概率為條件概率 精算概率論課件 二、二、 乘法公式乘法公式 設設A A、B B是兩個事件。是兩個事件。 若若P P（B B）0,0,則由條件概率公式則由條件概率公式 () (|), ( ) P AB P A B P B ()( ) (|) (1)P ABP B P A B 可得可得

8、又若又若P P（A A）0,0,則由條件概率公式則由條件概率公式 () (|), ( ) P AB P B A P A 可得可得 ()() (|) (2)P ABP A P B A 公式（公式（1 1）和（）和（2 2）稱為乘法公式）稱為乘法公式。 精算概率論課件 乘法公式的推廣乘法公式的推廣： (1)()0,()(|)(|)若則（ ）P ABP ABCP AP B AP C AB 12121 (2),2,() 0, nn nAAA nP AAA 設有 個事件 ， ，.且， ，.則 12121312121 ()|.（ ）（）（）.（.） nnn P AAAP AP A AP A AAP A A

9、AA 精算概率論課件 例例4 4 袋中有袋中有a a只紅球和只紅球和b b只白球。從中任取只白球。從中任取1 1球隨即球隨即 放回并同時放進與取出的球同色的球放回并同時放進與取出的球同色的球c c個，再做第二次個，再做第二次 抽取，如此重復抽取，如此重復3 3次。求取出的次。求取出的3 3只球中前只球中前2 2只是白球只是白球 而后一只是紅球的概率。而后一只是紅球的概率。 123121312 ()() (|) (|) = 2 P A A AP A P AA P AA A bbca ab abc abc 解解 設設 (1,2,3) i A i 表示表示“第第i次取到白球次取到白球”，則由乘法，則

10、由乘法 公式，可得公式，可得 精算概率論課件 例例5 某人寫好某人寫好5封信和封信和5個信封個信封.現隨機地把信裝入現隨機地把信裝入 信封信封.求恰有一封信裝對的概率求恰有一封信裝對的概率. 解解 設設A i 表示表示“第第i封信裝對封信裝對” （i=1,2,3,4,5） 又設又設A表示恰好裝對一封信表示恰好裝對一封信,則有則有 12345 123451 ( )5 () =5 () () 4!1113 =511 5!2!3!4!8 P AP AAAAA P A P AAAA A 精算概率論課件 例例6 已知某工廠生產的產品的合格率為已知某工廠生產的產品的合格率為0.96，而合格品中的，而合格品

11、中的 一級品率為一級品率為0.75.求該廠產品的一級品率。求該廠產品的一級品率。 解解 設設A表示表示“產品是一級品產品是一級品”，B表示表示“產品是合格品產品是合格品”，依題設，依題設 ,ABAAB又因，故有于是:( )0.96, ()0.75.P BP A B ( )()( )()0.96 0.750.72P AP ABP BP A B 精算概率論課件 三、全概率公式與貝葉斯公式三、全概率公式與貝葉斯公式 定義定義1.5 設設 為試驗為試驗E的樣本空間的樣本空間, 為為E的一組的一組 事件事件,若若 12 ，. n BBB 12 ， ，. n BBB （1 1）兩兩互不相容，即兩兩互不相容

12、，即 , ,1,2,. ij BBij i jn 12 (2) . n BBB 12 ，. n BBB 則稱則稱為為 的一個分割的一個分割. 精算概率論課件 B1 B2 Bn A 定理定理 設設 為試驗為試驗E的樣本空間，的樣本空間， 12 ， ，. n BBB 為 為 的一個的一個 分割分割,且且 ()0 (1,2,. ), i P Bin 則對則對E的任一事件的任一事件A有有 1122 (1) ( )|（ ）（）+（ ）（）+.+（ ）（） nn P AP BP A BP BP A BP BP A B 上式上式稱為全概率公式稱為全概率公式 1 (2) ( )0, ()(|) (|),(1,

13、.,) ()(|) 若則 jj j n ii i p A P BP A B P BAjn P BP A B 上式上式稱為貝葉斯（稱為貝葉斯（Bayes)公式公式 精算概率論課件 1212 （）= nn AAA BBBABABAB 證證 (1)因因()0(1,2,. ), i P Bin 12 且，. n ABABAB 兩兩互不相容，故兩兩互不相容，故 12 ( )( 于是： ） n P AP ABABAB 12 1122 ()().( (| n nn P ABP ABP AB P BP A BP BP A BP BP A B =） （ ）+（）（）+.+（）（） 精算概率論課件 (2) 由條件

14、概率的定義以及乘法公式和全概率公式由條件概率的定義以及乘法公式和全概率公式， 有有 1 () (|) () ()(|) ,(1,.,) ()(|) j j jj n ii i P AB P BA P A P BP A B jn P BP A B 精算概率論課件 例例7 7 設袋中有設袋中有a個紅球，個紅球，b個白球。若甲先取一球不放個白球。若甲先取一球不放 回，乙再取一球，求乙取到紅球的概率。回，乙再取一球，求乙取到紅球的概率。 是樣本空間的一個分割，且是樣本空間的一個分割，且 1 (|), (|), 11 aa P B AP B A abab 于是 1 11 aabaa ab abab ab

15、ab 解解 設設A=甲取到紅球甲取到紅球，B=乙取到紅球乙取到紅球， ( ) a P A ab ( ), b P A ab ()() (|)() (|)P BP A P B AP A P B A ,A A則事件則事件 精算概率論課件 例例8 設從設從1,2,3,4中任取一個數中任取一個數,記為記為X,再從再從1,X 2).P Y 求 中任取一個數中任取一個數,記為記為Y, 解解顯然顯然X=1,X=2,X=3,X=4 構成完備事件組構成完備事件組,且且 1 ) (1,2,3,4). 4 P Xii 由全概率公式由全概率公式,有有 4 1 4 2 (2)2 2 1 11113 =(). 4 234

16、48 i i P YP XiP YXi P XiP YXi 精算概率論課件 例例9 9 商店按箱出售玻璃杯，每箱商店按箱出售玻璃杯，每箱2020只，其中每箱含只，其中每箱含0 0，1 1，2 2只只 次品的概率分別為次品的概率分別為0.8, 0.1, 0.10.8, 0.1, 0.1，某顧客選中一箱，從中任選，某顧客選中一箱，從中任選4 4 只檢查，結果都是好的，便買下了這一箱只檢查，結果都是好的，便買下了這一箱. .問這一箱含有一個次品問這一箱含有一個次品 的概率是多少？的概率是多少？ 解解: :設設A=“A=“從一箱中任取從一箱中任取4 4只檢查只檢查, ,結果都是好的結果都是好的.” .

17、” B B0 0, B, B1 1, B, B2 2分別表示每箱含分別表示每箱含0 0，1 1，2 2只次品只次品. . 已知已知 P(BP(B0 0)=0.8, P(B)=0.8, P(B1 1)=0.1, P(B)=0.1, P(B2 2)=0.1,)=0.1,并可算得并可算得: : 44 1918 012 44 2020 412 ()1, (|), (|) 519 CC P A BP A BP A B CC 精算概率論課件 11 1 2 0 ()(|) (|) ()(|) ii i P BP AB P BA P BP AB 0848. 0 19 12 1 . 0 5 4 1 . 018 . 0 5 4 1 . 0 由由BayesBayes公式公式: : 精算概率論課件 例例10 為了提高某產品的質量，企業為了提高某產品的質量，企業CEO考慮增加投資考慮增加投資 來改進生產設備。但對于投資效果的預估，下屬部門有來改進生產設備。但對于投資效果的預估，下屬部門有 兩種意見：一是認為改進設備后高質量產品可占兩種意見